數(shù)學(xué)七年級下冊-第一章8、角的表示

一、角

1、角的表示青島版七年級數(shù)學(xué)1、角的兩種定義定義一:有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。定義二：角可以看成是一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形。射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分叫角的內(nèi)部。2、平角、周角的概念3、角的四種表示方法角是由兩條具有公共端點的射線組成的圖形。公共端點頂點射線射線邊邊角的定義:角可以看作是一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的.平角及周角的定義:一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn),當(dāng)終邊與始邊成一條直線時,所成的角叫做平角.終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn),當(dāng)它又和始邊重合時,所成的角叫周角.說一說生活中的角練一練

1、下面的四個圖形哪些是角?（1）×(2)×(3)×(4)√2、判斷題：（1）兩條射線組成的圖形叫角。（）

（2）角的大小與邊的長短無關(guān)。（）

（3）角的兩邊是兩條射線。（）

3、下列語句正確的是（）A.兩條直線相交，組成的圖形叫做角B.兩條有公共端點的線段組成的圖形叫角C.兩條有公共點的射線組成的圖形叫角D.從同一點引出的兩條射線組成的圖形叫角D√√×角的表示方法OABOαO1記作：用三個字母∠AOB或BOA

或用角的頂點∠O（當(dāng)角的頂點處只有一個角時）用希臘字母記作∠α用小寫的數(shù)字記作∠12、把圖中的角表示成下列形式,哪些是正確?哪些不正確?∠APO(2)∠AOP∠OPC(4)∠OCP(5)∠O(6)∠PPCAOBACBADC試一試⑴⑵用適當(dāng)方法分別表示下圖中的每個角在不引起混淆的情況下,也可以用角的頂點來表示這個角.∠BAC∠BAC,∠CAD,∠BAD或∠A∠2∠5∠BCE∠BAD∠BAC∠1∠3∠4∠ABC∠BCA將圖中的角用不同方法表示出來并填寫下表2134BADCE54,角的比較：即和差倍分的表示角的平分線從一個角的頂點引一條射線，如果把這個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線反之，也成立∵OB是∠AOC的角平分線∴∠AOB=∠BOC=∠AOC或∠AOC=2∠AOB=2∠BOCABCO我們還可以拼出∠α的3倍角、4倍角……，還可以拼出兩個角的和、差.1.如圖OC、OD分別是∠BOD和∠AOB的角平分線，那么∠BOC=∠____=___

∠BOD=_____

∠AOC=____∠AOB試一試COD2.如圖，在∠

AOC的內(nèi)部畫射線OB，在∠AOC的外部畫射線OD.分別是∠AOC

是哪兩個角的和？∠

BOD是哪兩個角的和？當(dāng)∠AOB=∠COD時，你能找出其它相等的角嗎？由圖形可以看出，∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，即∠AOC=∠AOB+∠BOC；同樣的，∠BOD=∠BOC+∠COD；當(dāng)∠AOB=∠COD時，

解：∠

AOC=∠

BOD.練習(xí)如圖：已知∠1=∠3，那么（）.A.∠1=∠2B.∠2=∠3

C.∠AOC=∠BODD.∠1=C1.練習(xí)A2.3.B練習(xí)4.如圖，∠AOC=

+

；∠AOD-∠BOC=

+

；∠DOC=∠AOD-

；∠AOD=

+

+

；∠AOB∠BOC∠COD∠AOB∠AOC∠AOB∠BOC∠COD當(dāng)堂檢測：1.已知∠α

，用放大10倍的放大鏡看∠α

，通過放大鏡觀察到的角為∠β

，則∠α______∠β

（填“>”、“<”或“=”）.2.如圖，①若AC平分∠BAD,那么∠_____=∠______；②若∠BCA=∠DCA,那么

是_________的平分線.=CABCADCA∠BCD當(dāng)堂檢測：3.如圖，①∠AOB____∠AOC，∠BOC_____∠AOC，∠BOD_____∠COD；

②如果∠AOC=∠BOD，那么∠AOB_____∠COD.

