2021-2022學(xué)年江蘇省南京市第四十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年江蘇省南京市第四十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)m、n是兩條不同的直線α、β是兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①如果α∥β，m?α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m?α，α∩β=n，那么m∥n其中正確的命題是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)空間直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系及幾何特征，逐一分析四個(gè)命題的真假，可得答案．【解答】解：①如果α∥β，m?α，那么m∥β，故正確；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β，或m?β，故錯(cuò)誤；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α，β關(guān)系不能確定，故錯(cuò)誤；④如果m∥β，m?α，α∩β=n，那么m∥n，故正確故選：C2.已知實(shí)數(shù),則下列不等式中恒成立的一個(gè)是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略3.已知二次函數(shù)y＝ax2＋(a2＋1)x在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值為1，則該函數(shù)的最大值是()A.B.C.D.參考答案：D4.已知命題：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題：“a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則是的（

）A．逆命題B．否命題

C．逆否命題

D．否定參考答案：B略5.對(duì)于不等式，某同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：（1）當(dāng)時(shí)，，不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，即當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，不等式成立，則上述證法（

）A.過程全部正確

B.驗(yàn)證不正確C.歸納假設(shè)不正確

D.從到的推理不正確參考答案：D點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法證明中需注意的事項(xiàng)(1)初始值的驗(yàn)證是歸納的基礎(chǔ)，歸納遞推是證題的關(guān)鍵，兩個(gè)步驟缺一不可．(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的過程中，要注意從k到k＋1時(shí)命題中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的變化，防止對(duì)項(xiàng)數(shù)估算錯(cuò)誤．(3)解題中要注意步驟的完整性和規(guī)范性，過程中要體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法證題的形式.6.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同的取法種數(shù)為（

）A.232

B.252

C.472

D.484參考答案：C7.設(shè)P是的二面角內(nèi)一點(diǎn)，垂足，則AB的長(zhǎng)為（

）

A

B

C

D

參考答案：C8.已知拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于（

）

A.3

B.4

C.

D.參考答案：C略9.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作實(shí)軸的垂線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)度恰等于焦距，則雙曲線的離心率為（

）A. B. C. D.參考答案：A試題分析：，又．考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)（離心率的求法）．10.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是（） A．4 B． C． D．8參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；壓軸題． 【分析】先根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可得到過F且斜率為的直線方程然后與拋物線聯(lián)立可求得A的坐標(biāo)，再由AK⊥l，垂足為K，可求得K的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式可得到答案． 【解答】解：∵拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線為l：x=﹣1， 經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A（3，2）， AK⊥l，垂足為K（﹣1，2）， ∴△AKF的面積是4 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)和直線和拋物線的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題是高考的熱點(diǎn)要重視． 二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過橢圓左焦點(diǎn)F1作弦AB，則（F2為右焦點(diǎn)）的周長(zhǎng)是

參考答案：１６略12.已知關(guān)于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________參考答案：【分析】對(duì)m進(jìn)行分類討論，、時(shí)分別分析函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)m的取值范圍進(jìn)行進(jìn)一步分類討論，求出該函數(shù)在區(qū)間上的最小值，令最小值大于0，即可求得m范圍.【詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)外層單調(diào)遞減，內(nèi)層二次函數(shù)：當(dāng)，即時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，，解得：；當(dāng)，即時(shí)，無意義；當(dāng)，，即時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增，函數(shù)先遞增后遞減，則需，無解；當(dāng)，即時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，，無解.②當(dāng)時(shí)，函數(shù)外層單調(diào)遞增，，二次函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，解得：.綜上所述：或.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問題，若大于0恒成立，則最小值大于0，若小于0恒成立則最大值小于0，注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，區(qū)分存在性問題與恒成立問題.13.某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.9.她連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響.有下列結(jié)論：①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9；②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是；③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是.其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________。（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）參考答案：①③14.“f′（x0）=0”是“可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處有極值”的條件（選填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分又不必要”）參考答案：既不充分又不必要考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：根據(jù)函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，可得充分性成立．再由導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)可得必要性不成立，從而得出結(jié)論．解答：解：“定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)在x=x0處取得極值”，不能推出“f′（x0）=0”成立，例如f（x）=|x|在x=0處有極小值為0，但f（x）在x=0處不可導(dǎo)，故充分性不成立．但由于導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如函數(shù)y=x3在x=0處得導(dǎo)數(shù)等于零，但函數(shù)在x=0處無極值，故由“f′（x0）=0”，不能退出“定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)在x=x0處取得極值”成立，即必要性不成立，故答案為：既不充分也不必要條件．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)與函數(shù)的極值點(diǎn)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15.1785與840的最大約數(shù)為．參考答案：105【考點(diǎn)】用輾轉(zhuǎn)相除計(jì)算最大公約數(shù)．【分析】用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1785的最大公約數(shù)，寫出1785=840×2+105，840=105×8+0，得到兩個(gè)數(shù)字的最大公約數(shù)．【解答】解：1785=840×2+105，840=105×8+0．∴840與1785的最大公約數(shù)是105．故答案為10516.將正整數(shù)對(duì)作如下分組，第1組為，第2組為，第3組為，第4組為則第30組第16個(gè)數(shù)對(duì)為__________．參考答案：(17,15)根據(jù)歸納推理可知，每對(duì)數(shù)字中兩個(gè)數(shù)字不相等，且第一組每一對(duì)數(shù)字和為3，第二組每一對(duì)數(shù)字和為4，第三組每對(duì)數(shù)字和為，第30組每一對(duì)數(shù)字和為32，∴第30組第一對(duì)數(shù)為，第二對(duì)數(shù)為，第15對(duì)數(shù)為，第16對(duì)數(shù)為.

