2021-2022學年山西省晉城市高平三甲中學高二數(shù)學理模擬試卷含解析

2021-2022學年山西省晉城市高平三甲中學高二數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，且關于的方程有且只有一個實根，則實數(shù)的范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D2.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若a、b、c成等比數(shù)列，且c＝2a，則cosB＝

()．參考答案：B略3.將7個座位連成一排，安排4個人就坐，恰有兩個空位相鄰的不同坐法有（

）A.240 B.480 C.720 D.960參考答案：B12或67為空時，第三個空位有4種選擇；23或34或45或56為空時，第三個空位有3種選擇；因此空位共有，所以不同坐法有,選B.4.如圖，在正方體中，為的中點，則與面所成角的正切值為(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C5.下列五個寫法：①；②；③{0,1,2}；④；

⑤，其中錯誤寫法的個數(shù)為（

）A.

1

B.

2

C.

3

D.4參考答案：C6.已知變量x，y滿足目標函數(shù)是z＝2x＋y，則有()A.zmax＝5，zmin＝3

B.zmax＝5，z無最小值C.zmin＝3，z無最大值

D.z既無最大值，也無最小值參考答案：A略7.已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（

）A.3

B.2

C.1

D.參考答案：A8.已知等差數(shù)列中，，則的值是（

）

A．15

B．30

C．31D．64參考答案：A略9.若圓C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0與圓C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0相交，則t的取值范圍是（）A．﹣ B．﹣＜t＜0C．﹣＜t＜2 D．﹣或0＜t＜2參考答案：D【考點】圓與圓的位置關系及其判定．【專題】直線與圓．【分析】根據(jù)這兩個圓相交，可得圓心距大于半徑之差而小于半徑之和，可得3﹣2＜＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，由此求得t的取值范圍．【解答】解：圓C1：x2+y2﹣2tx+t2﹣4=0即（x﹣t）2+y2=4，表示以C1（t，0）為圓心、半徑等于2的圓；圓C2：x2+y2+2x﹣4ty+4t2﹣8=0即（x+1）2+（y﹣2t）2=9，表示以C2（﹣1，2t）為圓心、半徑等于3的圓．再根據(jù)這兩個圓相交，可得圓心距大于半徑之差而小于半徑之和，即3﹣2＜＜3+2，即0＜5t2+2t＜24，∴，解得﹣或0＜t＜2，故選：D．【點評】本題主要考查圓的標準方程，兩圓的位置關系的判定方法，兩點間的距離公式的應用，屬于基礎題．10.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師派到3個班擔任班主任(每班一位班主任)，要求這3位班主任中男女教師都要有，則不同的選派方案共有

（

）A．210種

B．420種

C．630種

D．840種參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.凸四邊形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=CD=1，AB=2。以它的一邊為軸旋轉，所得旋轉體的體積最大可達到

。參考答案：12.在數(shù)列中，若，，則_______________．參考答案：513.在極坐標系中，已知到直線：，的距離為2，則實數(shù)m的值為

．參考答案：1可化為，∵點到直線：，的距離為2，，又∵，∴m=1.14.已知函數(shù)，則不等式的解集為________.參考答案：【分析】構造新函數(shù)，研究新函數(shù)的性質（單調(diào)性與奇偶性等），從而得出的解集.【詳解】解：設因恒成立，故，故恒成立，所以恒成立，所以的定義域為R，因為，所以，即函數(shù)為奇函數(shù)，當時，為增函數(shù)，為增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的性質可得為增函數(shù)，而為增函數(shù)，為增函數(shù)，所以當時，函數(shù)為增函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，故在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以可轉化為根據(jù)奇偶性可得，根據(jù)單調(diào)性可得，，解得：，故原不等式的解集為.【點睛】本題考查了不等式問題、函數(shù)的性質問題等等，解題的關鍵是要能構造出新的函數(shù)，研究出新的函數(shù)的性質，從而解決問題.15.已知橢圓上一點P到左焦點的距離為，則它到右準線的距離為．參考答案：3【考點】橢圓的簡單性質．【分析】先由橢圓的第一定義求出點P到右焦點的距離，再用第二定義求出點P到右準線的距離d．【解答】解：由橢圓的第一定義得點P到右焦點的距離等于4﹣=，離心率e=，再由橢圓的第二定義得=e=，∴點P到右準線的距離d=3，故答案為：3．16.給定下列命題：①“若k＞0，則方程x2+2x﹣k=0有實數(shù)根”的逆否命題；②“若A=B，則sinA=sinB”的逆命題；③“若2”的逆否命題；④“若xy=0，則x，y中至少有一個為零”的否命題．⑤“若”的逆命題．其中真命題的序號是

