模型實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)理論

模型實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)理論

第二講參考書目模型實(shí)驗(yàn)的基本理論與方法公理集論力學(xué)中的相似及量綱方法模型實(shí)驗(yàn)的理論與應(yīng)用當(dāng)代給水與廢水處理原理系統(tǒng)辨識(shí)基礎(chǔ)目錄1導(dǎo)言2因次分析的基本理論3相似理論4

現(xiàn)象相似與模型實(shí)驗(yàn)5誤差分析導(dǎo)言

1.1現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)與指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)的理論

1.2實(shí)驗(yàn)與理論的關(guān)系

1.3實(shí)驗(yàn)的理論舉例

1.4本講座的內(nèi)容與目的現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)與指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)的理論公理與公理化系統(tǒng)

公理是描述自然界基本規(guī)律的道理。常用的有牛頓三大定律、熱力學(xué)三大定律等。

公理化系統(tǒng)是在某一學(xué)科的研究中采用的精確描述該學(xué)科中各種物理量的一類約定，是用形式語言來表達(dá)的形式系統(tǒng)。所用的形式語言不同于自然語言，是一種人工語言，具有精確、不含混的特點(diǎn)。公理與公理化系統(tǒng)公理與公理化系統(tǒng)還是

？現(xiàn)問：是

Russell悖論的表述十分簡(jiǎn)單且明確無誤，這對(duì)本世紀(jì)初被認(rèn)為是己可靠形成了的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)產(chǎn)生了沖擊，形成了所謂“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”。例如：集論的公理化系統(tǒng)的產(chǎn)生，主要來源于一系列的悖論。最為著名的是Russell悖論。1902年，英國(guó)數(shù)理邏輯學(xué)家Russell提出了下面有名的悖論：考察由所有不是自己成員的集構(gòu)成的集b：公理與公理化系統(tǒng)

除Russell悖論外，當(dāng)時(shí)還出現(xiàn)了其他一些悖論。出現(xiàn)這些悖論說明不加限制地使用“集合”一詞會(huì)出毛病。構(gòu)成一個(gè)集，必須要有一些限制，必須要作一些規(guī)定。這就導(dǎo)致了集論的公理化。一般把由Cantor開始建立的未進(jìn)行公理化的集論叫做樸素集論。

奧地利Gódel在研究算術(shù)形式系統(tǒng)時(shí)提出關(guān)于公理化系統(tǒng)的三個(gè)定律，其中之一是這樣描述的：如果算術(shù)形式系統(tǒng)內(nèi)的公理是不可證的，則其無矛盾性也是不可能的。

公理化在本系統(tǒng)內(nèi)是可以證明的，但公理不可能在本系統(tǒng)內(nèi)得到證明，通常是通過實(shí)踐或?qū)嶒?yàn)來加以驗(yàn)證的。

現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)與指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)的理論實(shí)驗(yàn)是理論的源頭實(shí)驗(yàn)是理論的源頭科學(xué)實(shí)驗(yàn)本身帶有很大的局限性，故必須有理論的正確指導(dǎo)；由于原型實(shí)驗(yàn)往往非常復(fù)雜，因此必須進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)；實(shí)驗(yàn)的可靠性是實(shí)驗(yàn)價(jià)值的重要體現(xiàn)；現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)的抗干擾問題；系統(tǒng)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)是理論的源頭

關(guān)于系統(tǒng)辨識(shí)，早在1962年扎德(Zadeh)就作了如下的定義：“根據(jù)對(duì)已知輸入量的輸出響應(yīng)的觀測(cè)，在指定一類系統(tǒng)的范圍內(nèi)確定一個(gè)與被辨識(shí)系統(tǒng)等價(jià)的系統(tǒng)?！备鶕?jù)這個(gè)定義，在系統(tǒng)辨識(shí)過程中，我們必須確定三方面的問題。第一、必須指定某類系統(tǒng)，這就是說根據(jù)我們事先掌握的關(guān)于所要辨識(shí)的系統(tǒng)的知識(shí)，必須先確定所辨識(shí)系統(tǒng)屬于那一種系統(tǒng)，即什么樣的類型。是靜態(tài)的還是動(dòng)態(tài)的，線性的還是非線性的，參數(shù)是定常的還是時(shí)變的，是確定性的還是隨機(jī)性的，是連續(xù)系統(tǒng)還是離散的系統(tǒng)等。顯然這是系統(tǒng)辨識(shí)關(guān)鍵性的問題，若確定錯(cuò)了，往往會(huì)使系統(tǒng)辨識(shí)不能成功。第二、必須規(guī)定一類輸入信號(hào)，辨識(shí)是在某一特定輸入信號(hào)下進(jìn)行的。通常的輸入信號(hào)有正弦、階躍、脈沖、白色噪聲、偽隨機(jī)信號(hào)等。第三、必須規(guī)定等價(jià)的含義。對(duì)于兩個(gè)系統(tǒng)，僅僅當(dāng)對(duì)于所有可能的輸入值，它們的輸入——輸出關(guān)系完全相同時(shí)，這兩個(gè)系統(tǒng)才是等價(jià)的。用系統(tǒng)辨識(shí)來建立的模型必須與原系統(tǒng)等價(jià)。實(shí)驗(yàn)與理論的關(guān)系科學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)原理具有始原性質(zhì)；理論與實(shí)驗(yàn)在不同階段往往具有不同的重要性；理論的價(jià)值不僅在于對(duì)具體實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證，更重要的是它將拓寬實(shí)驗(yàn)者的遠(yuǎn)見，豐富其想象力，引導(dǎo)其向更深邃的境界；實(shí)驗(yàn)的價(jià)值不僅僅在于取得具體結(jié)果，還在于分辨出諸多影響因素中的主導(dǎo)因素，以及對(duì)機(jī)理的直覺啟示。實(shí)驗(yàn)的理論舉例因次分析理論相似理論誤差理論譜分析理論離散采樣的逼真理論儀器與場(chǎng)耦合理論大規(guī)模超精細(xì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)理論系統(tǒng)識(shí)別理論本講座的內(nèi)容與目的主要介紹實(shí)驗(yàn)的經(jīng)典理論：因次分析、相似理論與誤差分析及其應(yīng)用目的：用于指導(dǎo)未來的實(shí)驗(yàn)、培養(yǎng)想象力

因次分析的基本理論

2.1實(shí)驗(yàn)與模擬

2.2量綱量和無量綱量

2.3國(guó)際單位制（SI）

2.4量綱公式與齊次函數(shù)

2.5白金漢定理

2.6因次體系的高斯原則實(shí)驗(yàn)與模擬

自然界所有的運(yùn)動(dòng)和平衡問題都可以歸結(jié)為對(duì)表示現(xiàn)象特征的量確定其數(shù)值或某種函數(shù)關(guān)系。自然規(guī)律往往是以特征量間的函數(shù)方程，通常是微分方程表示出來的。

純理論來研究這些問題是用數(shù)學(xué)方法來表示運(yùn)動(dòng)的特征并得出所要求的函數(shù)關(guān)系。但是，在很多場(chǎng)合會(huì)遇到不可克服的數(shù)學(xué)困難，其現(xiàn)象是如此復(fù)雜，以致至今還沒有建立起合適的物理模型，更沒有建立起運(yùn)動(dòng)方程。在這種場(chǎng)合，實(shí)驗(yàn)研究方法便占有主導(dǎo)地位。通常這類實(shí)驗(yàn)研究常常是進(jìn)行能基本上模擬所研究現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)，測(cè)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，然后把它們寫成某種數(shù)學(xué)關(guān)系式來加以應(yīng)用。實(shí)驗(yàn)與模擬

模擬，是指對(duì)真實(shí)事物（實(shí)物）的形態(tài)、工作規(guī)律或信息傳遞規(guī)律在特定的（一般是簡(jiǎn)化的）條件下的一種相似再現(xiàn)。模擬一般是用模型來實(shí)現(xiàn)的，通常是在專門的試驗(yàn)設(shè)備或電子計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。

實(shí)驗(yàn)與模擬定量研究用的模擬可分為：1．物理模擬

模型的工作規(guī)律與實(shí)物相似，區(qū)別僅在于物理量的大小比例不同，但現(xiàn)象的物理本質(zhì)不變。物理模擬與真實(shí)情況的物理特性一般是同類的，也可以是異類的，如用電場(chǎng)來研究溫度場(chǎng)、流場(chǎng)等。他們都被同樣的微分方程式所描述。2．?dāng)?shù)學(xué)模擬

在這種模擬中保持信息傳遞規(guī)律與實(shí)物相似。數(shù)學(xué)模擬與實(shí)物所進(jìn)行的物理過程本質(zhì)上是不同的，但信息傳遞按同一微分方程式進(jìn)行。數(shù)學(xué)模擬可以很方便地研究各物理量變化時(shí)對(duì)工作過程的影響，故它可著重研究某系統(tǒng)在改變輸入信息后工作過程的變化。數(shù)學(xué)模擬一般在電子計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)與模擬

數(shù)學(xué)模擬只有在建立了微分方程式后才能實(shí)現(xiàn)，而物理模擬只要知道了參與的物理量時(shí)就能實(shí)現(xiàn)。物理模擬一般是在按相似原理建立的與實(shí)物保持相似的模型上通過試驗(yàn)來求出相似準(zhǔn)則之間的函數(shù)關(guān)系。此函數(shù)關(guān)系適用于一切相似現(xiàn)象，故可推廣到實(shí)物上去。

具體來說，物理模擬可應(yīng)用于下述幾個(gè)方面：

1．用少量試驗(yàn)，配合方程分析或量綱分析，來獲得參量間的全面關(guān)系。這樣可大大減輕試驗(yàn)工作量，并使試驗(yàn)易于進(jìn)行。2．在實(shí)物設(shè)計(jì)階段，可通過模型試驗(yàn)來了解實(shí)物的未來性能。3．對(duì)產(chǎn)品極限性能的了解往往伴隨產(chǎn)品的毀壞，因而用模型試驗(yàn)來進(jìn)行研究最為合理。4．探索未研究過的現(xiàn)象的基本規(guī)律。在進(jìn)行物理模擬時(shí)，應(yīng)正確地選擇無量綱參數(shù)。它們的數(shù)目應(yīng)最少，并且所有參數(shù)應(yīng)在最大程度上反映出被研究對(duì)象的主要物理現(xiàn)象，以大大減輕試驗(yàn)工作量。這方面的工作是應(yīng)用量綱分析和相似理論得出的。因此，要有成效地提出并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，不考慮相似和量綱問題是不可想象的。

量綱量和無量綱量

測(cè)量任何一個(gè)量，就是將此量與被選作測(cè)量單位的同類量相比較，并且用數(shù)字來表示所得到的比例。

凡數(shù)值取決于所取測(cè)量單位的量稱為量綱量或有名的量。凡數(shù)值與所取測(cè)量單位無關(guān)的量稱為無量綱量或抽象的量。

長(zhǎng)度、時(shí)間、力、能、動(dòng)量是量綱量的例子。角度、兩長(zhǎng)度之比、長(zhǎng)度平方和面積之比、能量和動(dòng)量之比是無量綱量的例子。量綱量和無量綱量的概念是相對(duì)的。如果引入某些輔助的測(cè)量單位，當(dāng)對(duì)所有測(cè)量單位制采用這些輔助的測(cè)量單位時(shí)，若某些量的數(shù)值不變，這些量便可以認(rèn)為是無量綱量。

國(guó)際單位制基本和導(dǎo)出測(cè)量單位基本和導(dǎo)出測(cè)量單位

在自然界中，不同的物理量之間往往以一定的關(guān)系互相聯(lián)系著。因此，若把這些物理量中的某些取作基本量，并對(duì)它們建立起某種測(cè)量單位，則所有其它物理量的測(cè)量單位可以通過物理規(guī)律，用基本量的測(cè)量單位來表示。基本量的測(cè)量單位稱為基本的或第一位的，而所有其它量的測(cè)量單位稱為導(dǎo)出的或第二位的。

實(shí)踐表明，對(duì)三個(gè)量建立起基本測(cè)量單位已是足夠的了。在不同的問題中可以選取不同量的測(cè)量單位作為基本測(cè)量單位。在物理學(xué)研究中，取長(zhǎng)度、時(shí)間和質(zhì)量的單位作為基本測(cè)量單位比較方便。而在工程技術(shù)中，則廣泛采用長(zhǎng)度、時(shí)間和力的單位作為基本測(cè)量單位?；竞蛯?dǎo)出測(cè)量單位

用基本測(cè)量單位來表示導(dǎo)出測(cè)量單位稱為量綱。量綱可以用公式的形式象征性地寫出。通常長(zhǎng)度單位用符號(hào)L，質(zhì)量單位用M，時(shí)間單位用T。（在工程單位制中力的單位F。）

以后，將用符號(hào)[a]來表示某個(gè)量a的量綱。這是馬克斯威爾（J．C．Maxwell）在1894年建議采用的?；竞蛯?dǎo)出測(cè)量單位例如，在物理學(xué)中，力F的量綱可寫為：

應(yīng)用量綱公式，可以在測(cè)量單位變化時(shí)換算出量綱量的數(shù)值。例如，對(duì)重力加速度g=981cm/s2。如需把測(cè)量單位轉(zhuǎn)換至公里和小時(shí)，則因

便有：

基本和導(dǎo)出測(cè)量單位

一般說來，若在新的測(cè)量單位制中長(zhǎng)度單位比老的小α倍，質(zhì)量單位小β倍，時(shí)間單位小γ倍，則具有量綱[a]＝LlMmTn的物理量a的數(shù)值在新的單位制中要大倍。

國(guó)際單位制國(guó)際單位制（SI）國(guó)際單位制（SI）

在實(shí)踐中，各國(guó)曾對(duì)不同的基本量或相同的基本量選取不同的基本測(cè)量單位，各種單位制的并存帶來了很大不便。因此，多年來各國(guó)科技工作者一直在尋求建立并完善一個(gè)統(tǒng)一的計(jì)量單位制。1960年第十一屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)正式討論通過了這樣一個(gè)統(tǒng)—的計(jì)量單位制，即“國(guó)際單位制”(SystemInternational)，代號(hào)為SI。

