Hill密碼的加密與解密-矩陣

Hill密碼的加密、解密與破譯數(shù)學實驗上海交通大學數(shù)學系即使埃斯庫羅斯被人們遺忘，阿基米德仍會被人們記住，因為即使語言文字會消亡,數(shù)學概念也不會消亡。

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G.H.Hardy

現(xiàn)代數(shù)學家象其他從事科學的人們那樣，在應用他們的原理方面化費的心血比在了解這些原理方面多得多。

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G.B.Berkeley密碼的故事ConanDoyle創(chuàng)作的歇洛克.福爾摩斯這段符號的譯文為

AMHEREABESLANE.呂貝卡的故事－007的故事舞蹈人形戰(zhàn)爭和和平時期的間諜戰(zhàn)基度山伯爵（大仲馬）誰最先使用密碼？密碼學

—Cryptography源于希臘文字：秘密＋書寫，古老神秘的學科JuliusCaesar

(愷撒)密文：Kh

lv

wkh

uxohu

ri

dqflhqw

Urpd明文：HeistherulerofancientRoma目的將信息傳遞給己方的接收者防止敵方知道信息的內容主要缺陷：字母出現(xiàn)頻率不變密碼學名詞明文需要采用某種方法對其進行變換來隱蔽它所載荷的信息或字符串加密過程將明文變換成另一種不能被非授權者所理解的隱蔽信息的消息或字符串的過程明文經(jīng)過加密過程的變換所得的消息或密文字符串將明文變?yōu)槊芪牡淖儞Q加密變換解密變換將密文變?yōu)槊魑牡淖儞Q密鑰加密變換所使用的參數(shù)發(fā)送者簡單的加密解密過程模型明文密文普通信道接收者明文竊聽、干擾加密器解密器HILL2密碼明文分組(兩個一組)，按組轉換成密文同一字母在不同組中所對應密碼不同HILL2密碼的加密與解密★

假設要加密的明文是由26個字母所構成★將每個明文字母與0–25的一個數(shù)字建立1–1對應關系，稱為明文字母的表值字母ABCDEFGHIJKLM表值12345678910111213字母NOPQRSTUVWXYZ表值1415161718192021222324250★將明文字母依次按每兩個字母一組查出其表值，得到一組二維向量

★通過加密矩陣得到，而★查向量i

的字母表值，即得到密文★利用加密矩陣的逆矩陣，由密文得到明文★選擇一個加密矩陣A—二階正整數(shù)值的矩陣.例如關于模運算（mon26）模m

等價設

a,b為兩個整數(shù),若稱

a模m等價于b，記作剩余集稱為模m的剩余集運算律設a,b

為兩個整數(shù)，模m

倒數(shù)

設，若存在使得，稱a有模m

倒數(shù)記作命題整數(shù)a有模m

倒數(shù)的充要條件為a

與m

無公共素因子模26倒數(shù)表25175112371931521912523211917151197531a–1(mod26)a怎樣求模m

倒數(shù)即解方程定義Euler函數(shù)：設m

為一自然數(shù)，Zm中與m

互素的數(shù)的個數(shù)稱為m

的Euler函數(shù)，記為(m)Euler定理

對任意整數(shù)k,m,若k,m互素，則

故所求x為可借助軟件Mathematica：

Eulerphi[m]矩陣模m可逆設為n

階方陣，若存在使得，稱B

為A

的模m逆矩陣，記作命題矩陣A模m

可逆|A|與m

無公共素因子模m逆矩陣例子一個簡單實例明文：Ourmarshalwasshot分組：ou

rm

ar

shalwa

sshott補充啞字母對應向量加密：左乘加密矩陣直接結果密文向量密文ek

rmkbixyj

yc

ee

ls

hh解密只要將解密矩陣左乘密文向量即可求得明文向量，從而查出明文結論使用Hill密碼時的加密矩陣應該模26

可逆使用MathematicaIn[1]:=a={{1,2},{0,3}};MatrixForm[a]Out[1]//MatrixForm=In[2]:=deta=Mod[Det[a],26]Out[2]=3In[3]:=inva=Inverse[a];MatrixForm[inva]Out[3]//MatrixForm=In[4]:=adja=deta

invaOut[4]//MatrixForm=In[5]:=ideta=9Out[5]=9In[6]:=inva1=Mod[ideta

adja,26];MatrixForm[inva1]Out[6]//MatrixForm=In[7]:=b={{5,18,11,9,25,25,5,12,8},{11,13,2,24,10,3,5,19,8}};c=Mod[inva1.b,26];MatrixForm[c]Out[7]//MatrixForm=HILL2密碼的破譯

關鍵是求得加密矩陣的逆—解密矩陣

只要分析出兩個明文向量（線性無關）與相應的密文向量

若有甲方截獲了一段密文：OJWPISWAZUXAU一個破譯例子UISEABAUCRSIPLBHAAMMLPJJOTENH經(jīng)分析這段密文是用HILL2密碼編譯的，且這段密文的字母UCRS依次代表了字母TACO，若明文字母的表值如前，試破譯這密文的內容？關系其中其中計算A－