．參考答案：①③④【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】轉化思想；簡易邏輯．【分析】①由方程x2+2x﹣k=0有實數(shù)根，則△=4+4k≥0，解得k的范圍，即可判斷出真假，進而判斷出其逆否命題具有相同的真假性；②原命題的逆命題為“若sinA=sinB，則A=B”，舉例：取A=2π，B=π，即可判斷出真假；③由，可得b＜a＜0，可得b2＞ab，即可判斷出真，進而其逆否命題具有相同的真假性；④原命題的逆命題為：“若x，y中至少有一個為零，則xy=0”是真命題，進而得到原命題的否命題具有相同的真假性．⑤原的逆命題為“若a＜b＜0，則＞”，舉例：取a=﹣2，b=﹣1，﹣2＜﹣1＜0，即可判斷出真假．【解答】解：①由方程x2+2x﹣k=0有實數(shù)根，則△=4+4k≥0，解得k≥﹣1，因此“若k＞0，則方程x2+2x﹣k=0有實數(shù)根”是真命題，其逆否命題也是真命題；②“若A=B，則sinA=sinB”的逆命題為“若sinA=sinB，則A=B”，是假命題例如：取A=2π，B=π；③由，可得b＜a＜0，∴b2＞ab，因此“若2”是真命題，其逆否命題也是真命題；④“若xy=0，則x，y中至少有一個為零”的逆命題為：“若x，y中至少有一個為零，則xy=0”是真命題，因此原命題的否命題也是真命題．⑤“若”的逆命題為“若a＜b＜0，則＞”是假命題，例如：取a=﹣2，b=﹣1，﹣2＜﹣1＜0，但是＜．其中真命題的序號是①③④．故答案為：①③④．【點評】本題考查了簡易邏輯的判定方法、命題之間真假性的關系、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．17.已知復數(shù)滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復數(shù)=

▲

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2﹣3x（a∈R）．（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若x=是函數(shù)f（x）的極值點，求函數(shù)f（x）在[﹣a，1]上的最大值；（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個交點？若存在，請求出b的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求出導函數(shù)f′（x），通過f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，得到f′（x）≥0．即可求出a的范圍．（2）由f′（）=0，求出a，然后求出極值點，求出極值以及端點函數(shù)值，即可得到最大值．（3）兩個函數(shù)圖象恰有3個交點，轉化為方程x3+4x2﹣3x=bx恰有3個不等實根．利用判別式以及根的分布求解即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax﹣3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0．∴﹣≤1且f′（1）=2a≥0．∴a≥0．（2）由題意知f′（）=0，即+﹣3=0，∴a=4．∴f（x）=x3+4x2﹣3x．令f′（x）=3x2+8x﹣3=0得x=或x=﹣3．∵f（﹣4）=12，f（﹣3）=18，f（）=﹣，f（1）=2，∴f（x）在[﹣a，1]上的最大值是f（﹣3）=18．（3）若函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個交點，即方程x3+4x2﹣3x=bx恰有3個不等實根．∵x=0是其中一個根，∴方程x2+4x﹣（3+b）=0有兩個非零不等實根．∴，∴b＞﹣7且b≠﹣3．∴滿足條件的b存在，其取值范圍是（﹣7，﹣3）∪（﹣3，+∞）．19.已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點為F（0，1），（1）求拋物線C的方程；（2）過點F作直線l交拋物線于A，B兩點，若直線AO，BO分別與直線y=x﹣2交于M，N兩點，求|MN|的取值范圍．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關系；拋物線的標準方程．【專題】方程思想；設而不求法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）設拋物線的方程為x2=2py，由題意可得p=2，進而得到拋物線的方程；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx+1，代入拋物線方程，運用韋達定理，求得M，N的橫坐標，運用弦長公式，化簡整理，即可得到所求范圍．【解答】解：（1）由題意可設拋物線的方程為x2=2py，由焦點為F（0，1），可得=1，即p=2，則拋物線的方程為x2=4y；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx+1，代入x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，，由y=x﹣2和y=x聯(lián)立，得，同理，所以=，令4k﹣3=t，t≠0，則，則，則所求范圍為．【點評】本題考查拋物線的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查化簡整理的能力，屬于中檔題．20.已知復數(shù)，且為純虛數(shù)．（1）求復數(shù)；（2）若，求復數(shù)的模．參考答案：解：（1）

……………2分是純虛數(shù)，且

…………1分，

……………1分（2）

………………2分

…2分略21.已知函數(shù).（1）若不等式的解集為空集，求的范圍；（2）若，且，求證：.參考答案：（1）；（2）證明略．22.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差d≠0，且S1+S3=18，a1，a4，a13成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設{}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式．【分析】（1）由S1+S3=18，a1，a4，a13成等比數(shù)列．可得4a1+3d=18，=a1?（a1+12d），解出即可得出．（2）由{}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，可得=，bn=（2n+1）?3n﹣1．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵S