程序與數(shù)學(xué)數(shù)的故事

第2章數(shù)的故事內(nèi)容提要計(jì)數(shù)方法數(shù)的表示數(shù)的運(yùn)算計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制數(shù)一、計(jì)數(shù)方法我們熟悉的計(jì)數(shù)法十進(jìn)制計(jì)數(shù)時(shí)間、日期計(jì)數(shù)天干地支八卦……一、計(jì)數(shù)方法各種計(jì)數(shù)法是可以互相轉(zhuǎn)換的比如：阿拉伯?dāng)?shù)字：13羅馬數(shù)字：XIII中文數(shù)字：壹拾叁天干地支：甲丑二、數(shù)的表示基數(shù)和指數(shù)以十進(jìn)制數(shù)為例32405=3x104+2x103+4x102+0x101+5x100十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)（或底數(shù)）為0、1、2、3、…十進(jìn)制數(shù)的每位數(shù)字的權(quán)值不同，權(quán)是10的指數(shù)，從右至左依次為0、1、2、3……二、數(shù)的表示每一個(gè)基數(shù)用一個(gè)數(shù)碼符號(hào)表示數(shù)的表示（數(shù)碼）阿拉伯?dāng)?shù)：0、1、2、3、4……羅馬計(jì)數(shù)：I、II、III、IV、V、X、…漢語(yǔ)中的數(shù)字：零、壹、伍、拾、………二、數(shù)的表示“零”的問(wèn)題阿拉伯?dāng)?shù)：0、10、100、……漢語(yǔ)中的數(shù)字：零、拾、佰、仟…天干地支：沒(méi)有零羅馬數(shù)字：沒(méi)有零二、數(shù)的表示0是什么都沒(méi)有嗎？計(jì)數(shù)功能：0即沒(méi)有標(biāo)記功能：如0°C、海拔高度……0<1嗎？一般地，數(shù)字0<1標(biāo)記0沒(méi)有大小有時(shí)候，0可能大于1，比如數(shù)字電路中用0表示高電平，而用1表示低電平二、數(shù)的表示進(jìn)位計(jì)數(shù)法羅馬計(jì)數(shù)法不是進(jìn)位計(jì)數(shù)法，進(jìn)位沒(méi)有意義十進(jìn)制數(shù)

32405=3x104+2x103+4x102+0x101+5x100十六進(jìn)制數(shù)A20F=Ax163+2x102+0x161+Fx160二進(jìn)制數(shù)110101=1x25+1x24+0x23+1x22+0x21+1x20二、數(shù)的表示如果把10n理解為“n個(gè)10的乘機(jī)”如何理解100=1？能理解10-1=？可以理解20、2-1、2-2、…嗎？三、數(shù)的運(yùn)算進(jìn)位制運(yùn)算——算術(shù)運(yùn)算加法：逢十（二、十六）進(jìn)一減法：借一當(dāng)十（二、十六）如何計(jì)算大數(shù)加、減法？需要死記硬背嗎？靈活運(yùn)用規(guī)則三、數(shù)的運(yùn)算無(wú)進(jìn)位運(yùn)算——布爾運(yùn)算邏輯運(yùn)算是一種最基本的運(yùn)算可用布爾運(yùn)算表示與01000101或01001111異或01001110四、計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制數(shù)計(jì)算機(jī)中為什么使用二進(jìn)制數(shù)？巴貝奇的差分機(jī)使用十進(jìn)制馮·諾依曼計(jì)算機(jī)采用二進(jìn)制運(yùn)算規(guī)律簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)容易（設(shè)備部件造價(jià)低）可實(shí)現(xiàn)布爾運(yùn)算有沒(méi)有不足？四、計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制數(shù)數(shù)值轉(zhuǎn)換方法十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制二進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制二進(jìn)制轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制、十六進(jìn)制八進(jìn)制、十六進(jìn)制轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制四、計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制數(shù)符號(hào)位計(jì)算機(jī)的字若字長(zhǎng)為8，則35的內(nèi)存形式為00100011若字長(zhǎng)為16，則為0000000000100011符號(hào)位將字的最高位作為符號(hào)位，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)四、計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制數(shù)原碼符號(hào)位表示正負(fù)數(shù)，其他位是數(shù)的絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)若字長(zhǎng)為8，則35的原碼為00100011-35的原碼為10100011利用原碼能實(shí)現(xiàn)算術(shù)運(yùn)算嗎？0的原碼是什么？“-0”問(wèn)題四、計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制數(shù)反碼對(duì)于原碼，若符號(hào)位為0，則其他位不變，若符號(hào)位為1，則其他位取反，得到該原碼的反碼35的反碼為00100011-35的原碼為11011100利用反碼能實(shí)現(xiàn)算術(shù)運(yùn)算嗎？“-0”問(wèn)題依然存在四、計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制數(shù)補(bǔ)碼整數(shù)的補(bǔ)碼和反碼相同，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是反碼在最低位加1得到的35的補(bǔ)碼為00100011-35的補(bǔ)嗎為11011101利用補(bǔ)碼能實(shí)現(xiàn)算術(shù)運(yùn)算嗎？0的補(bǔ)碼是什么？“-0”問(wèn)題還存在嗎？四、計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制數(shù)求補(bǔ)碼的原碼（真值）可以先把補(bǔ)碼轉(zhuǎn)化為反碼再轉(zhuǎn)化為原碼將補(bǔ)碼當(dāng)作“原碼”，按照相同的方法求“反碼”和“補(bǔ)碼”，該“補(bǔ)碼”就是原碼這一特性極大地節(jié)省了部件成本四、計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制數(shù)一個(gè)神奇的數(shù)若字長(zhǎng)為8，則原碼有0~127、-0~-127共256個(gè)，反碼也有256個(gè)，他們都有一個(gè)特殊的“-0”補(bǔ)碼沒(méi)有“-0”，難道只有255個(gè)數(shù)嗎？10000000是誰(shuí)的補(bǔ)碼？答案：-128。因此補(bǔ)碼的256個(gè)數(shù)是-128~127練習(xí)假設(shè)計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)為8，試用二進(jìn)制補(bǔ)碼的加法運(yùn)算模擬計(jì)算67-149，給出計(jì)算過(guò)程請(qǐng)給出以下整數(shù)的補(bǔ)碼

