二項(xiàng)式定理的常考點(diǎn)

二項(xiàng)式定理的?？键c(diǎn)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tk＋1＝an－kbk(k＝0,1,2，…，n)集中體現(xiàn)了二項(xiàng)展開(kāi)式中的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)的變化，它在求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)(如含指定冪的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等)及其系數(shù)以及數(shù)、式的整除等方面有著廣泛的應(yīng)用．使用時(shí)要注意：(1)通項(xiàng)公式表示的是第“k＋1”項(xiàng)，而不是第“k”項(xiàng)；(2)通項(xiàng)公式中a和b的位置不能顛倒；(3)展開(kāi)式中第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第k＋1項(xiàng)的系數(shù)，

數(shù)在一般情況下是不相同的，在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，

一般先處理符號(hào)，對(duì)根式和指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心，以防

出錯(cuò)．已知在()n的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．(1)求n；(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．利用通項(xiàng)公式可求,注意運(yùn)算.【解】

(1)通項(xiàng)公式為因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以k＝5時(shí)，有＝0，即n＝10.(2)令得k＝(n－6)＝2，∴所求的系數(shù)為，(3)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意得令＝r(r∈Z)，則10－2k＝3r，即k＝5－∵k∈Z，∴r應(yīng)為偶數(shù)，∴r可取2、0、－2，即k可取2、5、8.所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)均為有理數(shù)，它們分別為1．對(duì)形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m、(a、b、c∈R)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對(duì)(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a7＋a6＋…＋a1；(2)a7＋a5＋a3＋a1；(3)a6＋a4＋a2＋a0.所求結(jié)果與各項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，可以考慮用“特殊值”法，即“賦值法”整體解決.【解】

(1)令x＝0，則a0＝－1；令x＝1，則a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①∴a7＋a6＋…＋a1＝129.(2)令x＝－1，則－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由得：a7＋a5＋a3＋a1＝[128－(－4)7]＝8256.(3)由得a6＋a4＋a2＋a0＝[128＋(－4)7]＝－8128.1．求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)：(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)(第(＋1)項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大；(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)(第項(xiàng)與第(＋1)項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大．2．求展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開(kāi)

式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開(kāi)式各

項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)

用從而解出k來(lái)，即得．已知()n(n∈N*)的展開(kāi)式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10∶1.(1)求展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和；(2)求展開(kāi)式中含

的項(xiàng)；(3)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

（1）可利用“賦值法”求各項(xiàng)系數(shù)的和；（2）可利用展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式確定k的值；（3）可利用通項(xiàng)公式求出k的范圍，再確定項(xiàng).【解】由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為·(－2)4，第三項(xiàng)的系數(shù)為則有化簡(jiǎn)得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各項(xiàng)系數(shù)的和為(1－2)8＝1.(2)通項(xiàng)公式令，則k＝1，故展開(kāi)式中含的項(xiàng)為T2＝－16

.(3)設(shè)展開(kāi)式中的第k項(xiàng)，第k＋1項(xiàng)，第k＋2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為若第k＋1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則，解得5≤k≤6.又T6的系數(shù)為負(fù)，∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T7＝1792x－11.由n＝8知第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)T5＝1120x－6.(1)(

)n展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是(

)A．360

B．180C．90D．45(2)已知(1－x)n的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為32，則(1－x)n的展開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)是________．課堂練習(xí)題解析：(1)依題意：只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得到n＝10，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為·2k·x－2k＝,令k＝2可得常數(shù)項(xiàng)T3＝＝180.(2)令x＝－1，得2n＝32，所以n＝5，故系數(shù)最小的項(xiàng)是＝－10x3.答案：(1)B

(2)－10x3二項(xiàng)式定理的考查是高考熱點(diǎn)內(nèi)容之一，主要考查通項(xiàng)公式的應(yīng)用.利用通項(xiàng)公式求特定的項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)，或已知某項(xiàng)，求指數(shù)n等.多以選擇、填空題的形式出現(xiàn).前年的高考數(shù)學(xué)卷考查了利用賦值法研究系數(shù)的問(wèn)題，形式新穎.(高考真題)若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，則的值為(

)