1971年第十四屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)決定，以長(zhǎng)度（m，米）、質(zhì)量（kg，千克）、時(shí)間（s，秒）、電流（A，安培）、溫度（K，開爾文）、物質(zhì)的量（mol，摩爾）和光強(qiáng)度（cd，坎德拉）等七個(gè)物理量作為基本量。它們的測(cè)量單位稱為國(guó)際制基本測(cè)量單位。兩個(gè)輔助量：平面角（rad，弧度）和立體角（sr，球面度）

國(guó)際單位制（SI）長(zhǎng)度的測(cè)量單位為米（m）。1米等于氪-88（）原子的2p10和5d5能級(jí)之間躍遷所對(duì)應(yīng)的輻射在真空中的1650763.73個(gè)波長(zhǎng)的長(zhǎng)度。質(zhì)量的單位為干克（kg）。l千克等于國(guó)際1千克原器的質(zhì)量。時(shí)間的單位為秒（s）。1秒是銫-l33（）原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)之間躍遷所對(duì)應(yīng)的輻射的9192631770個(gè)周期的持續(xù)時(shí)間。

量綱公式與齊次函數(shù)量綱公式量綱公式

導(dǎo)出量的測(cè)量單位和基本量的測(cè)量單位之間的關(guān)系可以用公式的形式來表示。這些公式稱為量綱公式。

只有在采用了確定的測(cè)量單位制時(shí)，才能談到量綱的概念。對(duì)于同一物理量的量綱公式在不同的單位制中可以包含不同的元素，并具有不同的形式。然而，所有物理量的量綱公式均具有指數(shù)單項(xiàng)式的形式，即：（或）?，F(xiàn)在來證明這一點(diǎn)。

量綱公式

設(shè)有一有量綱的任意導(dǎo)出量y。為了簡(jiǎn)單起見，認(rèn)為y是幾何量，因此它僅取決于長(zhǎng)度。

式中x1,x2,x3,…xn是某些距離。用y’來表示量y在各元素的數(shù)值為x1’,x2’,x3’,…xn’時(shí)的數(shù)值。顯然，y及y’的數(shù)值取決于距離x1,x2,x3,…xn所用的測(cè)量單位。若把測(cè)量單位減少α倍，則對(duì)于上面的情況，有：（2-1）

即對(duì)于任意的α值，比值不變。

量綱公式由（2-1）式，或

（2-2）

即用不同縮比來測(cè)量的導(dǎo)出幾何量數(shù)值之比只取決于縮比α。

由（2-2）式，有

量綱公式

當(dāng)

，…，時(shí)，，…，

便有

由此，

（2-3）

量綱公式（2-3）式對(duì)α1微分，

令，便得

積分便可得

當(dāng)時(shí)有

，故常數(shù)

。因此

（2-4）

上述結(jié)果對(duì)于任意一個(gè)取決于n個(gè)基本量的有量綱量都是正確的。不難看到，如果三個(gè)基本量的尺度變化α、β、γ倍，函數(shù)φ具有下列形式：（2-5）

量綱公式與齊次函數(shù)量綱的齊次性量綱的齊次性1齊次函數(shù)

對(duì)函數(shù)

或

i=1，2，3，…m

對(duì)每一個(gè)元素乘以一個(gè)任意實(shí)數(shù)，即

代入上述方程，即

若

對(duì)于任意空間點(diǎn)均存在上述關(guān)系，則稱函數(shù)

為含有一個(gè)基本量的m元k次齊次函數(shù)。

量綱的齊次性例：則稱y為含有1個(gè)基本量的2元-1次齊次函數(shù)。

其物理意義為：在實(shí)際應(yīng)用中改用不同的單位制度量某一實(shí)體所引起的變化。

量綱的齊次性2多個(gè)基本量的齊次函數(shù)

對(duì)函數(shù)

即

i=1，2，3，…m

對(duì)任意給定的點(diǎn)

作變換

（αi一般為正實(shí)數(shù)）

，代入方程后可得：

，若

(是由方程結(jié)構(gòu)所確定的實(shí)常數(shù)）,則稱該多元函數(shù)為有m個(gè)基本量的m元齊次函數(shù)。

量綱的齊次性例：

（1）對(duì)上例，不是2個(gè)基本量的齊次函數(shù)；（2）對(duì)速度（率）而言，有以國(guó)際單位制與中國(guó)制對(duì)換，有

則

，u為具有兩個(gè)基本量的二元齊次函數(shù)。

量綱的齊次性3復(fù)合齊次函數(shù)對(duì)函數(shù)

設(shè)等號(hào)右邊的所有自變量都是獨(dú)立變化，則該函數(shù)為m+n-1元函數(shù)，可表示為：

i=1，2，…，m；j=1，2，…，n-1任意給定一個(gè)空間點(diǎn)

，作如下變換

(其中)

代入上述函數(shù)可得：

，若量綱的齊次性(式中)

則稱該函數(shù)為含有m個(gè)基本量的m+n-1元齊次函數(shù)。

對(duì)上述定義式可表示成下述的統(tǒng)一公式：

(式中)

e=1，2，…，n這一變換對(duì)自變量及應(yīng)變量均適用。量綱的齊次性4量綱的齊次性

量綱的齊次性可描述為上述的齊次函數(shù)的形式，故量綱齊次性的描述可視為齊次函數(shù)的一具體表現(xiàn)方式。

若一方程式是量綱齊次的，則此方程式的形式在基本測(cè)量單位變化時(shí)不變。

若y是n個(gè)變量的函數(shù)，即

（2-6）

符號(hào)f可以認(rèn)為是作用于變量x1，x2，…，xn的特定的運(yùn)算符，用來得到變量y的值。

量綱的齊次性如果基本測(cè)量單位有了變化，這些變量將取新的值。由上面關(guān)于量綱齊次的定義，當(dāng)且僅當(dāng)

（2-7）

成立，且f是（2-6）式引用的相同運(yùn)算符時(shí)，此方程才是量綱齊次的。

在環(huán)境工程問題中，常取質(zhì)量、長(zhǎng)度和時(shí)間作為基本量。當(dāng)它們的測(cè)量單位變化α、β、γ倍時(shí)，由(2-5)式，任意環(huán)境工程量在測(cè)量單位前、后的關(guān)系為：

量綱的齊次性在測(cè)量單位變化前，若所有變量的量綱矩陣可寫為

（2-8）

量綱的齊次性則在測(cè)量單位變化后，所有變量所取的值可由下式確定：……………（2-9）

式中各個(gè)K為：

（2-10）

量綱的齊次性由此得出結(jié)論，函數(shù)

