高中數(shù)學(xué) 3.1.1兩角差的余弦公式3 新人教A必修4_第1頁
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文檔簡介

小明在作業(yè)中遇到了一個問題,需要求cos15°的值,可惜忘記帶計算機了,怎么辦呢?小明不假思索就很快的寫出了如下做法。

解:∵cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°

=

你認(rèn)為他做對了嗎?.

探究:如何用任意角α,β的正弦、余弦值來表示cos(α-β)呢?

你認(rèn)為公式會是cos(α-β)=cosα-cosβ嗎?..怎樣聯(lián)系單位圓上的三角函數(shù)線來探索公式?.思考1:如圖,設(shè)α,β為銳角,且α>β,角α的終邊與單位圓的交點為P1,∠P1OP=β,那么cos(α-β)表示哪條線段長?MPP1Oxycos(α-β)=OM.思考2:如何用線段分別表示sinβ和cosβ?PP1OxyAsinβcosβ.思考3:cosαcosβ=OAcosα,它表示哪條線段長?sinαsinβ=PAsinα,它表示哪條線段長?PP1OxyAsinαsinβcosαcosβBC.思考4:利用OM=OB+BM=OB+CP可得什么結(jié)論?sinαsinβcosαcosβPP1OxyABCMcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.xyPP1MBOAC+11.上述推理能說明對任意角α,β,都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立嗎?.怎樣聯(lián)系向量的數(shù)量積去探索公式?.-111-1α-β

BAyxoβα∵

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ思考:如圖,設(shè)角α,β的終邊與單位圓的交點分別為A、B,則向量、的坐標(biāo)分別是什么?其數(shù)量積是什么?..對于任意角α、β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))

此公式給出了任意角α、β的正弦、余弦值與其差角α-β的余弦值之間的關(guān)系.稱為差角的余弦公式.記作:C(α-β)..分析:怎樣把15°表示成兩個特殊角的差?變式:求sin75°的值.例1:利用差角余弦公式求cos15°的值.解:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°√3212√64√2+√22=

×+

×=√22.1.利用公式C(α-β)證明:(2)cos(2-α)=cosα.(1)cos(

-α)=sinα;2證明:(1)左邊=coscosα+sinsinα22=0×cosα+1×sinα=sinα=右邊(2)左邊=cos2cosα+sin2

sinα=1×cosα+0×sinα=cosα=右邊.

分析:由C(α-β)和本題的條件,要計算cos(α-β),還應(yīng)求什么?cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ已知已知應(yīng)求應(yīng)求

例2:已知sinα=,α∈(,),cosβ=-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.542135.例2:已知sinα=,α∈(,),cosβ=-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.542135

解:由sinα=,α∈(,),得542√cosα=-1-sin2α=-1-()2=-5453√又由cosβ=-

,β是第三象限的角,得135√sinβ=-1-cos2β=-1-()2=-√1351312所以cos(α-β)=cosβcosα+sinβsinα=(-)×(-)+×(-)=-54541351356533

思考:如果去掉這個條件,對結(jié)果和求解過程會有什么影響?.2.已知cosα=-

,α∈(,),求cos(-α)的值.532444原式=coscosα+sinsinα√

sinα=

1-cos2α=

1-(-)2

=5354√解:由cosα=-

,α∈(,),得53245√22=

×(-)+

×=√2253√210.3.已知sinθ=,θ是第二象限角,求cos(θ-)的值.1715333原式=cosθcos

+sinθsin

解:由sinθ=,θ是第二象限角,得1715√cosθ=-1-sin2θ=-

1-()2

=-√1715178√321234√3-8+15=-

×+

×

=1781715.原式=cosβcosα+sinβsinα4.已知sinα=-,α∈(

,

),cosβ=,β∈(,2),求cos(β-α)的值.32234323解:由sinα=-,α∈(

),得3223√cosα=-1-sin2α=-

1-(-)2

=-32√√53由cosβ=,β∈(,2),得4323√sinβ=-1-cos2β=-

1-()2

=-43√√7412=×(-

)+(-

)×(-)=√5343√7432√5√7-3+2.

思考題:已知α,β均為銳角,且α>β,cosα=,cos(α-β)=,求cosβ的值.53√3

1010=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)cosβ=cos[α-(α-β)].解:cosα=,sin(α-β)=.√101054√10

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