2021-2022學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市衡南第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市衡南第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)于不等式＜n+1（n∈N*），某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下：（1）當(dāng)n=1時(shí)，＜1+1，不等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)，不等式成立，即＜k+1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，=＜==（k+1）+1，∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．則上述證法（）A．過(guò)程全部正確 B．n=1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確 D．從n=k到n=k+1的推理不正確參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．【分析】此證明中，從推出P（k+1）成立中，并沒(méi)有用到假設(shè)P（k）成立的形式，不是數(shù)學(xué)歸納法．【解答】解：在n=k+1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用n=k時(shí)的假設(shè)，即從n=k到n=k+1的推理不正確．故選D．2.若直線3x+y+a=0平分圓x2+y2+2x-4y=0則a=

A、－1

B、1

C、3

D、－3參考答案：B3.已知為R上的奇函數(shù)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.是定義在上的非負(fù)、可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，對(duì)任意正數(shù)，若，則必有

()．A．

B．C．

D．參考答案：A5.已知直線與垂直，則=（）A．

B．

C．

D．

參考答案：D6.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.兩封信隨機(jī)投入A，B，C三個(gè)空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)的數(shù)學(xué)期望（

）A

B

C

D參考答案：B略8.某產(chǎn)品分為甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙兩級(jí)均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級(jí)品的概率為0.03,出現(xiàn)丙級(jí)品的概率為0.01,則對(duì)產(chǎn)品抽查一次抽得正品的概率是(

)(A)0.99

(B)0.98

(C)0.97

(D)0.96參考答案：D略9.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A．

B．

C．－i

D．i參考答案：C10.曲線作線性變換后得到的回歸方程為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A.(0,+∞) B.(1,+∞) C. D.參考答案：D分析：令，對(duì)函數(shù)進(jìn)行二次擬合得出a，b的值，代入計(jì)算即可.詳解：令，解得，，開(kāi)口向上，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D點(diǎn)睛：本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問(wèn)題，選擇對(duì)數(shù)變換是關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（本小題滿分5分）對(duì)于函數(shù)f(x)＝log2x在其定義域內(nèi)任意的x1，x2且x1≠x2，有如下結(jié)論：上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是________．參考答案：②③12.如圖，它滿足第n行首尾兩數(shù)均為n，則第7行第2個(gè)數(shù)是

．第n行（n≥2）第2個(gè)數(shù)是

．參考答案：22；?！究键c(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)第7行第2個(gè)數(shù)是x，由斜列：2，4，7，11，16，…，可知4﹣2=2，7﹣4=3，11﹣7=4，16﹣11=5，x﹣16=6，解得x．由a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，…，可得：a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，a5﹣a4=4，…，利用“累加求和”方法即可得出．【解答】解：①設(shè)第7行第2個(gè)數(shù)是x，由斜列：2，4，7，11，16，…，可知4﹣2=2，7﹣4=3，11﹣7=4，16﹣11=5，x﹣16=6，解得x=22．②由a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，…，可得：a3﹣a2=4﹣2=2，a4﹣a3=7﹣4=3，a5﹣a4=11﹣7=4，…，∴an=a2+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）=2+2+3+…+（n﹣1）=1+=．故答案分別為：22；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“累加求和”方法、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.已知一圓柱內(nèi)接于球O，且圓柱的底面直徑與母線長(zhǎng)均為2，則球O的表面積為_(kāi)________參考答案：略14.在區(qū)間（0，5）上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則x滿足x2﹣2x＜0的概率為

．參考答案：求解一元二次不等式得x2﹣2x＜0的解集，再由長(zhǎng)度比求出x2﹣2x＜0的概率．解：由x2﹣2x＜0，得0＜x＜2．∴不等式x2﹣2x＜0的解集為（0，2）．則在區(qū)間（0，5）上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則x滿足x2﹣2x＜0的概率為．故答案為：．15.如圖所示的幾何體ABCDEF中，ABCD是平行四邊形且，六個(gè)頂點(diǎn)任意兩點(diǎn)連線能組成異面直線的對(duì)數(shù)是__________．參考答案：39【分析】根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征可得：每個(gè)三棱錐中有三對(duì)異面直線，因?yàn)榱鶄€(gè)點(diǎn)一共形成C64﹣2＝13個(gè)三棱錐（計(jì)算三棱錐的個(gè)數(shù)時(shí)應(yīng)該做到不重不漏），所以得到答案為3（C64﹣2）＝39．【詳解】解：由題意可得：因?yàn)轭}中共有六個(gè)點(diǎn)，所以一共形成C64﹣2＝13個(gè)三棱錐，又因?yàn)槊總€(gè)三棱錐中有三對(duì)異面直線，所以異面直線的對(duì)數(shù)是3（C64﹣2）＝39．故答案為：39．【點(diǎn)睛】本題把排列組合和立體幾何掛起鉤來(lái)，因此解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握立體幾何中一共幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并且結(jié)合排列與組合的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．16.若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從﹣2連續(xù)變化到0時(shí)，動(dòng)直線x+y=a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為

