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第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用定積分的概念1.5.1曲邊梯形的面積A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.在計(jì)算由曲線(xiàn)y=-x2以及直線(xiàn)x=-1,x=1,y=0所圍成的圖形的面積時(shí),若將區(qū)間[-1,1]n等分,則每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為()\f(1,n)\f(2,n)\f(2,n-1)\f(2,n+1)解析:區(qū)間長(zhǎng)度為2,將其n等分得每一個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為eq\f(2,n).答案:B2.在求由函數(shù)y=eq\f(1,x)與直線(xiàn)x=1,x=2,y=0所圍成的平面圖形的面積時(shí),把區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間,則第i個(gè)小區(qū)間為()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i-1,n),\f(i,n))) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n+i-1,n),\f(n+i,n)))C.[i-1,i] \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i,n),\f(i+1,n)))解析:把區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間后,每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為eq\f(1,n),且第i個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)不小于1,所以選B.答案:B3.在“近似代替”中,函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi,xi+1]上的近似值()A.只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi)B.只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi+1)C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi,xi+1])D.以上答案均不正確解析:由求曲邊梯形面積的“近似代替”知,選項(xiàng)C正確.答案:C4.直線(xiàn)x=a,x=b(a<b),y=0和曲線(xiàn)y=f(x)(f(x)>0)所圍成的曲邊梯形的面積S=()\i\su(i=1,n,f)(ξi)·eq\f(1,n) B.eq\i\su(i=1,n,f)(ξi)·eq\f(1,n)\i\su(i=1,n,f)(ξi)·eq\f(b-a,n) D.eq^\o(,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i=1,n,)eq\f(b-a,n)·f(ξi)解析:第n個(gè)小曲邊梯形的面積可近似的表示為eq\f(b-a,n)·f(ξi).所以,曲邊梯形的面積為eq^\o(,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i=1,n,)eq\f(b-a,n)·f(ξi)答案:D5.對(duì)于由函數(shù)y=x3和直線(xiàn)x=1,y=0圍成的曲邊梯形,把區(qū)間[0,1]三等分,則曲邊梯形面積的近似值(每個(gè)ξi取值均為小區(qū)間的左端點(diǎn))是()\f(1,9)\f(1,25)\f(1,27)\f(1,30)解析:S=0×eq\f(1,3)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,3)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,3)=eq\f(1,9).答案:A二、填空題6.在區(qū)間[1,10]上等間隔地插入8個(gè)點(diǎn),則將它等分成9個(gè)小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為_(kāi)___.解析:區(qū)間[1,10]長(zhǎng)度為9,將它等分成9個(gè)小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為1.答案:17.若xi=1,則(2xi+1)=______.解析:(2xi+1)=2(x1+x2+x3+x4+x5)+5=2×1+5=7.答案:78.直線(xiàn)x=0,x=2,y=0與曲線(xiàn)y=x2+1圍成曲邊梯形,將區(qū)間[0,2]五等分,按照區(qū)間左端點(diǎn)和右端點(diǎn)估計(jì)曲邊梯形面積分別為_(kāi)_______、________.解析:分別以小區(qū)間左、右端點(diǎn)的縱坐標(biāo)為高,求所有小矩形面積之和.S1=(02+1++1++1++1++1)×=;S2=+1++1++1++1+22+1)×=.答案:三、解答題9.求出由直線(xiàn)x=0,x=3,y=0和曲線(xiàn)y=eq\r(4-(x-1)2)圍成的平面圖形的面積.解:圓(x-1)2+y2=4在第一象限的面積如圖所示:∠ACB=eq\f(2π,3),OB=eq\r(3),面積S=S△BOC+S扇形ACB=eq\f(\r(3),2)+eq\f(1,2)×2×2×eq\f(2π,3)=eq\f(\r(3),2)+eq\f(4π,3).10.求直線(xiàn)x=2,y=0和曲線(xiàn)y=x2所圍成的曲邊梯形的面積.解:(1)分割:把區(qū)間[0,2]等分成n個(gè)小區(qū)間,第i個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為eq\f(2,n),過(guò)各分點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn),把曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形.(2)近似代替:當(dāng)n很大時(shí),區(qū)間長(zhǎng)度很小,小曲邊梯形近似于小矩形,第i個(gè)小矩形的高度用feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)))代替(i=1,2,…,n).(3)求和:各矩形面積之和Sn=eq\i\su(i=1,n,f)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)))Δx=eq\i\su(i=1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)))eq\s\up12(2)eq\f(2,n)=eq\f(8,n3)(12+22+…+n2)=eq\f(8,n3)eq\f(n(n+1)(2n+1),6)=eq\f(8,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,2n))).(4)取極限:當(dāng)n趨向于+∞時(shí),Sn趨向于eq\f(8,3),所以曲邊梯形的面積S=eq\f(8,3).B級(jí)能力提升1.已知直線(xiàn)l:y=ax+b和曲線(xiàn)C:y=ax2+bx,則由直線(xiàn)l和曲線(xiàn)C所圍成的平面圖形(圖中陰影部分)只可能是()解析:對(duì)于選項(xiàng)A,直線(xiàn)l和曲線(xiàn)C中的a>0,b<0,符合條件.答案:A2.如圖所示,曲線(xiàn)C∶y=2x(0≤x≤2)兩端分別為M,N,且NA⊥x軸于點(diǎn)A,把線(xiàn)段OA分成n等份,以每一段為邊作矩形,使其與x軸平行的邊的一個(gè)端點(diǎn)在曲線(xiàn)C上,另一端點(diǎn)在曲線(xiàn)C的下方,設(shè)這n個(gè)矩形的面積之和為Sn,則eq^\o(,\s\do4(n→∞))[(2n-3)(eq\r(n,4)-1)Sn]=________.解析:依題意可知從原點(diǎn)開(kāi)始,矩形的高成等比數(shù)列,首項(xiàng)為1,公比為2eq\s\up13(\f(2,n)),則Sn=eq\f(2,n)(1+2eq\s\up13(\f(2,n))+2eq\s\up13(\f(4,n))+…+2eq\s\up13(\f(2n-2,n)))=eq\f(2,n)·eq\f(1-2\s\up13(\f(2n,n)),1-2\s\up13(\f(2,n)))=eq\f(2,n)·eq\f(-3,1-\r(n,4)).所以eq^\o(,\s\do4(n→∞))[(2n-3)(eq\r(n,4)-1)Sn]=eq^\o(,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2n-3)(\r(n,4)-1)\f(2,n)·\f(-3,1-\r(n,4))))=12.答案:123.求y=x3與x=0,y=±8圍成的圖形的面積.解:所求面積如圖陰影部分所示,由對(duì)稱(chēng)性知S1=S2,故所求面積為2S1.先求y=x3與y=0,x=0,x=2圍成的面積S′1如下:(1)分割:將[0,2]分成n等份eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2(i-1),n),\f(2i,n)))(i=1,2,3,…,n),每個(gè)小區(qū)間距離為Δx=eq\f(2,n).(2)近似代替:ΔSi=f(ξi)Δx=(eq\f(2i,n))3Δx.(4)求極限:eq\f(1,2)S=eq^\o(,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))\s\up12(3)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,n)))\s\up12(3)+…+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n,n))
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