在測(cè)量單位變化時(shí)，只有滿足（2-11）式才是量綱齊次的。

當(dāng)有n個(gè)基本量時(shí)，可類推。

將（2-9）代入（2-7）式，有

（2-11）

量綱的齊次性例：對(duì)于不可壓縮流體繞球體的流動(dòng)，其阻力系數(shù)可用下面的公式給出（2-12）

按照方程是量綱齊次的定義(2-11)式

（2-13）

當(dāng)函數(shù)f具有下面的形式時(shí)，恒等式(2.13)自動(dòng)滿足

（2-14）

量綱的齊次性可以證明，當(dāng)一方程由很多項(xiàng)組成時(shí)，只有在每一項(xiàng)都具有相同的量綱時(shí)，此方程才是量綱齊次的。若有一方程

（2-15）

（2-11）式便可寫成：

（2-16）

由此可得：

（2-17）

量綱的齊次性而由（2-10）式，有

（2-18）

(2-18)式表明，所有變量y，x1，x2，…，xn均具有相同的量綱。這是方程(2-15)量綱齊次的必要和充分條件。

現(xiàn)在考慮一函數(shù)，它是很多變量的指數(shù)乘積（2-19）

式中變量y，x1，x2，…，xn的量綱可以用量綱矩陣（2-8）式來表示。量綱的齊次性只有在滿足恒等式（2-11）時(shí)，方程（2-19）才是量綱齊次的。即

（2-20）

由式2-20可得：

（2-21）

由式2-10可得：

（2-22）

由此可得結(jié)論，由變量x1,x2,x3,…,xn的指數(shù)乘積組成的函數(shù)y若是量綱齊次的，則指數(shù)k1,k2,k3,…,kn必定是線性方程組(2-22)的一組解。

白金漢定理白金漢定理白金漢定理對(duì)復(fù)合齊次函數(shù)，

i=1，2，…，m；j=1，2，…，n-1；

選定一空間點(diǎn)

，代入上式后得

，若選定

（i=1，2，…，m），則

，（e=1，2，…，n）

白金漢定理，則，故

白金漢定理令

（e=1，2，…，n）

則：

定理：對(duì)于具有m+n-1個(gè)自變量的復(fù)合齊次函數(shù)，可以簡(jiǎn)化為僅含n-1個(gè)自變量的函數(shù)。

等價(jià)提法：包含m+n個(gè)變量的方程至少可以簡(jiǎn)化為僅含n個(gè)變量的方程。

白金漢定理當(dāng)將上述定理應(yīng)用至量綱分析中時(shí)，就是白金漢π定理。

π定理是白金漢（E.Buckingham）在1914年提出的。它可以表述為：一個(gè)反映物理過程的量綱齊次的物理方程可以轉(zhuǎn)換成由這些物理量組成的各無量綱參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系。

據(jù)上所述，當(dāng)將定理應(yīng)用于量綱分析中時(shí)，m表示有m個(gè)獨(dú)立的量綱，即基本測(cè)量單位；n表示有n個(gè)導(dǎo)出單位，這n個(gè)導(dǎo)出單位均可由該m個(gè)基本測(cè)量單位的指數(shù)單項(xiàng)式表示。從而經(jīng)過變換后，原方程就可變換為n個(gè)無量綱量之間的函數(shù)關(guān)系。變換產(chǎn)生的無量綱量

稱為π數(shù)。

白金漢定理無量綱化方法白金漢定理2坐標(biāo)x、y、z1濃度c（2-24）式中c為反應(yīng)器中某一點(diǎn)的濃度，ci為反應(yīng)器的進(jìn)口濃度，

c*值在0-1之間。（2-25）L、M及N分別取自x、y及z方向的特征長(zhǎng)度，但它們不一定在相應(yīng)的坐標(biāo)方向上，彼此間可能相等，也可能不相等。3速度v

（2-26）V為v的特征速度，但不一定在v的方向上。

白金漢定理4微分運(yùn)算

（2-27）

（2-28）

（2-29）

（2-30）

上面第一式中T代表一個(gè)特征時(shí)間，這個(gè)特征時(shí)間可用一個(gè)(特征長(zhǎng)度/特征速度)來代示，也可用反應(yīng)器的平均停留時(shí)間Θ來代表，當(dāng)然還可能用量綱為時(shí)間的其它參數(shù)形式。白金漢定理（2-31）

由上述關(guān)系可得出，把原來微分方程中有量綱的量或微分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為無量綱的量或微分運(yùn)算，可以由原來方程按下面關(guān)系直接得出：(原方程)有量綱的量＝無量綱方程有量綱的特征量×無量綱量(原方程)有量綱的微分運(yùn)算＝(無量綱方程)有量綱的特征量的相應(yīng)次方×無量綱的微分運(yùn)算（2-32）

例：有量綱微分方程中的c、x、v、d/dt、d2/dt2分別以cic*、Lx*、Vv*、（V/L）（d/dt*）、（V2/L2）（d2/dt*2）等代替時(shí)，則直接得出這些量或運(yùn)算的無量綱表達(dá)式。按上述方法所得出的微分方程中，其中每一項(xiàng)出現(xiàn)一個(gè)由特征量組成的參數(shù)系數(shù)。因而就整個(gè)微分方程而言，并不是無量綱的，但這些特征量可以進(jìn)—步組合成一些無量綱數(shù)，因而得到一個(gè)完全無量綱的微分方程式。這些無量綱數(shù)也就是一般所稱的相似準(zhǔn)數(shù)。

白金漢定理（2-33）

例：對(duì)于分散模型方程：先對(duì)每一項(xiàng)無量綱化可得：式中：D為縱向分散系數(shù)，量綱為長(zhǎng)度2/時(shí)間，式中出現(xiàn)的U/L和D/L2等系數(shù)的量綱為時(shí)間-1，因而整個(gè)微分方程為有量綱的，但可進(jìn)一步變換成下列無量綱方程式：（2-34）

白金漢定理D/UL為一個(gè)無量綱數(shù)，稱為分散數(shù)，其倒數(shù)UL/D則稱為Peclet數(shù)。微分方程式的無量綱化可以起三方面的作用。第一，可以使微分方程的解簡(jiǎn)化。第二，可以求出由該微分方程所描述的過程的相似準(zhǔn)數(shù)，如上例中的分散數(shù)即是。第三，可使幾個(gè)難以分別測(cè)量的參數(shù)組合成一個(gè)較易測(cè)量的參數(shù)。這三方面基本可用上一例子得到說明。

當(dāng)分散數(shù)D/UL的數(shù)值很小以致可以忽略時(shí)，原微分方程可用代替；當(dāng)D／UL比很大，反映反應(yīng)器中時(shí)，原微分方程失去所表達(dá)的物理涵義。另外，分散數(shù)又是反映反應(yīng)器縱向分散程度的—個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)，同時(shí)也為縱向分散系數(shù)D的測(cè)定提供了一個(gè)方法。項(xiàng)很小，濃度梯度可以忽略因次體系的高斯原則實(shí)質(zhì)與度量的變化