．參考答案：1【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，找出當(dāng)a從﹣2連續(xù)變化到0時(shí)，動(dòng)直線x+y=a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域，利用三角形面積公式求解．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，當(dāng)a從﹣2連續(xù)變化到0時(shí)，動(dòng)直線x+y=a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域?yàn)槿切蜲AB．∴．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．17.設(shè)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最大值為

.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B．（1）求橢圓的方程；（2）求m的取值范圍；（3）若直線l不經(jīng)過(guò)橢圓上的點(diǎn)M（4，1），求證：直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出2a=4，e=，由此能求出橢圓方程．（Ⅱ）將y=x+m代入，得5x2+8mx+4m2﹣20=0，利用根的判斷式能求出m的取值范圍．（Ⅲ）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，設(shè)A（），B（x2，y2），k1+k2=+，由此利用韋達(dá)定理能證明直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．【解答】解：（Ⅰ）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，∴2a=4，e=，解得a=2，c=，b=，∴橢圓方程為．…（4分）（Ⅱ）將y=x+m代入，并整理，得：5x2+8mx+4m2﹣20=0，∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B，∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5，∴m的取值范圍是（﹣5，5）．（Ⅲ）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，設(shè)A（），B（x2，y2），則由（Ⅱ）得x1+x2=﹣，x1x2=，k1+k2=+=，∵分子=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4）=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1）=，∴k1+k2=0，∴直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查兩直線的斜率互為相反數(shù)的證明，解題時(shí)要注意根的判別式和韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．19.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=，且滿足2Sn+1=4Sn+1（n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）當(dāng)1≤i≤n，1≤j≤n（i，j，n均為正整數(shù)）時(shí)，求ai和aj的所有可能的乘積aiaj之和．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】綜合題；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（Ⅰ）由2Sn+1=4Sn+1，再寫一式，兩式相減，確定數(shù)列{an}是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，即可求出an．（Ⅱ）由ai和aj的所有可能乘積ai?aj=2i+j（1≤i≤j≤n）可構(gòu)成下表：21+1﹣4，21+2﹣4，21+3﹣4，…，21+n﹣4，22+1﹣4，22+2﹣4，…，22+n﹣4，2n+1﹣4，2n+2﹣4，2n+3，…，2n+n﹣4，即可求ai和aj的所有可能的乘積aiaj之和Tn．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，兩式相減得an+1=2an，∴，由2S2=4S1+1得2（a1+a2）=4a1+1，又，∴．∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，∴．（Ⅱ）由ai和aj的所有可能乘積（1≤i≤n，1≤j≤n）

可構(gòu)成下表：21+1﹣4，21+2﹣4，21+3﹣4，…，21+n﹣4，22+1﹣4，22+2﹣4，…，22+n﹣4，2n+1﹣4，2n+2﹣4，2n+3，…，2n+n﹣4，設(shè)上表第一行的和為T1，則于是…+2n﹣1）==【點(diǎn)評(píng)】考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式的證明、數(shù)列的求和等知識(shí)，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力和化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想．20.某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為噸．（Ⅰ）求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；（Ⅱ）若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？參考答案：（Ⅰ）每噸平均成本為（萬(wàn)元），

（2分）則

（4分）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)

（5分）∴年產(chǎn)量為噸時(shí)，每噸平均成本最低為萬(wàn)元

（6分）（Ⅱ）設(shè)年獲利潤(rùn)為萬(wàn)元

（7分）則

（8分）

∵在上是增函數(shù)．

（10分）∴當(dāng)時(shí)，有最大值∴年產(chǎn)量為噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)萬(wàn)元．

（12分）

【解析】略21.已知曲線，直線（為參數(shù)）．（1）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（2）過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為30°的直線，交于點(diǎn)，求的最大值與最小值．參考答案：(1)；(2)．

試題解析：（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）直線的普通方程為

5分（2）曲線C上任意一點(diǎn)到的距離為則，其中為銳角，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為

10分考點(diǎn)：參數(shù)方程化為普通方程；參數(shù)方程的應(yīng)用．22.若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng).(1)求n的值；(2)求展開(kāi)式中