高中數(shù)學(xué) 第四課柯西不等式與排序不等式 新人教A選修45

第三講

柯西不等式與排序不等式.

一二維形式的柯西不等式.若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號成立.定理1（二維形式的柯西不等式）:你能證明嗎？.推論.向量形式：.設(shè)α,β是兩個(gè)向量,則當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使α=kβ時(shí),等號成立.定理2:（柯西不等式的向量形式）.xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及三角形的邊長關(guān)系:觀察.定理３（二維形式的三角不等式）設(shè)，那么.例題例1.已知a,b為實(shí)數(shù),證明：(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2..例3.設(shè)a,b∈R+,a+b=1,求證.練習(xí)：.作業(yè)第37頁,第1,5,6題.

二一般形式的柯西不等式.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2二維形式的柯西不等式）:三維形式的柯西不等式）:n維形式的柯西不等式）:.定理設(shè)是實(shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)(i=1,2,…,n)或存在一個(gè)數(shù)k使得(i=1,2,…,n)時(shí)等號成立。以上不等式稱為一般形式的柯西不等式。.一般形式的三角不等式.例1已知都是實(shí)數(shù)，求證：.例2已知a,b,c,d是不全相等的正數(shù)，證明：>ab+bc+cd+da..例3已知x+2y+3z=1,求的最小值。.例4：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。求證：

又a、b、c各不相等，故等號不能成立∴原不等式成立。.例5若a>b>c求證：∴.例6：若求證：分析：左端變形∴只需證此式即可

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三排序不等式.反序和≤亂序和≤順序和.例1：有10人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿第i(i=1,2,…,10)個(gè)人的水桶需要ti分，假定這些ti各不相同。問：只有一個(gè)水龍頭時(shí)，應(yīng)該如何安排10人的順序，使他們等候的總時(shí)間最少？這個(gè)最少的總時(shí)間等于多少？.解：總時(shí)間(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10根據(jù)排序不等式，當(dāng)t1<t2<…<t9<t10時(shí)，總時(shí)間取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，則10人等候的總時(shí)間最少。最少的總時(shí)間是:10t1+9t2+…+2t9+t10.例2設(shè)a1,a2,…,an是n個(gè)互不相等的正整數(shù)，求證：.證明：設(shè)b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一個(gè)排列，且有b1<b2<…<bn因?yàn)閎1,b2,…,bn是互不相等的