實(shí)質(zhì)與度量的變化

所有物理變量都有一個(gè)共性即客觀性，即從一狀態(tài)變化到一個(gè)新狀態(tài)的過程是客觀的，我們研究的任務(wù)就是將其量化，而在量化過程中產(chǎn)生了主觀性。這一主觀性是不可避免的，對(duì)同一現(xiàn)象，不同的研究者可能得出不同的結(jié)論，其差別可能來自所采用的計(jì)量框架不同，因此數(shù)量變化并不代表物理現(xiàn)象一定變化，則有下述定義：

實(shí)質(zhì)變化：指狀態(tài)空間內(nèi)從一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的變化。度量變化：指在指定的物理空間狀態(tài)點(diǎn)上由于計(jì)量體系的變化所導(dǎo)致的數(shù)量變化。

因次體系的高斯原則高斯原則

高斯原則

為了減少主觀性，可將某一物理現(xiàn)象的方程描述成兩組不同的方程，即第一原則：兩組方程（物理方程：形式上不受計(jì)量體系的選擇干擾；計(jì)量方程：形式上不受所論物理現(xiàn)象的干擾）第二原則：計(jì)量方程在大量的使用中應(yīng)形成人的一種本能，從而使其被人們所淡忘。第三原則：在計(jì)量體系的選擇過程中，必須要保持計(jì)量變換的齊次性質(zhì)。

高斯原則

高斯原則：（1）對(duì)任一合理的計(jì)量體系，只能選擇一定數(shù)量的物理量作為基本量，而其它的物理量為導(dǎo)出量；（2）對(duì)宏觀機(jī)械運(yùn)動(dòng)，任一合理的計(jì)量體系的基本量只能是三個(gè)，當(dāng)宏觀與微觀熱運(yùn)動(dòng)相聯(lián)系時(shí)，可增加一個(gè)基本量；（3）這些基本量必須是相互獨(dú)立的；（4）計(jì)量體系里基本量的規(guī)定給予導(dǎo)出量之間的計(jì)量關(guān)系不能定義為非齊次的。高斯原則例：按高斯單位體系，其基本量為m（kg），l（m），t（s），則F是kg.m/s2如果規(guī)定F為市斤力（Jin），則上式變?yōu)椋?/p>

物理方程改變高斯原則計(jì)量方程的物理意義：（1）該方程形式上與所論物理現(xiàn)象無關(guān)，可以量綱形式表示；（2）當(dāng)由一個(gè)計(jì)量體系變?yōu)榱硪粋€(gè)計(jì)量體系是為單位換算關(guān)系。計(jì)量方程的數(shù)學(xué)意義：如當(dāng)某現(xiàn)象如，則則計(jì)量方程包括兩部分：（1）基本量之間的換算關(guān)系，即α倍；（2）導(dǎo)出量之間的換算關(guān)系，即β倍。因次體系的高斯原則高斯原則的意義

高斯原則的意義1、奠定了合理的計(jì)量體系的理論基礎(chǔ)；2、盡可能多地保持了物理方程的客觀性；3、按照高斯原則所建立的一切廣義的物理公式對(duì)應(yīng)于計(jì)量體系的變換都具有齊次性質(zhì)，從而構(gòu)成了因次分析理論的基礎(chǔ)。3.1概述3.2相似的概念

3.3單值性條件

3.4相似正定理和逆定理

3.5方程分析Π定理

3.6相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出

相似理論概述目的

1、打破實(shí)驗(yàn)的局限性；2、解決原型實(shí)驗(yàn)的復(fù)雜性；3、實(shí)現(xiàn)人類在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的更大野心，把一定條件下得出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行類似推廣。

愛因斯坦求和約定為了簡(jiǎn)化對(duì)方程的描述和書寫所提出的一種約定。

設(shè)函數(shù)：i：指標(biāo)或下標(biāo)；（i，j=1，2，3）式中：——表示物理屬性i——代表分量屬性——表示向量

愛因斯坦求和約定：（1）方程式中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上變量的某一項(xiàng)，若指標(biāo)在其中重復(fù)，則該項(xiàng)代表同類項(xiàng)求和，指標(biāo)取一切可能值。概述

例：（a）（i=1，2，3）

該式代表：（b）綜合起來表示為：（i=1，2，3）

（2）方程式中的某項(xiàng)含有指標(biāo)，但指標(biāo)不重復(fù)，則該方程式代表一個(gè)同類方程的集合，每一子方程具有不同的指標(biāo)值，指標(biāo)可取一切可能值。概述

例：相似的概念

相似理論的基礎(chǔ)是量的線性變換。這種線性變換稱為相似變換。

取n個(gè)量，若有n個(gè)線性函數(shù)（3-1）式中系數(shù)是變量的變換乘數(shù)。是變量集號(hào)。表示有N個(gè)變量集它們是變量的相似變換。相似的概念上式也可寫成：（3-2）這也就是說，是用測(cè)量單位為來測(cè)量量所獲得的數(shù)值。(3-2)式是相似變換的第一表示式。相似的概念取n個(gè)性質(zhì)與量相同的參數(shù)，便可寫出相似變換：（3-3）以3-1式除以3-3式，可得（3-4）相似的概念(3-4)式表明，性質(zhì)相同的參量和相似變換后，比值不變。(3-4)式是相似變換的第二表示式。之比在經(jīng)過相似變換(3-1)包括恒等變換，即（3-5）變換(3-1)式具有單值可逆性。即當(dāng)β一定時(shí)，由變量集可決定變量，相反地由變量集可決定變量相似變換(3-1)式用到幾何空間或其它表征現(xiàn)象性質(zhì)的物理量，便可得出幾何相似或物理量相似。相似的概念若有N個(gè)封閉表面幾何相似所圍成的空間區(qū)域。S1是原始表面。若在原始表面S1上取坐標(biāo)為任意點(diǎn)A1，可以有表面集中相應(yīng)的坐標(biāo)為的相應(yīng)點(diǎn)，且坐標(biāo)間的關(guān)系為：（3-6）式中，稱為幾何變換乘數(shù)，則表面集稱為原始表面的線性相似表面集。(3-6)式便是幾何相似的第一表示式。相似的概念若在表面上另取參考點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別為，若這些點(diǎn)的坐標(biāo)之間具有下列關(guān)系：（3-7）

