合工大 數(shù)字信號處理 第四章

第四章快速(kuàisù)傅立葉變換

FastFourierTransform精品資料第一節(jié)直接計(jì)算DFT的問題及改進(jìn)(gǎijìn)途徑1、問題(wèntí)的提出設(shè)有限長序列x(n)，非零值長度為N，若對x(n)進(jìn)行一次DFT運(yùn)算，共需多大的運(yùn)算工作量？計(jì)算成本?計(jì)算速度?精品資料2.DFT的運(yùn)算量回憶(huíyì)DFT和IDFT的變換式：1）x(n)為復(fù)數(shù)，也為復(fù)數(shù)。2）DFT與IDFT的計(jì)算量相當(dāng)。注意：精品資料計(jì)算機(jī)運(yùn)算(yùnsuàn)時（編程實(shí)現(xiàn)）：N次復(fù)乘，N-1次復(fù)加

N個點(diǎn)以DFT為例：精品資料復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個X(k)NN–1N個X(k)(N點(diǎn)DFT)N2N(N–1)實(shí)數(shù)乘法實(shí)數(shù)加法一次復(fù)乘42一次復(fù)加2一個X(k)4N2N+2(N–1)=2(2N–1)N個X(k)(N點(diǎn)DFT)4N22N(2N–1)運(yùn)算量(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)精品資料例：計(jì)算(jìsuàn)一個N點(diǎn)DFT，共需N2次復(fù)乘。以做一次復(fù)乘1μs計(jì)，若N=4096，所需時間為例：石油勘探，有24個通道的記錄，每通道波形記錄長度為5秒，若每秒抽樣500點(diǎn)/秒，1）每道總抽樣點(diǎn)數(shù)：500*5=2500點(diǎn)2）24道總抽樣點(diǎn)數(shù)：24*2500=6萬點(diǎn)3）DFT復(fù)乘運(yùn)算(yùnsuàn)時間：N2=(60000)2=36*108次精品資料由于(yóuyú)計(jì)算量大，且要求相當(dāng)大的內(nèi)存，難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時處理，限制了DFT的應(yīng)用。長期以來，人們一直在尋求一種能提高DFT運(yùn)算速度的方法。FFT便是Cooley&Tukey在1965年提出的的快速算法，它可以使運(yùn)算速度提高幾百倍，從而使數(shù)字信號處理學(xué)科成為一個(yīɡè)新興的應(yīng)用學(xué)科。精品資料第二節(jié)改善DFT運(yùn)算效率的基本(jīběn)途徑1、利用DFT運(yùn)算的系數(shù)的固有對稱性和周期性，改善DFT的運(yùn)算效率。1）對稱性2）周期性3）可約性精品資料精品資料2、將長序列DFT利用(lìyòng)對稱性和周期性分解為短序列DFT的思路因?yàn)镈FT的運(yùn)算量與N2成正比的，如果(rúguǒ)一個大點(diǎn)數(shù)N的DFT能分解為若干小點(diǎn)數(shù)DFT的組合，則顯然可以達(dá)到減少運(yùn)算工作量的效果。精品資料N點(diǎn)DFTN/2點(diǎn)DFTN/2點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)DFTN/4點(diǎn)DFT…….復(fù)乘：精品資料FFT算法的基本思想：利用(lìyòng)DFT系數(shù)的特性，合并DFT運(yùn)算中的某些項(xiàng)把長序列DFT→短序列DFT，從而減少運(yùn)算量。FFT算法(suànfǎ)分類:時間抽選法DIT:Decimation-In-Time頻率抽選法DIF:Decimation-In-Frequency精品資料第三節(jié)按時間抽選(chōuxuǎn)的基2-FFT算法1、算法(suànfǎ)原理

設(shè)輸入序列長度為N=2M(M為正整數(shù)，將該序列按時間順序的奇偶分解為越來越短的子序列，稱為基2按時間抽取的FFT算法。也稱為Coolkey-Tukey算法。