（填“>”、“<”或“=”）.=<<>5.角的度量1、角的度量單位角的度量單位是度、分、秒，是六十進(jìn)制1°的60分之一為1分，記作“1′”，即1°＝60′1′的60分之一為1秒，記作“1″”，即1′＝60″1個周角的360分之一是1度的角，記作“1°”例計算：把18°25′12″化成用度表示的角.解：所以18°25′12″

=___________°.先把12″

化成分，即12″=（12

）=0.2′再把（25+0.2）′化成度，即（25+0.2）′=（25.2）°=0.42°，18.42°

用度、分、秒表示：

⑴0.75°＝

′＝

″

⑵(－)°＝

′＝

″

⑶16.24°＝

°

′

″

⑷34.37°＝

°

′

″415

用度表示：

⑴1800″＝

°

⑵48′＝

°

⑶39°36′＝

°

⑷27°14′＝

°452700169601614243422120.50.839.6嘗試練習(xí)1.周角、平角、直角①特殊度數(shù)角的分類6角的分類②和特殊角的分類③特殊位置較的分類2.小于180°的角分為：

直角、銳角和鈍角分別確定四個城市相應(yīng)鐘表上時針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)，它們分別是直角、銳角還是鈍角？

巴黎時間倫敦時間北京時間東京時間30°0°120°90°

銳角鈍角直角試一試三、角的度量方法：（1）疊合法

（2）度量法度量角的工具——量角器如何用量角器度量一個角？如何用量角器畫指定度數(shù)的角？用你的量角器度量一下圖9—14中的角，看看你量的度數(shù)是否和課本中答案相同.請學(xué)習(xí)課本P.10例1（注意：課本中的圖形較小，你如何處理？）例2已知∠α=37°50′，∠β=52°10′求∠α+∠β與∠β－∠α解：因為∠α=37°50′，∠β=52°10′所以∠α+∠β=（37°+52°）+（50′+10′）=89°60′=90°∠β－∠α=（52°-37°）+（10′-50′）=（51°-37°）+（60′+10′-50′）=14°20′四、余角和補角的性質(zhì)1.余角和補角的定義如果兩個角的和是90°，那么這兩個角互為余角，簡稱“互余”.如果兩個角的和是180°，那么這兩個角互為補角，簡稱“互補”））A

B

CO

21)（21AOBC圖1）（ABODC圖2圖3在圖1、圖2、圖3中找出互余的角和互補的角.1.余角和補角的性質(zhì)同角或等角的余角相等同角或等角的補角相等））））1234ABCDEO已知，如圖∠AOC=∠BOD=∠COE=90°，找出（1）互余的角；（2）互補的角；（3）相等的角.（直角均除外）（1）∠1與∠3，∠1與∠4，∠1與∠3，∠1與∠4；（2）∠1、∠2與∠AOD，∠3、∠4與∠BOE；（3）∠1=∠2，∠3=∠4小組討論：練習(xí)1.下列各對圖形一定是互為余角的是（）

ABCD2.如果，那么的補角等于（）A.20°B.70°C.110°D.160°BD練習(xí)3.∠α與∠β的度數(shù)分別是2m-67和68-m，且∠α與∠β都是∠γ

的補角，那么∠α與∠β的關(guān)系是（）.

A.互余但不相等B.互為補角C.相等但不互余D.互余且相等C解析：因為∠α與∠β的度數(shù)分別是2m-67和68-m，∠α與∠β都是∠γ

的補角，所以∠α=∠β。即2m-67=68-m解得m=45所以∠α=∠β=2*45-67=23°即∠α+∠β=46°＜90°，所以∠α與∠β相等但不互余。實驗與探究一在兩條直線相交所得的四個角中，每兩個角在頂點、邊上各有什么特點？ABCD4321)

)))O下圖中的∠1和∠2是對頂角嗎？為什么？練習(xí)121圖1ABCDO下圖中的∠1和∠2是對頂角嗎？為什么？練習(xí)121圖221圖3下圖中的∠1和∠2是對頂角嗎？為什么？練習(xí)11圖32下圖中的∠1和∠2是對頂角嗎？為什么？練習(xí)121圖4ABCDO下圖中的∠1和∠2是對頂角嗎？為什么？練習(xí)1試一試BOA動動腦、動動手：你能畫出∠AOB的對頂角嗎？)CD)BDE如圖，直線AE、BD相交于點O，∠AOB的對頂角是

