《電路》邱關(guān)源g(第五版)第13章

非正弦周期信號的分解

諧波分析法

有效值、平均值和平均功率非正弦周期電流電路和信號的頻譜第十三章JeanBaptisteJosephFourier傅里葉(1768-1830)線性電路中一個正弦電源作用或多個同頻正弦電源同時作用時，電路各部分的穩(wěn)態(tài)電壓、電流都是同頻的正弦量。但在實際生產(chǎn)和科學(xué)實驗中，通常還會遇到按非正弦規(guī)律變化的電源和信號?！?3—1非正弦交流電壓、電流的產(chǎn)生1、正弦交流電壓、電流的畸變或電路中出現(xiàn)不同頻率的電源。tu0tu0tu0+=u1u2u32、信號本身為非正弦量t鋸齒波u0T/2t脈沖波i方波電壓tu03、電路中存在非線性元件tu0°°tu0二、討論范圍及方法1、范圍：非正弦周期電源作用下的線性電路。2、方法：諧波分析法（變換法）諧波分析法—以線性電路的迭加定理為理論基礎(chǔ)，把非正弦周期電流電路的計算轉(zhuǎn)化為不同頻率的正弦交流電路的計算。非正弦信號i線性電路°°uSi線性電路線性電路線性電路線性電路uS1uS3uS2uSnii1iii23n線性迭加：i=i1+i2+i3+…+in線性電路uS2uSnuS1iuS3§13—2周期函數(shù)的分解一、一般周期函數(shù)的分解

周期函數(shù)f(t)=f(t+Kt)，若滿足狄里赫里條件：※在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；※在一個周期內(nèi)只有有限個極大值或極小值；※積分

f（t）d（t）0

存在。T/2-T/2就可以展開成一個傅立葉級數(shù)?；ǎê驮瘮?shù)同頻）二次諧波（2倍頻）

直流分量高次諧波周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)：akbkAkmΨk奇函數(shù)分量偶函數(shù)分量直流分量K=1基波分量(和原函數(shù)同頻）K=2二次諧波分量K

高次諧波分量K=偶數(shù)偶次諧波分量K=奇數(shù)奇次諧波分量其中：A0=a0Ψk=arctan（bk/ak）22Kkba+Akm=Ck=2ak

-jbk=CkeK=-jk

1t)sincos(10)(=++=kkkttkbtkaafw1w1=++=10)COS(

(kkkmtkAAw1

Ψ基波分量+各諧波分量求出A0、ak、bk便可得到原函數(shù)f(t)的展開式。系數(shù)的計算：*頻譜：為了表示一個周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)后包含的那些頻率分量以及各分量所占的比重，用長度與各次諧波振幅大小相對應(yīng)的線段，按頻率的高低順序把他們依次排列起來，就得到以下的頻譜圖。kωAkm二、具有對稱性的周期函數(shù)的分解1、不論偶、奇函數(shù)，只要波形在橫軸上下包圍的面積相等，則ao=02、偶函數(shù)：f（t）=f（-t）

則bk=0tf（t）T/2縱軸對稱3、奇函數(shù)：f（t）=-f（-t）

則ak=04、奇諧波函數(shù)：f（t）=-f（t+T/2）原點對稱鏡對稱f（t）t0ak=0bk偶數(shù)ao=0tf（t）tT/2T周期性方波信號的分解例1解圖示矩形波電流在一個周期內(nèi)的表達式為：直流分量：諧波分量：K為偶數(shù)K為奇數(shù)（K為奇數(shù)）的展開式為：ttt基波直流分量三次諧波五次諧波七次諧波周期性方波波形分解基波直流分量直流分量+基波三次諧波直流分量+基波+三次諧波tT/2TAkm0矩形波的頻譜圖tT/2TIS0等效電源IS0

例、試把表12-中振幅為50V、周期為0.02s的三角波電壓分解為傅里葉級數(shù)（取至五次諧波）。解電壓基波的角頻率為§13-3有效值、平均值和平均功率1.

三角函數(shù)的性質(zhì)

（1）正弦、余弦信號一個周期內(nèi)的積分為0。k整數(shù)

（2）sin2、cos2

在一個周期內(nèi)的積分為。（3）

三角函數(shù)的正交性一、有效值以電流為例：定義：周期電流、電壓的方均根值。把電流的公式代入，得：同理：結(jié)論：非正弦周期電壓、電流的有效值等于直流分量的平方與各次諧波有效值的平方和開方。討論：1、非正弦周期電壓、電流的有效值與最大值間是否存在2的關(guān)系？2、有效值相等的兩個非正弦周期電壓（或電流），它們的

最大值是否相等？T/2Tf（t）tf（t）二、平均值

它相當(dāng)于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值。

在電工測量中，用不同的儀表測量時可得不同的結(jié)果，例如：磁電系儀表測量，所得的結(jié)果將是電流的恒定分量。電磁系儀表測量結(jié)果將是電流的有效值。用全波整流儀表測量時，所得的結(jié)果將是電流的平均值。定義：非正弦周期電壓、電流的絕對值的平均值。當(dāng)時,三、有功功率—平均功率式中的u，i取關(guān)聯(lián)參考方向。定義：瞬時功率在一個周期的平均值。根據(jù)正交性，不同頻率的電流，電壓的乘積積分為零，同頻率的電流，電壓的乘積積分為UKIKCOS。這樣，不難證明：式中：同理平均功率＝直流分量的功率＋各次諧波的平均功率例題：°°°i1i2i3已知：i2=202cos(t+30o)+152cos(5t+30o)A求：i3和I3。i1=5+102cos(t+30o)+52cos(3t+10o)A解：根據(jù)KCLi3=i1+i2

