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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)圖象的大致形狀是()A. B.C. D.2.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰,甲、丁兩人必須相鄰,則滿足要求的排隊方法數(shù)為().A.432 B.576 C.696 D.9603.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)的圖象的一條對稱軸是,則的最小值為A. B. C. D.4.已知直線:過雙曲線的一個焦點且與其中一條漸近線平行,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.5.若直線經(jīng)過拋物線的焦點,則()A. B. C.2 D.6.函數(shù)f(x)=sin(wx+)(w>0,<)的最小正周期是π,若將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱,則函數(shù)f(x)的解析式為()A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)7.已知數(shù)列的前項和為,且,,,則的通項公式()A. B. C. D.8.命題“”的否定為()A. B.C. D.9.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù),為的共軛復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.11.已知焦點為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點,點在拋物線上,則當(dāng)取得最大值時,直線的方程為()A.或 B.或 C.或 D.12.如圖所示,已知雙曲線的右焦點為,雙曲線的右支上一點,它關(guān)于原點的對稱點為,滿足,且,則雙曲線的離心率是().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在棱長為2的正方體中,點、分別是棱,的中點,是側(cè)面正方形內(nèi)一點(含邊界),若平面,則線段長度的取值范圍是______.14.已知平面向量,,且,則向量與的夾角的大小為________.15.已知等差數(shù)列的前項和為,且,則______.16.若,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=,(1)求f(x)的最小值;(2)對任意,都有恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)證明:對一切,都有成立.18.(12分)2018年反映社會現(xiàn)實的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動,治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急.為此,某藥企加大了研發(fā)投入,市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用(百萬元)和銷量(萬盒)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:研發(fā)費(fèi)用(百萬元)2361013151821銷量(萬盒)1122.53.53.54.56(1)求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01,并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合?(規(guī)定:時,可用線性回歸方程模型擬合);(2)該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型,,,并對其進(jìn)行兩次檢測,當(dāng)?shù)谝淮螜z測合格后,才能進(jìn)行第二次檢測.第一次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,,第二次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,.兩次檢測過程相互獨(dú)立,設(shè)經(jīng)過兩次檢測后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.附:(1)相關(guān)系數(shù)(2),,,.19.(12分)在綜合素質(zhì)評價的某個維度的測評中,依據(jù)評分細(xì)則,學(xué)生之間相互打分,最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個分?jǐn)?shù),滿分100分,按照大于或等于80分的為優(yōu)秀,小于80分的為合格,為了解學(xué)生的在該維度的測評結(jié)果,在畢業(yè)班中隨機(jī)抽出一個班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生,得到如下的列聯(lián)表:優(yōu)秀合格總計男生6女生18合計60已知在該班隨機(jī)抽取1人測評結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.(1)完成上面的列聯(lián)表;(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與測評結(jié)果有關(guān)系?(3)現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況,采取簡單隨機(jī)抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來分析,請你選擇一個合適的抽樣方法,并解釋理由.附:0.250.100.0251.3232.7065.02420.(12分)設(shè)等差數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求的前項和及使得最小的的值.21.(12分)2019年底,北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募,僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便突破60萬,其中青年學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中,按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語水平測試,所得成績(單位:分)統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計在這50萬青年學(xué)生志愿者中,英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人,記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò),現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000),并在每組中隨機(jī)選取個人作為聯(lián)絡(luò)員,要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù),以頻率作為概率,給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)求在點處的切線方程;(Ⅱ)求證:在上存在唯一的極大值;(Ⅲ)直接寫出函數(shù)在上的零點個數(shù).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
判斷函數(shù)的奇偶性,可排除A、C,再判斷函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值與的大小,即可得出答案.【詳解】解:因為,所以,所以函數(shù)是奇函數(shù),可排除A、C;又當(dāng),,可排除D;故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)表達(dá)式判斷函數(shù)圖像,屬于中檔題.2.B【解析】
先把沒有要求的3人排好,再分如下兩種情況討論:1.甲、丁兩者一起,與乙、丙都不相鄰,2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有種不同排列方式,甲、丁排在一起共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;根據(jù)分類加法、分步乘法原理,得滿足要求的排隊方法數(shù)為種.故選:B.【點睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,在分類時,要注意不重不漏的原則,本題是一道中檔題.3.C【解析】
將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,因為函數(shù)的圖象的一條對稱軸是,所以,即,所以,又,所以的最小值為.故選C.4.A【解析】
根據(jù)直線:過雙曲線的一個焦點,得,又和其中一條漸近線平行,得到,再求雙曲線方程.【詳解】因為直線:過雙曲線的一個焦點,所以,所以,又和其中一條漸近線平行,所以,所以,,所以雙曲線方程為.故選:A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】
計算拋物線的交點為,代入計算得到答案.【詳解】可化為,焦點坐標(biāo)為,故.故選:.【點睛】本題考查了拋物線的焦點,屬于簡單題.6.D【解析】