其中基2表示：N=2M，M為整數(shù).若不滿足這個條件，可以人為地加上若干零值（加零補(bǔ)長）使其達(dá)到N=2M。精品資料先將x(n)按n的奇偶分為兩組，作變量(biànliàng)置換:當(dāng)n=偶數(shù)時，令n=2r;當(dāng)n=奇數(shù)時，令n=2r+1;分組，變量(biànliàng)置換2、算法步驟得到：精品資料帶入DFT中精品資料所以(suǒyǐ)由于(yóuyú)?精品資料X1(k)、X2(k)只有(zhǐyǒu)N/2個點(diǎn)，以N/2為周期；而X(k)卻有N個點(diǎn)，以N為周期。要用X1(k)、X2(k)表達(dá)全部的X(k)值，還必須利用WN系數(shù)的周期特性。精品資料后半部分前半部分又考慮到的對稱性：有：精品資料后半部分前半部分蝶形運(yùn)算(yùnsuàn)流圖符號說明：(1)左邊兩路為輸入(2)右邊兩路為輸出(3)中間以一個小圓表示加、減運(yùn)算(yùnsuàn)（右上路為相加輸出、右下路為相減輸出)1個蝶形運(yùn)算需要1次復(fù)乘，2次復(fù)加精品資料復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個N點(diǎn)DFTN2N(N–1)一個N/2點(diǎn)DFT(N/2)2N/2(N/2–1)兩個N/2點(diǎn)DFTN2/2N(N/2–1)一個蝶形12N/2個蝶形N/2N總計(jì)N2/2+N/2≈N2/2N(N/2-1)+N≈N2/2運(yùn)算量減少(jiǎnshǎo)了近一半分解(fēnjiě)后的運(yùn)算量：精品資料先將N=8點(diǎn)的DFT分解成2個4點(diǎn)DFT：可知(kězhī)：時域上：x(0),x(2),x(4),x(6)為偶子序列x(1),x(3),x(5),x(7)為奇子序列頻域上：X(0)~X(3)，由X(k)給出X(4)~X(7)，由X(k+N/2)給出例子(lìzi)：求N=23=8點(diǎn)FFT變換

按N=8→N/2=4，做4點(diǎn)的DFT：精品資料N=8點(diǎn)的直接(zhíjiē)DFT的計(jì)算量為：復(fù)乘：N2次=64次復(fù)加：N(N-1)次=8×7=56次此外(cǐwài)，還有4個蝶形結(jié)，每個蝶形結(jié)需要1次復(fù)乘，2次復(fù)加。一共是：復(fù)乘4次，復(fù)加8次。得到X1(k)和X2(k)需要：復(fù)乘：(N/2)2+(N/2)2次=32次復(fù)加：N/2(N/2-1)+N/2(N/2-1)=12+12=24次用分解的方法得到X

(k)需要：復(fù)乘：32+4=36次復(fù)加：24+8=32次精品資料N點(diǎn)DFT的一次時域抽取(chōuqǔ)分解圖(N=8)4點(diǎn)DFT4點(diǎn)DFTx(0)x(2)x(4)x(6)x(1)x(3)x(5)x(7)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)精品資料因?yàn)?點(diǎn)DFT還是比較麻煩，所以再繼續(xù)(jìxù)分解。若將N/2(4點(diǎn))子序列(xùliè)按奇/偶分解成兩個N/4點(diǎn)(2點(diǎn))子序列(xùliè)。即對將x1(r)和x2(r)分解成奇、偶兩個N/4點(diǎn)(2點(diǎn))點(diǎn)的子序列(xùliè)。精品資料那么(nàme)，X1(k)又可表示為精品資料X2(k)也可以進(jìn)行相同(xiānɡtónɡ)的分解：注意：通常我們會把寫成。精品資料N點(diǎn)DFT的第二次時域抽取(chōuqǔ)分解圖(N=8)2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFTx(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X3(0)X3(1)X4(0)X4(1)X5(0)X5(1)X6(0)X6(1)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)4點(diǎn)DFT4點(diǎn)DFTx(0)x(2)x(4)x(6)x(1)x(3)x(5)x(7)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)精品資料88X3(0)X3(1)x(0)=x3(0)x(4)=x3(1)精品資料N點(diǎn)DIT―FFT運(yùn)算(yùnsuàn)流圖(N=8)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)精品資料3、DIT―FFT算法與直接(zhíjiē)計(jì)算DFT運(yùn)算量的比較1)、N=2M的DFT運(yùn)算(yùnsuàn)可分成M級，每一級有N/2個蝶形，每個蝶形有一次復(fù)乘兩次復(fù)加。2)、所以M級共有次復(fù)乘和次復(fù)加。3)、若直接計(jì)算DFT，需N2次復(fù)乘和N(N-1)次復(fù)加。顯然，當(dāng)N較大時，有：例如，N=210=1024時精品資料FFT算法與直接(zhíjiē)計(jì)算DFT所需乘法次數(shù)的比較曲線精品資料4、DIT―FFT的運(yùn)算規(guī)律(guīlǜ)及編程思想FFT的每級（列）計(jì)算都是由N個復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)（輸入）兩兩構(gòu)成(gòuchéng)一個蝶型（共N/2個蝶形）運(yùn)算而得到另外N個復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)（輸出）。當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲器以后，每一組運(yùn)算的結(jié)果，仍然存放在這同一組存儲器中直到最后輸出。例：將x(0)放在單元A(0)中，將x(4)放在單元A(1)中，W80

