2021-2022學年河南省南陽市新野縣第四高級中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

2021-2022學年河南省南陽市新野縣第四高級中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知p：a＋b≠5，q：a≠2或b≠3，則p是q的_______

_條件．參考答案：略2.已知集合，，則中元素的個數(shù)是(

)A、1

B、2

C、3

D、4參考答案：C略3.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若=，則=（）A.

B.

C.

D.參考答案：D略4.如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是邊長為1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，則A1C的長為（）A． B． C． D．參考答案：A【分析】用空間向量解答．【解答】解：∵=+﹣；∴2=（+﹣）2；即2=?+?﹣?+?+?﹣?﹣（?+?﹣?）=1+0﹣3×1×cos60°+0+1﹣3×1×cos60°﹣（3×1×cos60°+3×1×cos60°﹣9）；=1﹣+1﹣﹣+9=5，∴A1C=．故選A．5.已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B6.設，則中奇數(shù)個數(shù)為…（

）

A.2

B.3

C.4

D.5參考答案：A7.在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應的側視圖可以為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】簡單空間圖形的三視圖．【分析】由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個簡單的組合體，是由一個三棱錐和被軸截面截開的半個圓錐組成，根據(jù)組合體的結構特征，得到組合體的側視圖．【解答】解：由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個簡單的組合體，是由一個三棱錐和被軸截面截開的半個圓錐組成，∴側視圖是一個中間有分界線的三角形，故選D．8.如圖，ABCD—A1B1C1D1是正方體，B1E1＝D1F1＝，則BE1與DF1所成角的余弦值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.過拋物線y2=﹣4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2），若x1+x2=﹣6，則|AB|為（）A．8 B．10 C．6 D．4參考答案：A【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】拋物線y2=﹣4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1）B（x2，y2）兩點，故|AB|=2﹣（x1+x2），由此易得弦長值．【解答】解：由題意，p=2，故拋物線的準線方程是x=1，∵拋物線y2=﹣4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1）B（x2，y2）兩點∴|AB|=2﹣（x1+x2），又x1+x2=﹣6∴∴|AB|=2﹣（x1+x2）=8故選A10.等差數(shù)列{an}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，則前9項的和S9等于(

)A．66 B．99 C．144 D．297參考答案：B【考點】等差數(shù)列的前n項和．【專題】計算題．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式化簡a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分別得到①和②，用②﹣①得到d的值，把d的值代入①即可求出a1，根據(jù)首項和公差即可求出前9項的和S9的值．【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，則前9項的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故選B．【點評】此題考查學生靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，是一道中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（不等式選講）已知對于任意非零實數(shù)m，不等式恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是

。參考答案：12.求滿足的的取值集合是______________.參考答案：13.如圖，正方體棱長為1，點，，且，有以下四個結論：①,②；③平面；④與是異面直線.其中正確結論的序號是________(注：把你認為正確命題的序號都填上）參考答案：①③14.已知圓O的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25，則點M(2,3)到圓上的點的距離的最大值為________．參考答案：5＋由題意，知點M在圓O內(nèi)，MO的延長線與圓O的交點到點M(2,3)的距離最大，最大距離為.15.已知圓的圓心是直線與軸的交點，且圓與直線相切，則圓的標準方程為

.參考答案：16.在平面內(nèi)與圓心距離相等的兩弦的長相等，類似地，在空間內(nèi)與________________參考答案：球心距離相等的兩截面的面積相等17.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，點D為AC中點，點E滿足，則=．參考答案：﹣2【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】由已知畫出圖形，結合向量的加法與減法法則把用表示，展開后代值得答案．【解答】解：如圖，∵，∴=，又D為AC中點，∴，則===．故答案為：﹣2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）各項均為正數(shù)的數(shù)列,滿足,().(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.參考答案：(1)因為,所以數(shù)列是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.所以.因為,所以.(2)由(1)知,,所以.所以,

①則,

②①－②得,.所以.19.已知函數(shù)()，.（Ⅰ）當時，解關于的不等式：；（Ⅱ）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）當時，記，過點是否存在函數(shù)圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說明理由；參考答案：(I)當時，不等式等價于，解集為.

3分(Ⅱ)假設存在這樣的切線，設其中一個切點，∴切線方程：，將點坐標代入得：，即，

①法1：設，則．………………6分，在區(qū)間，上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，故．又，注意到在其定義域上的單調(diào)性知僅在內(nèi)有且僅有一根方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．8分.法2：令()，考查，則，從而在增，減，增.故，，而，故在上有唯一解.從而有唯一解，即切線唯一.法3：，；當；所以在單調(diào)遞增。又因為，所以方程有必有一解，所以這樣的切線存在，且只有一條。(Ⅲ)對恒成立，所以，令，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，.

10分得，.

令，，注意到，即，所以，

=.

14分20.（本小題滿分10分）

如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4，求二面角的余弦值。參考答案：證明：如圖建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（0，1，0），C（－2，4，0），D（－2，0，0），P（0，0，4），易證為面PAC的法向量，則

設面PBC的法向量，

，

所以

所以面PBC的法向量

∴

因為面PAC和面PBC所成的角為銳角，所以二面角B－PC－A的余弦值為。21.（本小題滿分12分）設曲線(其中a＞0)在點（x1,f(x1)）及（x2,f(x2)）處的切線都過點（0,2）.證明：當時，參考答案：解：f（x）=，f’（x）=。由于點（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f’（t）（x-t），而點（0,2）在切線上，所以2-f（t）=f’（t）（-t），化簡得，由于曲線y=f（x）在點及處的切線都過點（0,2），即x1，x2滿足方程下面用反證法證明結論:假設f’（）=，則下列等式成立：由（3）得由(1)-(2)得又∴，此時，與矛盾，所以。

略22.(10分)已知橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在此橢圓上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝．（1）求橢圓的方程；（2）若直線l過圓x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心M且交橢圓于A，B兩點，且A，B關于點M對稱，求直線l的方程．參考答案：(1)：由|PF1|＋|PF2|＝2a，知a＝3．又PF1⊥F1F2，在Rt△PF1F2中，有(2c)2＋|PF1|2＝|PF2|2，有c＝．∴b＝＝2．所以．

……4分(2)已知直線l過(－2，1)，

………5分當k存在時，設直線y＝kx＋