以3-6式除以3-7式，可得（3-8）

(3-8)式也決定了一線性相似表面集。它是幾何相似的第二表示式。相似的概念由封閉的線性相似表面圍成的空間區(qū)域稱為線性相似的空間區(qū)域。在表面上或區(qū)域中坐標(biāo)為的點(diǎn)和表面上或區(qū)域中坐標(biāo)為的點(diǎn)，若坐標(biāo)滿足(3-6)或(3-8)式，這些點(diǎn)便稱為對(duì)應(yīng)點(diǎn)。同理，把表面上或區(qū)域中的兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來的直線段稱為對(duì)應(yīng)直線段。若有或則表面或區(qū)域稱為相似表面或相似區(qū)域。在這種情況下，每一個(gè)表面都是按一定倍數(shù)減小或增加原始表面的相應(yīng)尺寸得到的，而對(duì)應(yīng)直線段長(zhǎng)度之比等于。相似的概念物理量相似設(shè)有表征現(xiàn)象性質(zhì)的量。若有N個(gè)連續(xù)函數(shù)設(shè)每個(gè)函數(shù)在區(qū)域中完全確定。同時(shí)，區(qū)域集是線性相似群。其中，函數(shù)稱為原始函數(shù)。若對(duì)于區(qū)域中的任何一集對(duì)應(yīng)點(diǎn)，下列關(guān)系成立（3-9）式中是函數(shù)的變換乘數(shù)。對(duì)于中的每一，它具有一定的值。這樣，函數(shù)場(chǎng)便稱為相似場(chǎng)。變換乘數(shù)也可以看作是用測(cè)量單位來測(cè)量量得到的數(shù)值。相似的概念同樣，若在區(qū)域中取一參考點(diǎn)，此處的函數(shù)為（3-10）則相似變換(3-9)式可化為第二表示式（3-11）相似的概念時(shí)間相似如果對(duì)應(yīng)于集號(hào)為的現(xiàn)象中，時(shí)間和原始時(shí)間具有下列關(guān)系：（3-12）式中代表時(shí)間的變換乘數(shù)。時(shí)間稱為相似時(shí)間。(3-12)式便是時(shí)間相似變換的第一表示式。同樣，若是參考時(shí)間，則(3-12)式可化為時(shí)間相似變換的第二表示式：（3-13）相似的概念函數(shù)場(chǎng)相似若取N個(gè)連續(xù)函數(shù)，其中每一個(gè)在區(qū)域中都完全確定，并與時(shí)間有關(guān)：（3-14）若在對(duì)應(yīng)時(shí)間，對(duì)于區(qū)域中的任何一集對(duì)應(yīng)點(diǎn)，具有下列關(guān)系：（3-15）則函數(shù)場(chǎng)稱為相似函數(shù)場(chǎng)。式中是函數(shù)的變換乘數(shù)，它也可看作是用測(cè)量單位來測(cè)量量時(shí)所得到的數(shù)值。相似的概念同樣，如果給出參量，則第一表示式(3-15)可用第二表示式的形式來表示：（3-16）若函數(shù)或

(定常的或非定常的)是性質(zhì)相同的同類量，式(3-9)(3-11)或式(3-15)(3-16)將確定同類量的相似，或同類相似。

若函數(shù)或?qū)Σ煌?/p>

值是性質(zhì)不同的異類量，則式(3-9)(3-11)或式(3-15)(3-16)將確定異類量相似，或異類相似。

單值性條件一般情況下，按基本模型確定的微分方程式的解對(duì)許多具有不同條件的同類或相似物理現(xiàn)象都是正確的通解。為了求得某一特定的具體問題的特解，還必須給出稱為“單值性條件”的附加條件。用一組完整的微分方程式和一些單值性條件才能夠描述個(gè)別的、具體的某個(gè)特定的現(xiàn)象。單值性條件能把服從于同一方程組的無數(shù)現(xiàn)象，單一地區(qū)分出某一具體現(xiàn)象。單值性條件包括幾何條件、物理?xiàng)l件、邊界條件和起始條件幾項(xiàng)。單值性條件幾何條件

所有具體現(xiàn)象都發(fā)生在一定的幾何空間內(nèi)。因此，參與過程的物體的幾何形狀和大小是應(yīng)給出的單值性條件。例如，流體在管內(nèi)的流動(dòng)應(yīng)給出管截面及長(zhǎng)度的具體數(shù)據(jù)，繞某一物體的流動(dòng)應(yīng)繪出物體的幾何尺寸等。物理?xiàng)l件所有具體現(xiàn)象都是由具有一定物理性質(zhì)的介質(zhì)參加進(jìn)行的。因此，參與過程的介質(zhì)的物理性質(zhì)也是單值性條件。例如，對(duì)于粘性、不可壓縮流體的等溫運(yùn)動(dòng)，應(yīng)給出介質(zhì)密度、粘性系數(shù)的具體數(shù)值；對(duì)于粘性、可壓縮流體的不等溫運(yùn)動(dòng)，則應(yīng)給出物理參數(shù)隨溫度變化的關(guān)系等。

