2021-2022學年江西省宜春市三陽中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

2021-2022學年江西省宜春市三陽中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一個正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如圖所示．左視圖是一個矩形．則這個矩形的面積是(

)(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D略2.三世紀中期，魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法．所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法．如圖是劉徽利用正六邊形計算圓周率時所畫的示意圖，現(xiàn)向圓中隨機投擲一個點，則該點落在正六邊形內(nèi)的概率為A． B． C． D．參考答案：A設圓的半徑為，則圓的面積，正六邊形的面積，所以向圓中隨機投擲一個點，該點落在正六邊形內(nèi)的概率，故選A.3.約束條件圍成的區(qū)域面積為，且z＝2x+y的最大值和最小值分別為m和n，則m﹣n＝（）A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：B作出約束條件所對應的可行域（如圖△ABC及內(nèi)部），C(,)，A（k，k），B（1-k,k）區(qū)域面積為可得（1-2k）（?k）=,解得k=-1(k=2舍去)；

變形目標函數(shù)可得y=-2x+z，平移直線y=-2x可知：當直線經(jīng)過點A（-1，-1）時，直線的截距最小，代值計算可得z取最小值n=-3，當直線經(jīng)過點B（2，-1）時，直線的截距最大，代值計算可得z取最大值m=3，故m-n=3+3=6，故選：B．

4.已知復數(shù)，i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（

）A. B.C. D.z的虛部為－i參考答案：B【分析】利用復數(shù)的除法求出后可得正確的選項.【詳解】因為，則，，，的虛部為－1，故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)的除法，計算時分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，本題屬于容易題.5.已知，若，則實數(shù)的值為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C略6.函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象可能是

A

B

C

D參考答案：A7. 復數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復平面上對應的點所在的象限為A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A略8.直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移１個單位，所得到的直線為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A9.已知全集,集合，則

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：【知識點】補集及其運算．A1A

解析：根據(jù)補集的定義，?UA是由所有屬于集合U但不屬于A的元素構(gòu)成的集合，由已知，有且僅有0，4符合元素的條件．?UA={0，4}，故選A．【思路點撥】根據(jù)補集的定義直接求解：?UA是由所有屬于集合U但不屬于A的元素構(gòu)成的集合．10.某學校2014-2015學年高一、2014-2015學年高二、2015屆高三年級的學生人數(shù)分別為900、900、1200人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本，則應從2015屆高三年級抽取的學生人數(shù)為(

) A．15 B．20 C．25 D．30參考答案：B考點：分層抽樣方法．專題：概率與統(tǒng)計．分析：根據(jù)分層抽樣的定義即可得到結(jié)論．解答： 解：三個年級的學生人數(shù)比例為3：3：4，按分層抽樣方法，在2015屆高三年級應該抽取人數(shù)為人，故選：B．點評：本題主要考查分層抽樣的應用，根據(jù)條件確定抽取比例是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓，過直線上任意一點作圓的兩條切線，切點分別為，若為銳角，則的取值范圍是______．參考答案：試題分析：由于圓心到直線的距離,當時,,所以,即,注意到,故,即.考點：圓與直線的位置關(guān)系及運用．12.閱讀右圖程序框圖．若輸入，則輸出的值為___________．參考答案：13.直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則________.參考答案：214.設是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，其中．若，則的值為

．參考答案：－1015.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f(x)＝x2，當x＞1時，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且．若直線y＝kx與函數(shù)y＝f(x)的圖象恰有5個不同的公共點，則實數(shù)k的值為

