組成原理課程第二章

第二章計算機(jī)中的數(shù)據(jù)表示方法1本章的主要知識點(diǎn)?數(shù)據(jù)表示：定點(diǎn)和浮點(diǎn)數(shù)據(jù)表示格式(含浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化)?補(bǔ)碼中模的概念及應(yīng)用、補(bǔ)碼與真值之間的關(guān)系?校驗(yàn)的原理、作用和實(shí)現(xiàn)方法

第二章計算機(jī)中的數(shù)據(jù)表示方法學(xué)習(xí)本章知識的視角?有利于運(yùn)算器設(shè)計:

簡單數(shù)據(jù)表示、簡單運(yùn)算方法、簡化運(yùn)算器設(shè)計21、數(shù)據(jù)表示的目的和選擇數(shù)據(jù)格式要考慮的因素1)目的

組織數(shù)據(jù),方便計算機(jī)硬件直接使用

2)選擇數(shù)據(jù)格式要考慮的因素

?數(shù)的類型

?數(shù)的范圍

?數(shù)的精度

?存儲和處理的代價

?是否有利于軟件的移植一、數(shù)值數(shù)據(jù)與非數(shù)值數(shù)據(jù)的表示方法32、數(shù)的機(jī)器表示1)真值：符號用“+”、“-”表示的數(shù)據(jù)表示方法。2)機(jī)器數(shù)：符號數(shù)值化的數(shù)據(jù)表示方法,

用0、1表示符號。3)設(shè)定點(diǎn)小數(shù)的形式為X0.X1X2X3…Xn

X1X

01-X0X-1[X]原=X1X

02-X-2–n0X-1[X]反=[X]補(bǔ)=X1X

02+X=2-|X|0>X–1mod241)X=–0.1011

[X]原=1.1011[X]反=1.0100[X]補(bǔ)=1.01012)X=+0.1011

[X]原=[X]反=X]補(bǔ)=0.10113)0的表示：

[+0]原=0.000…0[-0]原

=1.000…0[+0]反=0.000…0[-0]反

=1.111…1[+0]補(bǔ)=0.000…0=[-0]補(bǔ)

例1求下列各數(shù)的原碼、補(bǔ)碼和反碼5原碼：

a)表示簡單

b)運(yùn)算復(fù)雜：要設(shè)置加法、減法器。（分同號和異號）

c)0的表示不唯一

4)幾種常見機(jī)器數(shù)的特點(diǎn)反碼：

a)表示相對原碼復(fù)雜

b)運(yùn)算相對原碼簡單：符號位參加運(yùn)算,只需要設(shè)置加法器。但符號位的進(jìn)位位需要加到最低位

c)0的表示不唯一

補(bǔ)碼：

a)表示相對復(fù)雜

b)運(yùn)算簡單：只需設(shè)置加法器。

c)0的表示唯一

如[x]反=0.1101，[Y]反

=1.0101求X+Y6設(shè)[X]補(bǔ)=X0.X1X2X3…Xn[X]補(bǔ)=X1X

02+X=2-|X|0>X–1mod2[X]補(bǔ)=X2nX

12n+1+X=2-|X|0>X2n

mod2n+16)補(bǔ)碼中模的概念（符號位進(jìn)位后所在位的權(quán)值）定點(diǎn)小數(shù)定點(diǎn)整數(shù)例2整數(shù)–1用補(bǔ)碼表示，下列哪些(個)結(jié)果是正確的？1)112)1113)11114)111115)111111?若整數(shù)x的補(bǔ)碼形式為X0X1X2X3X4X5,則-1的補(bǔ)碼又如何表示？模是多少？解：依題意知：一個整數(shù)連同符號位在內(nèi)共有6位，則[-1]補(bǔ)=

111111

根據(jù)補(bǔ)碼的定義，其模為268

?移碼表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼，只有整數(shù)形式，如IEEE754中階碼用移碼表示。設(shè)定點(diǎn)整數(shù)X的移碼形式為X0X1X2X3…Xn

則移碼的定義是：

[X]移=2n+X2n

X-2n

?具體實(shí)現(xiàn)：數(shù)值位與X的補(bǔ)碼相同，符號位與補(bǔ)碼相反。

例3X=+10101[X]補(bǔ)=010101[X]移=110101X=–10101[X]補(bǔ)=101011[X]移=0010117)移碼(增碼)表示9例4將十進(jìn)制值X(-127，-1，0，1，127)用四種機(jī)器數(shù)表示x真值[X]原[X]反[X]補(bǔ)[X]移-127-0111111111111111100000001000000100000001-1-00000001100000011111111011111111011111110