17.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是___

__(寫出所有正確命題的編號(hào)).①當(dāng)時(shí),S為四邊形;②當(dāng)時(shí),S為六邊形;③當(dāng)時(shí),S與的交點(diǎn)R滿足;④當(dāng)時(shí),S為等腰梯形;⑤當(dāng)時(shí),S的面積為.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.根據(jù)某電子商務(wù)平臺(tái)的調(diào)查統(tǒng)計(jì)顯示，參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購物者的年齡情況如圖顯示．（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三個(gè)年齡段的上網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列，求a，b的值．（2）該電子商務(wù)平臺(tái)將年齡在[30，50）之間的人群定義為高消費(fèi)人群，其他的年齡段定義為潛在消費(fèi)人群，為了鼓勵(lì)潛在消費(fèi)人群的消費(fèi)，該平臺(tái)決定發(fā)放代金券，高消費(fèi)人群每人發(fā)放50元的代金券，潛在消費(fèi)人群每人發(fā)放100元的代金券，現(xiàn)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購者中抽取10人，并在這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行回訪，求此三人獲得代金券總和X的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）由等差數(shù)列性質(zhì)和頻率分布直方圖得，由此能求出a，b．（2）利用分層抽樣從樣本中抽取10人，其中屬于高消費(fèi)人群的為6人，屬于潛在消費(fèi)人群的為4人．從中取出三人，并計(jì)算三人所獲得代金券的總和X，則X的所有可能取值為：150，200，250，300．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出此三人獲得代金券總和X的分布列與數(shù)學(xué)期望【解答】解：（1）∵[30，40）、[40，50）、[50，60）三個(gè)年齡段的上網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列，∴由頻率分布直方圖得，解得a=0.035，b=0.025．（2）利用分層抽樣從樣本中抽取10人，其中屬于高消費(fèi)人群的為6人，屬于潛在消費(fèi)人群的為4人．從中取出三人，并計(jì)算三人所獲得代金券的總和X，則X的所有可能取值為：150，200，250，300．P（X=150）=，P（X=200）=，P（X=250）=，P（X=300）=，∴X的分布列為：X150200250300P

EX=150×+200×+250×+300×=210．19.已知點(diǎn)A（0，﹣2），橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）通過離心率得到a、c關(guān)系，通過A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx﹣2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范圍，利用弦長(zhǎng)公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面積表達(dá)式，利用換元法以及基本不等式求出最值，然后求解直線方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)F（c，0），由條件知，得?又，所以a=2?，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（Ⅱ）依題意當(dāng)l⊥x軸不合題意，故設(shè)直線l：y=kx﹣2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，當(dāng)△=16（4k2﹣3）＞0，即時(shí)，從而??6558764又點(diǎn)O到直線PQ的距離，所以△OPQ的面積=，設(shè)，則t＞0，，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，k=±等號(hào)成立，且滿足△＞0，所以當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…20.如圖：區(qū)域A是正方形OABC（含邊界），區(qū)域B是三角形ABC（含邊界）．（Ⅰ）向區(qū)域A隨機(jī)拋擲一粒黃豆，求黃豆落在區(qū)域B的概率；（Ⅱ）若x，y分別表示甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點(diǎn)數(shù)，求點(diǎn)（x，y）落在區(qū)域B的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；模擬方法估計(jì)概率．【分析】（Ⅰ）根據(jù)三角形和正方形的面積之比求出滿足條件的概率即可；（Ⅱ）求出落在B內(nèi)的可能，從而求出滿足條件的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）向區(qū)域A隨機(jī)拋擲一枚黃豆，黃豆落在區(qū)域B的概率；（Ⅱ）甲、乙兩人各擲一次骰子，占（x，y）共36種結(jié)可能．其中落在B內(nèi)的有26種可能，即（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1）