周衍柏《理論力學教程(第三版)》電子教案 第五章4分析力學

第五章分析力學拉格朗日哈密頓導讀動能和勢能的泰勒展開線性齊次方程的求解簡正頻率簡正坐標§5.4小振動1多自由度力學體系的小振動

一個完整的穩(wěn)定、保守的力學體系在平衡位置時的廣義坐標均等于零.如果力學體系自平衡位置發(fā)生微小偏移,力學體系的勢能可以在平衡位形區(qū)域內(nèi)展成泰勒級數(shù),利用保守體系的平衡方程,略去二級以上的高級項并令V0=0,就得到在穩(wěn)定約束時,動能T只是速度的二次齊次函數(shù),即式中系數(shù)a是廣義坐標q的顯函數(shù).把a在力學體系平衡位形的區(qū)域內(nèi)展成泰勒級數(shù),就得到由于q值很小,因此展開式中只保留頭一項,動能T變?yōu)楝F(xiàn)在式中系數(shù)a是不變的.c稱為恢復系數(shù)或準彈性系數(shù),而a則稱為慣性系數(shù).所以

把這些表示式代入拉格朗日方程式就得到力學體系在平衡位置附近的動力學方程這是線性齊次常微分方程組,它的解式中A及是常數(shù).把這表示式代回,得從行列式求出2s個的本征值l,(l＝1,2,…,2s).然后求出一組A(l),方程式的解即是為了物體在平衡位置附近振動,則力學體系的勢能V

>0(即平衡位置V＝0是極小值),方程所有的根l為純虛數(shù).既然l是純虛數(shù),

因此可令這樣,解可以寫為實數(shù)解為實際上,我們把的某一本征值l代入原方程后,并不能得出s個互相獨立的常數(shù)A

(＝1,2,…,s),而只能得出它們的比,因為此時系數(shù)行列式等于零.如果行列式的(s-1)階代數(shù)余子式中有一個不等于零,則在一組解A

中只有一個數(shù)是可以任意取的.如果設此常數(shù)為A(l)

,則A(l)可寫為即在方程的解中共有2s2個常數(shù),因為每個l對應一個任意常數(shù),而共有2s個l,所以2s2個常數(shù)只有2s個是獨立的.這2s個常數(shù),可由起始條件決定,即t＝0時的初始位置和初始速度應為已知.這樣，實數(shù)解：這里的l叫做簡正頻率,它的數(shù)目共有s個,和力學體系的自由度數(shù)相等.

多自由度體系的小振動問題比較復雜的原因是在勢能和動能中都有交叉項(相互作用).消除之,可以簡化問題.因為動能總是正定的,根據(jù)線性代數(shù)理論,總能找到線性變換使得T和V同時變成正則形式,即沒有交叉項.變換后2簡正坐標相應的拉氏方程為所以可得,解式中坐標l叫做簡正坐標,l仍為簡正頻率.每一個簡正坐標都做具有自己固有頻率

l的諧振動,而廣義坐標,作為簡正坐標的線性函數(shù),將是s個諧振疊加而成的復雜運動.

例1

耦合擺兩相同的單擺,長為a,擺錘的質(zhì)量為m,用倔強系數(shù)為k且其自然長度等于兩擺懸點之間距離的無重彈簧相耦合.略去阻尼作用,試求此體系的運動.解:

兩個擺在同一平面內(nèi)振動,取振動平面為xy平面,并且令兩個擺錘的坐標為(x1,y1)及(x2,y2),則由于約束關(guān)系(兩擺的擺長一定),四個坐標中只有兩個是獨立的.選x1及x2作為兩個廣義坐標,而x1及x2等于零時相當于耦合擺的平衡狀態(tài).y2y1x1x2aa耦合擺的勢能等于彈簧的彈性勢能與擺錘重力勢能兩者之和,即耦合擺的動能為因為故為了算出在平衡位置附近的勢能及動能,按泰勒級數(shù)展開,可得又故在平衡位置附近,V與T簡化為運用拉氏方程,得動力學方程這是二階常系數(shù)線性齊次方程組,具有形式解所以此方程組有非零解的充要條件為由此得到4個本征值如下:這樣得到通解把1,2代入行列式,得到4個任意常數(shù)由初始條件決定.如果令則1,2將以單一的頻率1,2振動,因此1,2就是簡正坐標.例2線對稱三原子分子的振動設兩個質(zhì)量為m的原子,對稱地位于質(zhì)量為M的原子兩側(cè),三者皆處于一直線上,其間的相互作用可近似地認為是準彈性的,即相當于用彈性系數(shù)為k的兩個相同彈簧把它們聯(lián)結(jié)起來.如平衡時,M與每一m間的距離均等于b,求三者沿聯(lián)線振動時的簡正頻率.解:

由圖知,若以水平軸x上某處O為原點.系統(tǒng)的勢能為而mmM令則本問題是三個自由度,故q1,q2,q3