000000001000000011111111000000001000000000000000011111111000000010000000100000001000000011000000112701111111011111110111111101111111111111111)定點(diǎn)數(shù)

?可表示定點(diǎn)小數(shù)和整數(shù)

?表現(xiàn)形式：X0.X1X2X3X4……..Xn定點(diǎn)小數(shù)定點(diǎn)整數(shù)?定點(diǎn)小數(shù)表示數(shù)的范圍：1-2n

|x|2-n?定點(diǎn)整數(shù)表示數(shù)的范圍：2n-1|x|13.計算機(jī)中常用的兩種數(shù)值數(shù)據(jù)格式11

?浮點(diǎn)數(shù)的使用場合當(dāng)數(shù)的表示范圍超出了定點(diǎn)數(shù)能表示的范圍時。(1)格式(一般格式)ESE1E2E3……EnMSM1M2M3M4..MkE:階碼位數(shù)：決定數(shù)據(jù)的范圍M:尾數(shù)位數(shù)：決定數(shù)的精度2)浮點(diǎn)數(shù)把數(shù)的范圍和精度分別表示的一種數(shù)據(jù)表示方法。N=Re?m(2)IEEE754格式S8位偏指數(shù)E23位有效尾數(shù)M單精度11位偏指數(shù)E52位有效尾數(shù)MS雙精度指數(shù)采用偏移值,其中單精度為127,雙精度為1023.從而所有浮點(diǎn)數(shù)的階碼值都可以變成非負(fù)整數(shù),便于浮點(diǎn)數(shù)的比較和排序.IEEE754尾數(shù)形式為1.XXXXXX,其中M部分保存的是XXXXXX.這樣可以保留更多的有效數(shù)字位,進(jìn)一步提高數(shù)據(jù)表示的精確度.13與上述IEEE754格式相對應(yīng)的32位浮點(diǎn)數(shù)的真值可表示為:N=(-1)S

2E-127

1.M隨E和M的取值不同，IEEE754浮點(diǎn)數(shù)據(jù)表示具有不同的意義E=0,M=0：表示機(jī)器零；E=0,M0：則N=(-1)S2-1260.M,非規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)；1E254：N=(-1)S

2E-127

1.M，規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)；E=255,M=0：無窮大的數(shù)，對應(yīng)于x/0(其中x0)；E=255,M0：N=NaN，表示一個非數(shù)值，對應(yīng)于0/0。14?格式(754—32位標(biāo)準(zhǔn))SE1E2E3……EnM2M3M4…MkS：整個數(shù)的符號位，1位表示E：階碼，含階符，共8位，移碼表示M：尾數(shù)，23位定點(diǎn)規(guī)格化正小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)位于M1前，不占用數(shù)據(jù)位，且不含M1

，補(bǔ)碼表示。?表示的數(shù)的真值形式：x=(-1)s(1.M)2E–-127

具體運(yùn)算時，E取浮點(diǎn)數(shù)的階碼，127用對應(yīng)的二進(jìn)制參與運(yùn)算，即0111111115對于尾數(shù)，當(dāng)取絕對值且已經(jīng)規(guī)格化后(即對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)大于0.5)，其形式一定為0.1M2M3M4…Mn，顯然僅存儲M2M3M4…Mn可以節(jié)約存儲位。

0.1M2M3X4…Xn=1.M2M3X4…Xn

×2–1?階碼真值和移碼關(guān)系的說明(對于8位階碼)

由補(bǔ)碼和真值的關(guān)系知：

[E]移碼=[E]補(bǔ)碼+27=[E]補(bǔ)碼+128754表示真值(-1)s(0.1M)2e(-1)s(1.M)2[e]補(bǔ)+128

2-1

=(-1)s(1.M)2[e]補(bǔ)+127?對754-32標(biāo)準(zhǔn)尾數(shù)的說明16IEEE75432位浮點(diǎn)數(shù)與對應(yīng)真值之間的變換流程17例5將十進(jìn)制數(shù)20.59375轉(zhuǎn)換成32位IEEE754格式浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制格式來存儲。解:先將十進(jìn)制數(shù)換成二進(jìn)制數(shù)：20.59375=10100.10011(0.5+0.25+0.125+0.0625+0.03125)