放在一個暫存器中。將x(0)+W80x(4)→送回A(0)單元將x(0)-W80x(4)→送回A(1)單元X3(0)X3(1)x(0)x(4)1）

原位運(yùn)算(亦稱同址計(jì)算)精品資料x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)回顧(huígù)：N點(diǎn)DIT―FFT運(yùn)算流圖(N=8)精品資料如上所述，N點(diǎn)DIT―FFT運(yùn)算(yùnsuàn)流圖中，每級都有N/2個蝶形。每個蝶形都要乘以因子WNP，稱其為旋轉(zhuǎn)因子，p稱為旋轉(zhuǎn)因子的指數(shù)。2)旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)因子的變化規(guī)律觀察FFT運(yùn)算流圖發(fā)現(xiàn)，第L級共有2L-1個不同的旋轉(zhuǎn)因子。N=23=8時的各級旋轉(zhuǎn)因子表示如下：L=1時，WNp=WN/4J，N/4=21=2L，J=0L=2時，WNp=WN/2J，N/2=22=2L，J=0，1L=3時，WNp=WNJ，N=23=2L，J=0，1，2，3精品資料對N=2M的一般情況(qíngkuàng)，第L級的旋轉(zhuǎn)因子為：精品資料設(shè)序列x(n)經(jīng)時域抽選(倒序)后，存入(cúnrù)數(shù)組X中。如果蝶形運(yùn)算的兩個輸入數(shù)據(jù)相距B個點(diǎn)，應(yīng)用原位計(jì)算，則蝶形運(yùn)算可表示成如下形式：下標(biāo)(xiàbiāo)L表示第L級運(yùn)算，XL(J)則表示第L級運(yùn)算后數(shù)組元素X(J)的值。精品資料3)編程思想(sīxiǎng)及流程圖開始送入x(n)和N=2M調(diào)整輸入x(n)的順序for(L=1;L<=M;L++)B=2L-1for(J=0;J<=B-1;J++)p=J·2M-Lfor(k=J;k<=N-1;k=k+2L)輸出結(jié)果結(jié)束精品資料4）碼位倒序(dǎoxù)由N=8蝶形圖看出：原位計(jì)算時，F(xiàn)FT輸出的X(k)的次序正好是順序排列的，即X(0)…X(7),但輸入x(n)都不能按自然順序存入到存儲單元(cúnchǔdānyuán)中，而是按x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x(3),x(7)的順序存入存儲單元(cúnchǔdānyuán)，即為亂序輸入，順序輸出。這種順序看起來相當(dāng)雜亂，然而它是有規(guī)律的。即碼位倒讀規(guī)則。精品資料自然順序n二進(jìn)制碼表示碼位倒讀碼位倒置順序n’以N=8為例：0123456700000101001110010111011100010001011000110101111104261537看出：碼位倒讀后的順序剛好(gānghǎo)是數(shù)據(jù)送入計(jì)算機(jī)內(nèi)的順序。精品資料倒序(dǎoxù)規(guī)律精品資料對于(duìyú)數(shù)N，在其二進(jìn)制最高位加1，等于加N/2。若已知某個反序號為J，為求下一個反序號，可先判J的最高位：1)若為0，則把該位變成1（即加N/2）就得到下一個反序號，2)若為1，則需判斷次高位：①若次高位為0，則把最高位變0（相當(dāng)(xiāngdāng)減去N/2）后，再把次高位變1（即加N/4）。②若次高位為1，則需判斷次次高位……分析：精品資料倒序排列算法的流程圖正序序列已在數(shù)組A[]中，輸入NLH=N/2,J=LH,N1=N-2J=J-kk=k/2k=LHJ<kJ=J+kT=A(I)A(I)=A(J)A(J)=Tfor(i=1;i<=N1;i++)i≥JNYYN精品資料第四節(jié)按頻率(pínlǜ)抽選的基2-FFT算法在基2快速算法中，頻域抽取法FFT也是一種(yīzhǒnɡ)常用的快速算法，簡稱DIF―FFT。