．參考答案：16.已知向量=（3，4），=（2，3），則+在﹣方向上的投影為

．參考答案：6【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)向量的坐標運算和向量投影的定義即可求出【解答】解：∵向量=（3，4），=（2，3），∴+=（5，7），﹣=（1，1），∴（+）（﹣）=57=12，|﹣|=，∴+在﹣方向上的投影為==6，故答案為：6．17.已知點是雙曲線上一點，雙曲線兩個焦點間的距離等于4，則該雙曲線方程是___________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日晝夜溫差x（°C）1011131286就診人數(shù)y（個）222529261612該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率；（2）若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程=bx+a；（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問（2）中所得線性回歸方程是否理想？參考公式：b==，a=．參考答案：【考點】線性回歸方程．【分析】（1）本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有C62種情況，滿足條件的事件是抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)的情況有5種，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果．（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，求出x，y的平均數(shù)，根據(jù)求線性回歸方程系數(shù)的方法，求出系數(shù)b，把b和x，y的平均數(shù)，代入求a的公式，做出a的值，寫出線性回歸方程．（3）根據(jù)所求的線性回歸方程，預報當自變量為10和6時的y的值，把預報的值同原來表中所給的10和6對應的值做差，差的絕對值不超過2，得到線性回歸方程理想．【解答】解：（1）設柚到相鄰兩個月的教據(jù)為事件A．因為從6組教據(jù)中選取2組教據(jù)共有15種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的其中，抽到相鄰兩個月份的教據(jù)的情況有5種，所以．（2）由教據(jù)求得，由公式求得，再由．所以y關(guān)于x的線性回歸方程為．（3）當x=10時，；同樣，當x=6時，，所以該小組所得線性回歸方程是理想的．19.在等比數(shù)列{an}中，a1=1，a3，a2+a4，a5成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式（2）若數(shù)列{bn}滿足b1++…+（n∈N+），{bn}的前n項和為Sn，求證Sn≤n?an（n∈N+）參考答案：【考點】數(shù)列與不等式的綜合．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）通過將a2、a3、a4、a5用公比q表示及條件a3、a2+a4、a5成等差數(shù)列，可求出q=2，利用等比數(shù)列的通項公式計算即可；（2）當n=1時，b1=a1=1，顯然有S1=1×a1；當n≥2時，利用=an﹣an﹣1可得bn=n?2n﹣2，求出Sn、2Sn，兩者相減，利用錯位相減法解得Sn，計算即可．【解答】（1）解：設數(shù)列{an}的公比為q，∵a1=1，∴a2=q，a3=q2，a4=q3，a5=q4，又∵a3，a2+a4，a5成等差數(shù)列，∴2（a2+a4）=a3+a5，即2（q+q3）=q2+q4，解得q=2或0（舍），∴an=2n﹣1；（2）證明：∵數(shù)列{bn}滿足b1++…+=an（n∈N+），∴當n=1時，b1=a1=1，此時S1=1×a1；當n≥2時，=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣2n﹣2=2n﹣2，∴bn=n?2n﹣2，∴Sn=1+2×20+3×21+4×22+…+（n﹣1）×2n﹣3+n×2n﹣2，∴2Sn=2×20+2×21+3×22+4×23+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1，兩式相減，得﹣Sn=1+21+22+23+…+2n﹣2﹣n×2n﹣1，∴Sn=n×2n﹣1﹣1﹣（21+22+23+…+2n﹣2）=n×2n﹣1﹣1﹣=（n﹣1）×2n﹣1﹣1=n×2n﹣1﹣（1+2n﹣1）＜n×2n﹣1=n?an，綜上所述，Sn≤n?an（n∈N+）．【點評】本題考查考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查分類討論的思想，考查分析問題的能力與計算能力，利用錯位相減法求Sn是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．20.熱力公司為某生活小區(qū)鋪設暖氣管道，為減少熱量損耗，管道外表需要覆蓋保溫層。經(jīng)測算要覆蓋可使用20年的保溫層，每厘米厚的保溫層材料成本為2萬元，小區(qū)每年的氣量損耗用（單位：萬元）與保溫層厚度（單位：）滿足關(guān)系：若不加保溫層，每年熱量損耗費用為5萬元。設保溫費用與20年的熱量損耗費用之和為(1）求的值及的表達式；(2)問保溫層多厚時，總費用最小，并求最小值。參考答案：（1）由題意知(2）當且僅當即時，等號成立。所以保溫層的厚底為厘米時，總費用最小，最小為19萬元。21.為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某校從理科甲班抽取60人，從文科乙班抽取50人參加環(huán)保知識測試．（Ⅰ）根據(jù)題目條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為環(huán)保知識成績優(yōu)秀與學生的文理分類有關(guān)．

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)總計甲班

乙班

30

總計60

（Ⅱ）現(xiàn)已知A，B，C三人獲得優(yōu)秀的概率分別為，，，設隨機變量X表示A，B，C三人中獲得優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及期望E（X）．附：，n=a+b+c+d

P（K2＞k0）0.1000.0500.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879參考答案：【考點】獨立性檢驗的應用．【分析】（Ⅰ）由題設條件作出列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到．由此得到有99%的把握認為環(huán)保知識測試與專業(yè)有關(guān)．（2）由題設知X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）2×2列聯(lián)表如下

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班402060乙班203050總計6050110由算得，，所以有99%的把握認為學生的環(huán)保知識成績與文理分科有關(guān)…5分（Ⅱ）設A，B，C成績優(yōu)秀分別記為事件M，N，R，則∴隨機變量X的取值為0，1，2，3…6分，…10分所以隨機變量X的分布列為：X0123PE（X）=0×+1×+2×+3×=…12分．22.某商場對A品牌的商品進行了市場調(diào)查，預計2014年從1月起前個月顧客對A品牌的商品的需求總量件與月份的近似關(guān)系是：（1）寫出第月的需求量的表達式；（2）若第月的銷售量（單位：件），每件利潤元與月份x的近似關(guān)系為：，問：該商場銷售A品牌商品，預計第幾月的月利潤達到最大值？月利潤最大值是多少？（）參考答案：

解：（1）當x=1時，f（1）=P（1）=39；當x≥2時，f（x）=P（x）﹣P（x﹣1）=x（x+1）（41﹣2x）﹣（x﹣1）x（43﹣2x）=3x（14﹣x）；∴f（x）=﹣3x2+42x（x≤12且x∈N+）；（2）設月利潤為h（x），則h