移動小數(shù)點(diǎn)，使其變成1.M的形式10100.10011=1.010010011×24得到：S=0,e=4，E=100+01111111=10000011，M=010010011最后得到32位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制存儲格式為：01000001

1010

0100110000000000

0000 =(41A4C000)1618例6：若某浮點(diǎn)數(shù)x的二進(jìn)制存儲格式為(41360000)16,求與其對應(yīng)的32位浮點(diǎn)表示的十進(jìn)的值。解：(41360000)16=(0100,0001,0011,0110,0000,0000,0

000,0000)2s=0e=10000010-01111111=00000011=(3)10

1.M=1.011011

則上述浮點(diǎn)數(shù)對應(yīng)的真值為

X=(-1)0

×(1.011011)×23=(11.375)10

19(3)浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化在浮點(diǎn)運(yùn)算過程中，為了保證數(shù)據(jù)的精度，要求尾數(shù)的最高位為非0數(shù)，即當(dāng)尾數(shù)不為零時，其絕對值應(yīng)大于或等于(1/2)10。對于非規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)，可通過將尾數(shù)左移或右移，并同步修改階碼的值以滿足規(guī)格化要求。以補(bǔ)碼表示為例，正數(shù)規(guī)格化后，尾數(shù)的形式為:0.1××…×

負(fù)數(shù)規(guī)格化后，尾數(shù)的形式為:1.0××…120

2)檢驗(yàn)碼的工作原理

二、校驗(yàn)碼1)問題的提出：檢測傳輸、處理和存儲中的錯誤。檢測器編碼器

x1

x2

x3

x4

11111100001FP發(fā)送端

接收端

處理/傳輸

3)帶校驗(yàn)信息的數(shù)據(jù)形式

沒有付出，就不會有收獲21

4)碼距的概念

將一組編碼中任何兩個合法編碼之間代碼不同的最小位數(shù)稱為這編碼的距離，簡稱碼距或海明距離.四位二進(jìn)制編碼0011與0001的碼距為1;而0011與0000兩組編碼的距離為2。若用四位二進(jìn)制編碼只表示0000、0011、0101、0110、1001、1010、1100、1111等八種編碼,則碼距為2。此時，這8種編碼中的任何一位發(fā)生改變，如0000變成1000就從有效編碼變成了無效編碼，容易檢測到這種錯誤。如果用四位二進(jìn)制編十六種狀態(tài)，情況又如何？22數(shù)據(jù)校驗(yàn)在正常編碼的基礎(chǔ)上，通過增加一些附加的校驗(yàn)位得到。增加校驗(yàn)的同時也增加了碼距，當(dāng)碼距增加到一定程度時，校驗(yàn)碼不僅具有檢錯功能，而且還可具有糾正錯誤的能力。

5)碼距與數(shù)據(jù)校驗(yàn)之間的關(guān)系

碼距d與校驗(yàn)碼的檢錯(e)和糾錯(t)能力的關(guān)系如下：(1)de+1:可檢測e個錯誤。(2)d2t+1:可糾正t個錯誤。(3)de+t+1:可檢測e個錯誤并糾正t個錯誤(et)。23如X=1001101，則C=1被傳送的數(shù)據(jù)為：10011011

接收方對接收到的數(shù)字序列進(jìn)行下列運(yùn)算

F=X’0X’1

X’2

…X’n-1

C’

若F=1則正確、反之則錯。即當(dāng)收到的數(shù)字為10011011時F=1

當(dāng)收到的數(shù)字為11011011時F=0，出錯，要求重發(fā)

6)奇/偶校驗(yàn)C=X0X1

X2

…Xn-1

。

發(fā)送方，通過設(shè)置校驗(yàn)位的值，使待傳數(shù)據(jù)中(含一位校驗(yàn)位)1的個數(shù)為奇數(shù)。設(shè)校驗(yàn)位為C，則：8、奇/偶校驗(yàn)(1)奇校驗(yàn)24發(fā)送方通過設(shè)置校驗(yàn)位的值，使待傳數(shù)據(jù)中(含一位校驗(yàn)位)1的個數(shù)為偶數(shù)。設(shè)校驗(yàn)位為C，則

C=X0X1

X2

…Xn-1

如X=1001101則C=0被傳送的數(shù)據(jù)為：10011010接收方對接收到的數(shù)字序列進(jìn)行下列運(yùn)算

(2)偶校驗(yàn)F=X’0X’1

X’2

…X’n-1

若F=1則正確、反之則錯。即當(dāng)收到的數(shù)字為10011010時F=1

當(dāng)收到的數(shù)字為11011010時F=0，錯，要求重發(fā)?簡單?碼距為2,不能檢測出同時出現(xiàn)偶數(shù)個位錯誤的錯誤！因?yàn)?偶數(shù)位同時出錯時,不改變數(shù)列的奇/偶性時仍然不能檢測出傳輸錯誤！(3)奇/偶校驗(yàn)的特點(diǎn)(4)奇偶校驗(yàn)的應(yīng)用場合分析

?