設(shè)序列x(n)長度為N=2M，首先將x(n)前后對半分開，得到兩個子序列，其DFT可表示為如下形式精品資料精品資料精品資料精品資料DIF―FFT一次分解(fēnjiě)運(yùn)算流圖(N=8)4點(diǎn)DFT4點(diǎn)DFTx(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)X(0)X(2)X(4)X(6)X(1)X(3)X(5)X(7)x1(0)x1(1)x1(2)x1(3)x2(0)x2(1)x2(2)x2(3)精品資料DIF―FFT二次分解(fēnjiě)運(yùn)算流圖(N=8)精品資料DIF―FFT運(yùn)算(yùnsuàn)流圖(N=8)精品資料時間抽取(chōuqǔ)算法與頻率抽取(chōuqǔ)算法的比較1)頻率抽選法和時間抽選法總的計(jì)算(jìsuàn)量是相同的復(fù)乘：復(fù)加：2)頻率抽取法和時間抽取法一樣，都適用于原位運(yùn)算，即蝶形的輸入和輸出占用同一個存儲單元。3)均存在碼位倒序問題。4)頻率抽選法和時間抽選法一樣，基本運(yùn)算也是蝶形運(yùn)算。但兩者的蝶形形式略有不同。精品資料第五節(jié)IDFT的快速(kuàisù)算法－IFFT上述FFT算法流圖也可以用于離散(lísàn)傅里葉逆變換(InverseDiscreteFourierTransform，簡稱IDFT)。比較DFT和IDFT的運(yùn)算公式：1)旋轉(zhuǎn)因子：2)系數(shù)：精品資料DIT―IFFT運(yùn)算(yùnsuàn)流圖精品資料DIT―IFFT運(yùn)算(yùnsuàn)流圖(防止溢出)精品資料如果希望直接調(diào)用FFT子程序計(jì)算IFFT，則可用下面(xiàmian)的方法：對上式兩邊(liǎngbiān)同時取共軛，得：精品資料例1、如果通用計(jì)算機(jī)的速度(sùdù)為平均每次復(fù)乘需要5s，每次復(fù)加需要0.5s，用它來計(jì)算512點(diǎn)的DFT[x(n)]，問：1）直接計(jì)算(jìsuàn)需要多少時間？2）用FFT需要多少時間？解：1）用DFT進(jìn)行運(yùn)算：復(fù)乘：T1=N2×5×10-6=1.31072秒復(fù)加：T2=N(N-1)×0.5×10-6=0.130816秒總共：T=T1+T2=1.441536秒精品資料2）用FFT進(jìn)行(jìnxíng)運(yùn)算：復(fù)乘：T1’=(N/2)log2N×5×10-6=0.01152秒復(fù)加：T2’=Nlog2N×0.5×10-6=0.002304秒總共(zǒnggòng)：T’=T1’+T2’=0.013824秒精品資料例2、對一個連續(xù)(liánxù)時間信號xa(t)采樣1秒得到4096個采樣點(diǎn)的序列，求：1）若采樣(cǎiyànɡ)后沒有發(fā)生混疊現(xiàn)象，xa(t)的最高頻率是多少？解：1秒內(nèi)采樣4096個點(diǎn)，說明采樣頻率是4096Hz。精品資料2）若計(jì)算(jìsuàn)采樣信號的4096點(diǎn)DFT，DFT系數(shù)之間的頻率間隔是多少？解：(要求解的是頻譜分辨(fēnbiàn)的間隔F)精品資料例3、長度為240點(diǎn)的序列x(n)與長度為N點(diǎn)的h(n)卷積。當(dāng)N=10和240時，直接進(jìn)行(jìnxíng)卷積x(n)*h(n)和用IFFT[X(K)·H(K)]的方法相比，那種方法求解y(n)的效率更高？x(n)h(n)y(n)=x(n)*h(n)L≥N1+N2-1X(k)補(bǔ)L-N1個零x(n)L點(diǎn)DFT補(bǔ)L-N2個零h(n)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTy(n)=x(n)*h(n)H(k)Y(k)精品資料直接(zhíjiē)進(jìn)行卷積（N=10）：乘法(chéngfǎ)次數(shù)：240×10=2400次用FFT的方法（N=10）：添零到256點(diǎn)，L=256乘法次數(shù)：3×(L/2)log2L＋L=3×128×8＋256=3328次精品資料直接(zhíjiē)進(jìn)行卷積（N=240）：乘法(chéngfǎ)次數(shù)：240×240=57600次用FFT的方法（N=240）：添零到512點(diǎn)，L=512乘法次數(shù)：3×(L/2)log2L＋L=3×256×9＋512=7424次精品資料直接DFT方法(fāngfǎ)/CZT方法(fāngfǎ)：當(dāng)要求準(zhǔn)確的N點(diǎn)DFT，且N是素?cái)?shù)時第六節(jié)N為復(fù)合(fùhé)數(shù)的FFT算法