單值性條件邊界條件

所有具體現(xiàn)象都必然受到與其直接相鄰的邊界情況的影響，因此，發(fā)生在邊界處的情況也是單值性條件。例如，管道進(jìn)口和出口處流速的分布及數(shù)值，壁面處的情況等。如壁面是固壁則不必專門給出，因?yàn)楸诿嫣幍牧黧w皆附著于壁面，故壁面處的流速皆為零。對(duì)于透氣壁，則需給出吸入(或排出)速度。對(duì)于不等溫的流動(dòng)，還應(yīng)結(jié)出壁面處的溫度條件。一般說來，參數(shù)u的邊界條件可寫為：函數(shù)在表面S上是己知的。單值性條件起始條件任何過程的發(fā)展都直接受到起始狀態(tài)的影響，即在起始時(shí)刻，流速、溫度等物理性質(zhì)在整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)的分布將直接影響以后的過程。因此，起始條件也屬于單值性條件。對(duì)于定常過程則不存在此條件。起始條件是用起始時(shí)刻（t=0）區(qū)域V中的情況給出。這種條件可用下式表示：上述單值性條件不能隨意給出。它們必須同某個(gè)微分方程組相聯(lián)系。在現(xiàn)象相似問題中單值性條件的重要性在于，對(duì)于兩類現(xiàn)象，僅有微分方程組相似是不夠的。不滿足單值性條件的相似，這兩類現(xiàn)象可以是不相似的。這表明在模型實(shí)驗(yàn)中，除幾何相似外，還必須滿足所有單值性條件相似，才能保證模型實(shí)驗(yàn)與實(shí)物現(xiàn)象之間的相似。相似正定理和逆定理相對(duì)型方程設(shè)有一變量集，其中前面k個(gè)量是自變量，而其余的個(gè)量是應(yīng)變量（未知量）。假定所考慮的這集量滿足方程組：（3-17）取參數(shù)集，對(duì)每個(gè)數(shù)恒等式引出相應(yīng)的變量都可以用下面的（3-18）將此式的右邊代入(3-17)式。代入后的方程應(yīng)包括兩類因子。相似正定理和逆定理對(duì)將（3-18）代入（3-17）式經(jīng)改寫后的方程除以方程中某一項(xiàng)的由構(gòu)成的指數(shù)函數(shù)，則對(duì)該項(xiàng)來說系數(shù)變?yōu)?，而對(duì)其余的（m-1）項(xiàng)的系數(shù)則得到由指數(shù)函數(shù)用組成的指數(shù)函數(shù)。把這些新的（m-1）個(gè)來表示，則在完成上述變換后，方程組（3-17）就可以寫成下面的形式：（3-19）方程組（3-19）稱為方程組（3-17）的第一相對(duì)型。相似正定理和逆定理再取性質(zhì)與變量相同的常量集，用每一個(gè)常量相應(yīng)地引出變量（3-20）將此式的右邊代入(3-17)式。中某一項(xiàng)的指數(shù)函數(shù)，如果對(duì)這樣改寫后的方程除以方程則對(duì)該項(xiàng)來說系數(shù)變?yōu)?，而對(duì)其余的（m-1）項(xiàng)來說，則得到（m-1）個(gè)新的由組成的指數(shù)函數(shù)。把這些新的（m-1）個(gè)指數(shù)函數(shù)用來表示，則在完成上述變換后，方程組（3-17）就可以寫成下面的形式：（3-21）稱為第二相對(duì)型。顯然，第二相對(duì)型方程（3-21）是無量綱方程。相似正定理和逆定理相似正定理定義了相似的現(xiàn)象應(yīng)該具有什么性質(zhì)。設(shè)有N個(gè)性質(zhì)相同的現(xiàn)象集，其中每一個(gè)現(xiàn)象集都是下列量的函數(shù)其中是自變量，而其余的m=n-k個(gè)量是因變量(未知量)。如果滿足完整方程組（3-22）并且商定，對(duì)應(yīng)于角碼的現(xiàn)象稱為起始現(xiàn)象。相似正定理和逆定理若N個(gè)現(xiàn)象集是相似的，即它們是相似現(xiàn)象時(shí)，第個(gè)現(xiàn)象集的量和起始現(xiàn)象的相應(yīng)量之間具有下列關(guān)系（3-23）方程組(3-22)寫成相對(duì)型第一相對(duì)型：（3-24）第二相對(duì)型：（3-25）相似正定理和逆定理對(duì)于起始現(xiàn)象，方程組（3-24）可寫為（3-26）方程組（3-25）可寫為（3-27）比較（3-26）和（3-24）式，可以得到（3-28）比較（3-27）和（3-25）式可得（3-29）對(duì)于相似的現(xiàn)象，它們都可以用相同的方程組來描述。各對(duì)應(yīng)量之間具有(3-23)式表示的關(guān)系。由此，各相似比例數(shù)并且相似準(zhǔn)則數(shù)對(duì)所有現(xiàn)象各自相等。均應(yīng)等于1，相似正定理和逆定理相似逆定理規(guī)定了滿足什么條件才能相似。取N個(gè)現(xiàn)象，其中每個(gè)現(xiàn)象都是變量并且都取決于方程組(3-30)，即的函數(shù)，（3-30）其中是自變量，而是應(yīng)變量，方程組方程式數(shù)為第一相對(duì)型（3-31）若對(duì)于描寫N個(gè)現(xiàn)象的方程組(3-31)是全同的，即對(duì)于N個(gè)現(xiàn)象的一集參考點(diǎn)相似正定理和逆定理（3-32）能有：（3-33）并且參數(shù)的選取滿足（3-34）相似正定理和逆定理這時(shí)方程組（3-31）全同。此時(shí)對(duì)起始現(xiàn)象有而對(duì)第集現(xiàn)象有因而可以得到故有上述關(guān)系表明，這N個(gè)現(xiàn)象是相似的。相似正定理和逆定理（3-30）式還可寫成第二相對(duì)型，即（3-35）對(duì)于起始現(xiàn)象和第集現(xiàn)象可分別寫成如果對(duì)于N個(gè)現(xiàn)象，方程組（3-35）是全同的，則其條件就是對(duì)于相似正定理和逆定理能有同時(shí)，參量應(yīng)滿足（3-36）式（3-36）則對(duì)于N個(gè)現(xiàn)象，方程組（3-35）全同。要使由形式相同的完整方程組所確定的現(xiàn)象相似，只要在諸現(xiàn)象的某集參考點(diǎn)上，能實(shí)現(xiàn)未知量的這樣一種相似變換，使得作為該方程組的第一相對(duì)型中出現(xiàn)的相似比例數(shù)等于1，或者使得作為上述方程組的第二相對(duì)型中出現(xiàn)的相似準(zhǔn)則數(shù)彼此相等，此外，寫成相對(duì)型的單值性條件也必須完全相同，則這些現(xiàn)象的相似必然實(shí)現(xiàn)。方程分析Π定理方程分析Π定理確定了描述相似現(xiàn)象方程組的解的一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。若有N個(gè)相似的現(xiàn)象，滿足完整方程組(3-37)（3-37）同樣在這些量中，前面k個(gè)量是自變量，而其余的個(gè)量是應(yīng)變量（未知量）方程（3-37）可以寫成相對(duì)型方程（3-38）（3-38）若方程（3-38）的解存在，則這個(gè)解可以寫成方程分析Π定理（3-39）即描寫相似觀象的方程組的解，可以表示為得自該方程組的相似準(zhǔn)則數(shù)和相似量的一般關(guān)系式。方程分析定理規(guī)定了一組微分方程的解的一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這組微分方程是描寫一族相似現(xiàn)象的。量綱分析Π定理規(guī)定了那些屬于所研究現(xiàn)象的和根據(jù)某些理由選出的量之間關(guān)系的一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出對(duì)于相似的現(xiàn)象，它們必然可以用形式上相同的方程組(包括單值性條件)來描述。當(dāng)把此方程組寫成相對(duì)型時(shí)，各相似比例數(shù)應(yīng)為l，而各相似準(zhǔn)則對(duì)相似的現(xiàn)象各自相等?，F(xiàn)在來討論如何得出準(zhǔn)則。對(duì)于所研究的現(xiàn)象，有時(shí)可以用微分方程組來描述，有時(shí)則因現(xiàn)象十分復(fù)雜，只能一般地寫出影響現(xiàn)象的物理參量。對(duì)應(yīng)著這兩種情況，相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出也可以有兩種方法，即方程分析法和量綱分析法。相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方程分析法用方程分析法來導(dǎo)出相似準(zhǔn)則是先把描述相似現(xiàn)象的方程組寫成相對(duì)型，然后得出所有的相似比例數(shù)或相似準(zhǔn)則。例：x方向上水的運(yùn)動(dòng)。x方向上水的運(yùn)動(dòng)可用如下的微分方程式描述（3-40）式中：——流速；——方向上的重力加速度分量；——水的密度；——壓強(qiáng)；——運(yùn)動(dòng)粘度分別取為長(zhǎng)度、流速、時(shí)間及壓強(qiáng)的特征量對(duì)式（3-40）進(jìn)行無量綱化得相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出（3-41）以乘上式兩邊得（3-42）比較式（3-41）和（3-42）可知，前者每項(xiàng)仍然包含一個(gè)加速度的量綱長(zhǎng)度/時(shí)間2，而后者則為無量綱的方程式，其中包含了兩個(gè)一般熟悉的無量綱數(shù)：雷諾數(shù)弗勞德數(shù)相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出當(dāng)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的流體系統(tǒng)寫成無量綱的描述微分方程式(3-42)后，如果它們的雷諾數(shù)及弗勞德數(shù)相等，那么，積分后所得到的表達(dá)式必然也是同樣的形式。如果它們的初始條件與邊界條件經(jīng)同樣的無量綱處理也得到同樣的形式時(shí)，則上述表達(dá)式中的積分常數(shù)也必然相等。因此，兩個(gè)流體運(yùn)動(dòng)體系具有完全相同的解。這樣的兩個(gè)體系就是相似體系，運(yùn)動(dòng)方程式(3-40)對(duì)于任何運(yùn)動(dòng)流體都是一樣的，它并不能表示出體系間的具體關(guān)系，而式(3-42)中雷諾數(shù)與弗勞德數(shù)則能反映具體體系的特征，從而能定出體系間是否相似，因之稱為相似準(zhǔn)數(shù)。相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出量綱分析法在很多情況下，常常不能寫出描述現(xiàn)象規(guī)律的微分方程組。這時(shí)便不能用方程分析法來導(dǎo)得相似準(zhǔn)則。在這種情況下，只要列出影響現(xiàn)象的物理量，便可以用量綱分析法來求得相似準(zhǔn)則。量綱分析法是基于量綱齊次的概念。若有n個(gè)量，如取前面K個(gè)量為基本量，則其余個(gè)量的量綱可以用頭K個(gè)量的量綱來表示（3-43）按照Π理論，上述由n個(gè)量確定的現(xiàn)象可以用下面?zhèn)€無量綱量來表征。相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出（3-44）在水和廢水處理、輸送等過程中，常把質(zhì)量、長(zhǎng)度和時(shí)間作為基本量，并分別用M、L、T來表示其量綱，相應(yīng)于