5+302cos(t+30o)+52cos(3t+10o)+152cos(5t+30o)A=I3=52+302+52+152=34.2A若：i2=202cos(t+10o)+152cos(5t+30o)A同頻率合并i3=i1+i25+222cos(t+26.7o)+52cos(3t+10o)+152cos(5t+30o)A=一次諧波用相量相加1030o+2010o=2226.7o例題：已知：is=50+402cos(t)+402cos(t+30o)+202cos(5t+10o)A求：UR，P。is2+-解：uR=isR=100+1542cos(t+15.12o)+402cos(5t+10o)VUR=1002+1542+402=188.3V合并772cos(t+15.12o)P=50100+15477cos0o+4020=17.672Kw=I2R例題

已知某電路的電壓、電流分別為求該電路的平均功率、無功功率和視在功率。解平均功率為無功功率為視在功率為*工程中，常用正弦波代替非正弦波，稱等效正弦波。但是要滿足：

1、正弦波和非正弦波的有效值相等。

2、有功功率相等。

3、正弦波頻率與非正弦波的基波頻率相同，具體步驟如下：（1）把給定的非正弦周期電源分解，高次諧波取到哪一項為止，要根據(jù)所需準(zhǔn)確度的高低而定。（2）分別求出電源的恒定分量及各次諧波單獨作用時的響應(yīng)。把計算結(jié)果轉(zhuǎn)換為時域形式。對恒定分量作用：電容開路，電感短路。對各次諧波作用：用相量法求解，注意感抗、容抗與頻率的關(guān)系。（3）應(yīng)用疊加定理，把步驟（2）計算出的結(jié)果進行疊加，從而求得所需響應(yīng)。*注意把表示不同頻率正弦電流向量或電壓向量直接相加是沒意義的。13-4諧波分析法練習(xí)題：圖(a)所示電路，已知全波形整流電壓us(t)波形如圖(b)所示，其中T=20ms.試求：（1）電流i0(t)及其有效值；（2）電阻R的功率。us(t)L+_Ci0(t)

R（a）0.4H2kΩ100μF100us(t)/VT/2T(b)t(s)解：查教材中表格該級數(shù)收斂較快，僅計取到4次諧波即可us(t)=63.7-42.5cos2ωt-8.5cos4ωt-3.64cos6ωt-…I0=Us(0)/R=63.7/(2×103)=31.85mA1、Us(0)=63.7V作用us(t)L+_CI0

R2kΩ??us(t)L+_Ci0(t)

R（a）0.5H2kΩ100μF感抗ZL（2）=j2ωL=j2×314×0.5=j314Ω容抗ZC（2）=1/j2ωC=-j15.9Ω電阻與電容并聯(lián)阻抗

ZRC（2）=RZC（2）/(R+ZC（2）)

=2×103×(-j15.9）/2×103-j15.9

-j15.9Ω

2、Us2=42.5180v作用?對2次諧波分量：I(2)?+_j314Ω2kΩ-j15.9Ω?Us故電流的二次諧波分量對4次諧波分量，感抗ZL（4）=2ZL（2）=j628Ω，

容抗ZC（4）=0.5

ZC（2）=-j7.9

Ω電阻與電容的并聯(lián)阻抗3、Us4=8.5180v作用?

ZRC（4）=R×ZC（4）/R+ZC（4）

=2×103×（-j7.9）/（2×103–j7.9）=–j7.9ΩI

(2)=USm(2)/(ZL（2）+ZRC（2）)=42.5∠180/(j314-j15.9)=-1.4∠0°mA??I

(4)=USm(4)/(ZL（4）+ZRC（4）)=8.5∠180°/(j628-j7.9)=-0.014∠0°mA??4、將各電流分量寫成瞬時表達式再相加得i0(t)=（31.85-1.3cos2ωt-0.014cos4ωt）mA5、求i0(t)的有效值：

I=√

IO2+0.5I2M2+0.5I4M2=√31.852+0.5×1.32+0.5×0.0142

=31.86mA6、計算R的吸收功率：討論

計算結(jié)果表明，當(dāng)單向脈動的整流信號通過該電路時，其直流分量能順利通過，對高次諧波分量則衰減很大。這種電路就是在電子線路中經(jīng)常使用的低通濾波電路。

P=I0UO+0.5I2mR+0.5I4mR=IR

=2.03W222u(t)WA+VRLi(t)C

求電磁系電流表、電壓表及功率表的讀數(shù)。例題：

已知在圖中所示電路中，

u(t)=[100+802cos(ωt+30°)+182cos3ωt]VR=6kΩωL=2kΩ1/ωC=18kΩ解:本題中求的電流表、電壓表和功率表讀數(shù)，實際上就是計算相應(yīng)非正弦周期電流、電壓的有效值和電路的平均功率。(1)對直流分量：電容是為開路，故I（0）=0U(0)=0（2）對基波分量(1)U=80∠30°v?Z(1)=R+j(ωL–1/ωc)=17∠-69.4°KΩ?I=U(1)/Z(1)=80∠30°/17∠-69.4°=4.7∠99.4°mA?u(t)WA+VRLi(t)C(3)對3次諧波:U(1)=(R+jωL)I(1)=(6+j2)×4.7∠99.4°=29.7∠117.8°V??U(3)=18∠0°VI(3)=U(3)/Z(3)=18∠0°/6=3∠0°mA?三次諧波諧振Z(3)=R+j(3ωL–1/3ωc)=6KΩ=(6+j6)×3∠0°=25.5∠45°VU(3)=(R+j3ωL)I(3)因此,電流表和電壓表的讀數(shù)分別為

I=I(1)2

+I(3)2)=

4.72+32=5.6mA

U=Uab(1)2

+Uab(3)2=29.62+25.52=39.1Vu(t)=[29