——混合基算法基-2FFT算法：補(bǔ)零使?jié)M足混合基FFT算法：N是復(fù)合數(shù)精品資料1、整數(shù)的多基多(jīduō)進(jìn)制表示形式（1）二進(jìn)制：

精品資料（2）r進(jìn)制：

精品資料（3）多基多(jīduō)進(jìn)制（混合基）：精品資料例：精品資料精品資料2、的快速算法行列行序號列序號行列行變量列變量精品資料精品資料的DFT算法(1)改寫(gǎixiě)成(2)做個點(diǎn)DFT，得為參量，輸入變量(biànliàng)，輸出變量(biànliàng)的點(diǎn)DFT(3)N個（旋轉(zhuǎn)因子）(4)做個點(diǎn)DFT，得為參量，輸入變量，輸出變量的點(diǎn)DFT(5)整序精品資料例精品資料精品資料當(dāng)N為高組合素?cái)?shù)時：個

點(diǎn)DFT，乘以旋轉(zhuǎn)因子

個

點(diǎn)DFT個

點(diǎn)DFT，乘以旋轉(zhuǎn)因子個

點(diǎn)DFT，乘以旋轉(zhuǎn)因子L級r點(diǎn)DFT稱基

算法，

基

算法

混合基算法（基算法）基算法精品資料混合(hùnhé)基算法的運(yùn)算量不計(jì)譯序、整序工作量（2）乘N個旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)因子復(fù)乘N總計(jì)：（1）個點(diǎn)DFT復(fù)乘復(fù)加（3）個點(diǎn)DFT復(fù)乘復(fù)加精品資料混合(hùnhé)基節(jié)省的運(yùn)算量次乘N個旋轉(zhuǎn)因子個

點(diǎn)DFT個

點(diǎn)DFT

個

點(diǎn)DFT精品資料第七節(jié)基-4FFT算法(suànfǎ)

當(dāng)混合基FFT算法中

時，

即為基-4FFT算法，n、k都為4進(jìn)制數(shù)個

點(diǎn)DFT

乘N個旋轉(zhuǎn)因子個

點(diǎn)DFT

乘N個旋轉(zhuǎn)因子個

點(diǎn)DFT精品資料精品資料1)的4點(diǎn)DFT精品資料精品資料的四進(jìn)制數(shù)按二進(jìn)制倒位序排列成精品資料3)的4點(diǎn)DFT精品資料精品資料一個4點(diǎn)FFT不需乘法，只需3次乘旋轉(zhuǎn)因子（除外）而基-2FFT基-4FFT運(yùn)算量：每級有N/4個4點(diǎn)FFT，共L級（L-1級要乘旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)因子）精品資料第八節(jié)分裂(fēnliè)基FFT算法對偶序號使用(shǐyòng)基-2FFT算法，對奇序號使用(shǐyòng)基-4FFT算法，稱分裂基FFT算法針對

的算法中具有最少乘法次數(shù)，且同址運(yùn)算。將分成三個序列。精品資料偶序號的點(diǎn)DFT

奇序號的點(diǎn)DFT

精品資料利用周期性

分成四段：精品資料精品資料的第一級分解得4個分裂基同樣(tóngyàng)對、、作進(jìn)一步分解。和的第二級分解(fēnjiě)分別是基-4的4點(diǎn)DFT。的第二級分解得2個分裂基。一個基-4的4點(diǎn)DFT和2個基-2的4點(diǎn)DFT。精品資料精品資料基