高中數(shù)學(xué) 空間向量法解決立體幾何問題 新人教

空間向量法解決立體幾何問題數(shù)學(xué)專題二.專題提綱二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；

(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。1、直線的方向向量；2、平面的法向量。一、引入兩個重要空間向量.一.引入兩個重要的空間向量1.直線的方向向量把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB.2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時向量n叫做平面α的法向量.

αn.在空間直角坐標系中,如何求平面法向量的坐標呢?如圖2,設(shè)a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內(nèi)的兩個不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說,若n·a=0且n·b=0,則n⊥α.abnα.求平面的法向量的坐標的步驟第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標..例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy.解：以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz（如圖）,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),則O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐標n=(2,0,1).AAA1B1C1D1ABOCDxzy.練習(xí)答案：.二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥babab.三、簡單應(yīng)用練習(xí)1：設(shè)直線l，m的方向向量分別為

，，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)，m的位置關(guān)系：.例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD.證明：設(shè)a,b,c,依題意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

.向量法..坐標法.(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且Lα.①若a∥n,即a

=λn,則L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.naααnaLL.例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點,求證:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy.解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(I)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(II),而n=-2+0+2=0AB1

∥平面DBC1.DACBBCDAFEXYZ.DACBBCDAFEXYZ.三、練習(xí):

1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且A1P=QB，M、N分別為AB1、PQ的中點。求證：MN//平面ABCD。.DBCAA1QPNMD1C1B1zyxo證明：建立如圖所示的空間直角坐標系o-xyz設(shè)正方形邊長為2，又設(shè)A1P=BQ=2x則P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1)所以向量(-x,x,0)，又平面AC的法向量為(0,0,1)，∴∴

又M不在平面AC內(nèi)，所以MN∥平面AC.(3)平面與平面的位置關(guān)系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2

n1n1n2

n2①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥ββαβα.練習(xí)2：設(shè)平面

，的法向量分別為

，，根據(jù)下列條件判斷，的位置關(guān)系：.DACBBCDAFEXYZ正方體ABCD-A’B’C’D’中，E、F分別是CC’、BD的中點。求證：面A’D’F⊥面BDED’(0,0,2)例.設(shè)平面DBE的法向量為n1=(x,y,z)得解得取y=-1,得平面DBE的法向量為n1=(1,-1,2)同理可得平面A’D’F的法向量為n2=(0,2,1)∵n1·n2=0-2+2=0∴面DBE⊥面A’D’F.2.求空間中的角.例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.BC

A

MxzyB1C1D1A1CD.解:以A為原點建立如圖所示的直角坐標系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長為2,則M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),于是,

∴cos<，>=.練習(xí)..例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO.解:建立如圖示的直角坐標系,則A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)由得取y=,得n=(3,,0)而∴∴C1A1B1CAOBxyz.答案：C...（3）二面角設(shè)n1、n2分別是二面角兩個半平面α、β的法向量，由幾何知識可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標z同號時相等）或互補（選取法向量豎坐標z異號時互補），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n1n2n2....例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.BCzxyABCDS.解：建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由

得

n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2

=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ滿足

∴二面角A-SD-C的大小為..如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，．求面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值．練習(xí)：SBACDzxy.設(shè)平面ADBCS.例........練習(xí)：...（2）解法2：設(shè)平面PBD的法向量為：n=(x,y,z)∵

=(1，0，-）,

∴x-z=0,且-x-y-z=0∴x=z,y=-2z令z=1,得：n=(,-2,1)∵平面CBD的法向量為=(0，0，）∴又∵∴∴二面角P-BD-C的大小為：arccos1/4..解法二：設(shè)平面PAD的法向量為：n=(x,y,z)解得：取x=1,得n1=(1,2,-)同理：可得平面PAB的法向量為n2=(,0,1)∴n1n2=+0+=0∴平面PAD⊥平面PBD.3.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算.如圖,設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n,這時分別在a、b上任取A、B兩點,則向量在n上的正射影長就是兩條異面直線a、b的距離.∴

即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.nabAB.例8在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1.解:建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得

n=(-1,-1,2).

∵,∴異面直線AC1與BD間的距離.(2)點到平面的距離A為平面α外一點(如圖),n為平面α的法向量,過A作平面α的斜線AB及垂線AH.

==.于是，點到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值.nABHαθ.例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距離.zxyCC1A1B1AB.解:以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz,則C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).設(shè)面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得

n=(-,0,1).

∵,∴或∵,∴或∵,∴可見,選擇平面內(nèi)外兩點的向量時,與平面