由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.【詳解】分析:由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.詳解:因為函數(shù)的最小正周期是,所以,解得,所以,將該函數(shù)的圖像向右平移個單位后,得到圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式為,由此函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得:,即,取,得,滿足,所以函數(shù)的解析式為,故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及函數(shù)的解析式的求解,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.7.C【解析】
利用證得數(shù)列為常數(shù)列,并由此求得的通項公式.【詳解】由,得,可得().相減得,則(),又由,,得,所以,所以為常數(shù)列,所以,故.故選:C【點睛】本小題考查數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力,應(yīng)用意識.8.C【解析】
套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”,所以命題“”的否定為“”.故選:C【點睛】本題考查全稱命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】
三視圖對應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體,利用割補(bǔ)法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示,它是一個圓柱截去上面一塊幾何體,把該幾何體補(bǔ)成如下圖所示的圓柱,其體積為,故原幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積,復(fù)原幾何體時注意三視圖中的點線關(guān)系與幾何體中的點、線、面的對應(yīng)關(guān)系,另外,不規(guī)則幾何體的體積可用割補(bǔ)法來求其體積,本題屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】
求出,直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù).【詳解】.故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】
過作與準(zhǔn)線垂直,垂足為,利用拋物線的定義可得,要使最大,則應(yīng)最大,此時與拋物線相切,再用判別式或?qū)?shù)計算即可.【詳解】過作與準(zhǔn)線垂直,垂足為,,則當(dāng)取得最大值時,最大,此時與拋物線相切,易知此時直線的斜率存在,設(shè)切線方程為,則.則,則直線的方程為.故選:A.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,涉及到拋物線的定義,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.12.C【解析】
易得,,又,平方計算即可得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為E,易得為平行四邊形,所以,又,故,,,所以,即,故離心率為.故選:C.【點睛】本題考查求雙曲線離心率的問題,關(guān)鍵是建立的方程或不等關(guān)系,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
取中點,連結(jié),,推導(dǎo)出平面平面,從而點在線段上運(yùn)動,作于,由,能求出線段長度的取值范圍.【詳解】取中點,連結(jié),,在棱長為2的正方體中,點、分別是棱、的中點,,,,,平面平面,是側(cè)面正方形內(nèi)一點(含邊界),平面,點在線段上運(yùn)動,在等腰△中,,,作于,由等面積法解得:,,線段長度的取值范圍是,.故答案為:,.【點睛】本題考查線段長的取值范圍的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.14.【解析】
由,解得,進(jìn)而求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:因為,所以,解得,所以,所以向量與的夾角的大小為.都答案為:.【點睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算,平面向量垂直,向量夾角等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得的值.【詳解】因為為等差數(shù)列,所以,解得,所以.故答案為:【點睛】本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì),前項和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,應(yīng)用意識.16.【解析】
因為,由二倍角公式得到,故得到.故答案為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)((3)見證明【解析】
(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點,列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定函數(shù)單調(diào)性,最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最小值取法;(2)先分離不等式,轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題,利用導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)函數(shù)最值即得結(jié)果;(3)構(gòu)造兩個函數(shù),再利用兩函數(shù)最值關(guān)系進(jìn)行證明.【詳解】(1)當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)的最小值為f()=;(2)因為所以問題等價于在上恒成立,記則,因為,令函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;函數(shù)f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增;即,即實數(shù)a的取值范圍為(.(3)問題等價于證明由(1)知道,令函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增;函數(shù)在(1,+)上單調(diào)遞減;所以{,因此,因為兩個等號不能同時取得,所以即對一切,都有成立.【點睛】對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題,在可能的情況下把參數(shù)分離出來,使不等式一端是含有參數(shù)的不等式,另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù),這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù),另一端是參數(shù)的不等式,便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的,如果分離參數(shù)后,得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜,性質(zhì)很難研究,就不要使用分離參數(shù)法.18.(1)0.98;可用線性回歸模型擬合.(2)【解析】
(1)根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出,代入相關(guān)系數(shù)公式求出,根據(jù)的大小來確定結(jié)果;(2)求出藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率,發(fā)現(xiàn)它們相同,那么經(jīng)過兩次檢測后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,服從二項分布,利用二項分布的期望公式求解即可.【詳解】解:(1)由題意可知,,由公式,,∴與的關(guān)系可用線性回歸模型擬合;(2)藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率分別為,,,由題意,,.【點睛】本題考查相關(guān)系數(shù)的求解,考查二項分布的期望,是中檔題.19.(1)見解析;(2)在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“性別與測評結(jié)果有關(guān)系”(3)見解析.【解析】
(1)由已知抽取的人中優(yōu)秀人數(shù)為20,這樣結(jié)合已知可得列聯(lián)表;(2)根據(jù)列聯(lián)表計算,比較后可得;(3)由于性別對結(jié)果有影響,因此用分層抽樣法.【詳解】解:(1)優(yōu)秀合格總計男生62228女生141832合計204060(2)由于,因此在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“性別與測評結(jié)果有關(guān)系”.(3)由(2)可知性別有可能對是否優(yōu)秀有影響,所以采用分層抽樣按男女生比例抽取一定的學(xué)生,這樣得到的結(jié)果對學(xué)生在該維度的總體表現(xiàn)情況會比較符合實際情況.【點睛】本題考查獨(dú)立性檢驗,考查分層抽樣的性質(zhì).考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力.屬于中檔題.20.(1)(2);時,取得最小值【解析】
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,結(jié)合已知,聯(lián)立方程組,即可求得答案.(2)由(
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