127、1、-1、-127、-128考考你之一現(xiàn)有1000個(gè)裝滿(mǎn)水的一模一樣的瓶子，已知其中只有一個(gè)瓶子里的水有毒，做實(shí)驗(yàn)的小白鼠只要喝一點(diǎn)兒有毒的水就會(huì)在一周以后死掉。問(wèn)需要多少只小白鼠才能在一周內(nèi)找出有毒的瓶子？1234…………9989991000(1)瓶子編號(hào)(2)編號(hào)用二進(jìn)制表示瓶子編號(hào)對(duì)應(yīng)二進(jìn)制數(shù)定長(zhǎng)二進(jìn)制11000000000121000000000103110000000011………………9981111100110111110011099911111001111111100111100011111010001111101000(3)需要10只小白鼠(4)小白鼠只喝標(biāo)記為1的瓶子中的水000000000100000000100000000011..............................111110011011111001111111101000⑩⑨⑧⑦⑥⑤④③②①(5)把死掉的小白鼠標(biāo)出來(lái)(6)得到毒瓶子的編碼

0100110001 →305000000000100000000100000000011..............................111110011011111001111111101000⑩⑨⑧⑦⑥⑤④③②①考考你之一如果只有8只小白鼠，時(shí)間不限，怎么找有毒的瓶子？需要多長(zhǎng)時(shí)間？五、編程中的“0”0有類(lèi)型嗎？整數(shù)0、小數(shù)0.0、字符’\0’、字符串“”有什么區(qū)別？變量的初值都是0嗎？一個(gè)沒(méi)有初始化的變量的初值是多少？BASIC、FORTRAN中的變量C、JAVA中的變量五、編程中的“0”除以0異常問(wèn)題程序執(zhí)行時(shí)，若除數(shù)為0，則出現(xiàn)異常解決之道BASIC語(yǔ)言： ONERRORGOTO…Java語(yǔ)言: try{…..}

catch(e){….}C語(yǔ)言： if(div!=0){….}

else{….}六、二進(jìn)制數(shù)的乘法和除法怎樣計(jì)算二進(jìn)制數(shù)的乘法？例：試計(jì)算1101與1011的乘積（假設(shè)字長(zhǎng)為8）1101X101111011101.

0000..1101...10001111結(jié)果為10001111可否用十進(jìn)制驗(yàn)證？思考：能編程嗎？六、二進(jìn)制數(shù)的乘法和除法用加法和移位實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)的乘法基本規(guī)則：要計(jì)算A、B的乘積S，首先令S各位為0，從左到右順序取B的一位，如果為0，則將S各位左移一位，如果為1，則將S與A相加后再將S左移一位，直到B最后一位六、二進(jìn)制數(shù)的乘法和除法要計(jì)算1101與1011的乘積（假設(shè)字長(zhǎng)為8）：開(kāi)始，A=1101，B=1011，S=00000000B的第1位是1，S+A=1101，移位S=00011010B的第2位是0，移位S=00110100B的第3位是1，S+A=01000001，移位S=10000010B的第4位（最后）是1，S+A=10001111六、二進(jìn)制數(shù)的乘法和除法怎樣計(jì)算二進(jìn)制數(shù)的除法？例：試計(jì)算1010010除以111的商和余數(shù)即82/7=11余500001011111)01010010111...11010111.

1100111101六、二進(jìn)制數(shù)的乘法和除法用減法和移位實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)的除法設(shè)被除數(shù)為A、除數(shù)為B、商為Q、余數(shù)為R，Q和R初值為0。將A由左到右依次左移進(jìn)入R，每次移位進(jìn)入后比較R和B的值，如果R≥B，則將這一位的Q的值置1，然后從R中減去B（做補(bǔ)碼加法運(yùn)算），否則不做操作。Q與A移位同步進(jìn)行?！钡紸全部進(jìn)入R單元為止。六、二進(jìn)制數(shù)的乘法和除法令A(yù)=1010010，B=111，Q=R=0A左移1位進(jìn)入R，A=010010，R=1，因R<B，Q=0A左移，A=10010，R=10，因R<B，Q=0A左移，A=0010，R=101，因R<B，Q=0A左移，A=010，R=1010，因R>B，R=R-B=11，Q=1A左移，A=10，R=110，因R<B，Q=10A左移，A=0，R=1101，因R>B，R=R-B=110，Q=101A左移，A空，R=1100，因R>B，R=R-B=101，Q=1011考考你某明星到大學(xué)里搞活動(dòng)，場(chǎng)面異常火爆（人很多），但學(xué)生素質(zhì)高，秩序井然。活動(dòng)的組織者想知道到底來(lái)了多少人？你能幫他想想辦法嗎？考考你之二現(xiàn)有1000張1元紙幣，請(qǐng)?jiān)O(shè)法分裝在10個(gè)信封中，要求能用這些信封組合出任意不大于