近距離

?RAID26(5)交叉奇/偶校驗(yàn)(分組奇/偶校驗(yàn)

)277)海明校驗(yàn)(RichardHamming（理查德·海明）1950年提出)(1)奇偶校驗(yàn)的不足

只能檢測奇數(shù)個位錯誤,且不能糾錯，

檢測得出的無錯誤結(jié)果不一定可信。

(2)海明校驗(yàn)

?具有檢測和糾正錯誤的一種編碼(多重奇偶校驗(yàn))

?基本思想:將待傳送的信息,按照某種規(guī)律分成若干組,每組安排一個校驗(yàn)位,用于奇偶測試,這樣就提供了多位檢錯信息,以指出最大可能是哪一位出錯,從而糾正.

28(3)具有指出并糾正一位錯誤的海明校驗(yàn)需要的位數(shù)設(shè)有r位校驗(yàn)位，共能表示2r種不同的狀態(tài)，用一種狀態(tài)表示無差錯，剩余的可以表示2r-1種錯誤，由于差錯可能出現(xiàn)在數(shù)據(jù)位和校驗(yàn)位，因此必須滿足：

2r-1>=k+r(k—數(shù)據(jù)位的位數(shù)r—校驗(yàn)位的位數(shù)

)?校驗(yàn)位在海明碼中的分布規(guī)則：

k+r位海明碼中，校驗(yàn)位Pi分布在海明碼的H2i-1

位上,i=1..r29(4)海明碼的形成方法海明碼位號Hj1

234567891011P和b的分布P1

P2b1

P3b2b3b4

P4

b5b6b7a)分組原則：?確定海明碼每位數(shù)據(jù)位所用的校驗(yàn)位Hi1234567891011Pi121,241,42,41,2,481,82,81,2,8?根據(jù)每個校驗(yàn)位校驗(yàn)的位分組：P1:H3,H5,H7,H9,H11P2:H3,H6,H7,H10,H11P3:H5,H6,H7P4:H9,H10,H1130b)校驗(yàn)位的取值(偶校驗(yàn)為例)Hi1234567891011Pi121,2/b141,4/b22,4/b31,2,4/b481,8/b52,8/b61,2,8/b7P1=b1b2b4b5b7P2=b1b3b4b6b7P3=b2b3b4P4=b5b6b7

假設(shè)b1b2b3b4b5b6b7=1011000則：P1=10100=0P2=11100=1P3=011=0P4=000=0則H=0110011000031c)指錯、糾錯原理–指錯字P1=b1b2b4b5b7P2=b1b3b4b6b7P3=b2b3b4P4=b5b6b7

則指錯字由G4G3G2G1組成，其中：G4=P4b5b6b7G3

=P3b2b3b4G2=P2b1b3b4b6b7G1=P1b1b2b4b5b7上例中發(fā)送方H=01100110000如果接收到H’=01100110001G4=

0

001=1G3=0011=0G2=111101=1G1=010101=132G4G3G2G1=1011表明H11出錯，改正該位的錯誤即可。則錯誤字為：(5)海明校驗(yàn)的缺點(diǎn)計算復(fù)雜(6)關(guān)于擴(kuò)展的海明編碼(指出并糾正多位錯誤的海明編碼)，請查閱相關(guān)資料。33(1)CRC是一種基于模2運(yùn)算規(guī)則的校驗(yàn)碼;(2)模2運(yùn)算規(guī)則:a)加/減運(yùn)算(異或運(yùn)算，或不帶進(jìn)位的加法，不帶借位的減法)0±0＝0，0±1＝1，1±0＝1，1±1＝0b)乘法運(yùn)算：按模2加求部分積之和，不進(jìn)位

c)模2除法按模2減,求部分余數(shù)，不借位。上商原則是：①部分余數(shù)首位為1時，商為1，減除數(shù)；②部分余數(shù)首位為0時，商為0，減0；