，∠BOE

的對頂角是

.∠EOD∠AODO練習(xí)2A21))猜想ABCD43))對頂角在數(shù)量上有什么關(guān)系？你可以用那些方法進(jìn)行驗證？實驗與探究二對頂角相等交流與發(fā)現(xiàn)請討論：相等的角是對頂角嗎？（可以畫圖舉例說明）如圖，直線AB、CD交于點O，ABCDO（3）∠AOD的鄰補角有什么關(guān)系？如果說：“兩個角是對頂角，那么它們的鄰補角一定也是對頂角”這句話對嗎？（4）當(dāng)∠AOD=90°時，其余三個角各是多少度？（2）如果∠AOD

＝105°，求其余各角.（1）指出∠AOD的對頂角與鄰補角.例題答案：（1）∠AOD的對頂角：∠BOC∠AOD的鄰補角∠AOC∠BOD（2）因為∠AOD=105°，∠BOC為∠AOD的對頂角，所以∠BOC=∠AOD=105°因為∠AOC、∠BOD為∠AOD的鄰補角所以∠AOC=∠BOD=180°-∠AOD=180°-105°=75°（3）∠AOD的鄰補角互為對頂角如果說：“兩個角是對頂角，那么它們的鄰補角一定也是對頂角”這句話對嗎？正確（4）當(dāng)∠AOD=90°時，AB⊥CD所以∠AOC=∠BOC=∠BOD=∠AOD=90°如圖，AB、CD、EF是經(jīng)過點O的三條直線，找出圖中所有的對頂角.

練習(xí)3ABCDEFO對頂角：∠AOC、∠BOD∠BOC、∠AOD∠AOE、∠BOF∠AOF、∠BOE∠COE、∠DOF∠COF、∠DOE動腦筋若3條（4條·······n條）直線交于一點O，要找出所有的對頂角，按怎樣的方法找，才能做到不重不漏？ABCDEFO結(jié)論：對頂角：n(n-1)二、垂直垂直的定義與表示法垂線的畫法垂線的性質(zhì)點到直線的距離垂直ADClmOB概念1.垂直２.垂線３.垂足表示法ＡＢ⊥ＣＤ

m⊥l垂直的定義與表示法是什么?∠BOC=90°

在兩條直線相交所成的四個角中,如果有一個角是直角,就說這兩條直線互相垂直其中一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點叫做垂足例：如圖直線AB與直線CD相交于點O，OE⊥AB.已知∠BOD=45°，求∠COE的度數(shù).ABODCE┓答案因為OE⊥AB所以∠BOE=∠AOE=90°因為∠BOD=45°所以∠DOE=45°因為∠DOE與∠AOC互為對頂角所以∠AOC=∠DOE=45°所以∠COE=∠AOC+∠AOE=45°+90°=135°（2007年濟南）已知：如圖，AB⊥CD，垂足為O，EF為過點O的一條直線，則∠1與∠2的關(guān)系一定成立的是（）

A.相等B.互余

C.互補D.互為對頂角ABCDEFO12中考鏈接B返回方法一:用三角尺lAＢ012345678910012345012345012345678910012345012345活動一：已知直線l，分別過直線外一點B和直

線上一點A，畫l的垂線，你有幾種畫法?畫垂線的方法畫垂線的方法可歸納為“一落、二過、三畫”3.三畫：沿著直角邊經(jīng)過已知點畫直線。ABP1.一落：把三角尺的一條直角邊落在已知直線上；

2.二過：讓三角尺的另一條直角邊經(jīng)過已知的點如何畫一條線段或一條射線的垂線？畫已知線段、射線的垂線其實就是經(jīng)過已知點作已知線段、射線所在的直線的垂線.CBA012345678910012345012345012345678910012345012345拓展1、過點向線段所在直線引垂線，正確的是（）.

ABCD試一