，則n個(gè)量的量綱可以表示成或者以量綱矩陣來表示（3-44）（3-45）相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出由式（3-43）就有（3-46）式（3-46）可以寫成矩陣形式（3-47）由此可得（3-48）求得后，相應(yīng)的無量綱系數(shù)便由3-44可得相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出（3-49）例：在水和廢水處理中經(jīng)常遇到的問題是水的流動(dòng)問題，一般情況下，水是一種具有粘性的不可壓縮流體。對(duì)于粘性、不可壓縮流體的定常恒溫運(yùn)動(dòng)，影響流動(dòng)的物理量有：流速、特性尺寸、壓力、密度、粘性系數(shù)和重力加速度。由于這是不包含溫度影響的一般力學(xué)問題，故僅需取量綱為M、L、T的三個(gè)基本量。首先寫出它們的量綱矩陣相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出如取為基本量，則便可得到下列無量綱量對(duì)于P：（歐拉數(shù)Euler）對(duì)于μ：相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出對(duì)于g：由此可以得到個(gè)無量綱量。應(yīng)該指出，基本量的選擇是任意的，但必須是量綱獨(dú)立的，即任一基本量的量綱不能從其余基本量的量綱導(dǎo)出。對(duì)基本量不同的選擇得出的是不同的。但是，獨(dú)立的相似準(zhǔn)則的數(shù)目是固定不變的(即仍為個(gè))。不同的無量綱量?jī)H是獨(dú)立的相似準(zhǔn)則之間不同的組合而已。4.1準(zhǔn)則關(guān)系式

4.2滿足相似準(zhǔn)則的條件

4.3相似理論在水和廢水處理中的應(yīng)用

現(xiàn)象相似與模型實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)則關(guān)系式模型實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮x極其廣泛。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中所指的模型是指那些用來實(shí)現(xiàn)現(xiàn)象相似的相似模型。在用這樣的相似模型進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)中，能夠再現(xiàn)原來的現(xiàn)象的本質(zhì)。也就是說，可以用比較簡(jiǎn)便、迅速的方法相似地再現(xiàn)實(shí)物在實(shí)際過程中發(fā)生的現(xiàn)象。總之，對(duì)于原來的現(xiàn)象過大、變化過程太慢、實(shí)物試驗(yàn)的費(fèi)用太昂貴或難于控制的現(xiàn)象，往往廣泛地用相似模型來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以得到實(shí)物現(xiàn)象的相似再現(xiàn)。準(zhǔn)則關(guān)系式通過對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的相似條件進(jìn)行分析，則可知這些條件包括了幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似及動(dòng)力相似三個(gè)內(nèi)容：幾何相似的涵義是很容易理解的、指兩個(gè)體系的幾何形狀相似，這也包括邊界的幾何形狀呈相似關(guān)系。但邊界的幾何相似有時(shí)很難得到滿足。運(yùn)動(dòng)相似必須首先滿足幾何相似的條件。幾何相似只涉及在兩個(gè)相似體系的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上有幾何相似的質(zhì)點(diǎn)(稱為對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn))，由空間坐標(biāo)即能完全描述。運(yùn)動(dòng)相似還要滿足一項(xiàng)對(duì)應(yīng)時(shí)間的要求。對(duì)應(yīng)時(shí)間可以從任何點(diǎn)算起，但以運(yùn)動(dòng)開始的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為零點(diǎn)較為方便。運(yùn)動(dòng)相似定義為：在幾何相似的運(yùn)動(dòng)體系中，其對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)時(shí)間間隔內(nèi)所經(jīng)過的途徑為幾何相似的。上面的相似尚未涉及力的問題。在對(duì)應(yīng)時(shí)間上施加于對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的同類力(如同為重力或同為離心力等)稱為對(duì)應(yīng)力。當(dāng)各對(duì)應(yīng)力的比相等時(shí)，幾何相似的運(yùn)動(dòng)體系成為動(dòng)力相似。在這類質(zhì)點(diǎn)能夠自由運(yùn)動(dòng)的流體系統(tǒng)中，運(yùn)動(dòng)相似一定引起動(dòng)力相似。相似理論中，把運(yùn)動(dòng)相似、動(dòng)力相似以及靜力相似(指幾何相似的固體受力變形的相似)總稱為機(jī)械相似。準(zhǔn)則關(guān)系式化學(xué)工程中的相似問題包括下列各種情況：幾何相似，機(jī)械過程，熱過程，擴(kuò)散過程，化學(xué)過程等的相似。嚴(yán)格說來，上面所列的每一過程的相似都必須首先滿足列在它前面的相似條件。因此，要達(dá)到化學(xué)過程相似，先必須依次滿足幾何相似，機(jī)械、熱以及擴(kuò)散過程相似的條件。當(dāng)兩個(gè)幾何相似及運(yùn)動(dòng)相似系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)溫度差(指一系統(tǒng)兩點(diǎn)間的溫度差與另一系統(tǒng)對(duì)比兩點(diǎn)間的溫度差)的比為定值時(shí)則稱為熱相似。當(dāng)兩個(gè)幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似及熱相似系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)濃度差(即在對(duì)應(yīng)時(shí)間，一個(gè)系統(tǒng)中兩點(diǎn)間的濃度差與另一系統(tǒng)中對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的濃度差)的比為定值時(shí)。則稱為化學(xué)相似。相似理論是進(jìn)行模型試驗(yàn)和整理經(jīng)驗(yàn)公式的依據(jù)。由于化工過程往往很復(fù)雜，要把所有的相似準(zhǔn)數(shù)都考慮在內(nèi)，是不現(xiàn)實(shí)的。而試驗(yàn)物料與實(shí)際生產(chǎn)所用物料必須一樣，試驗(yàn)設(shè)備有時(shí)又相當(dāng)于從原型設(shè)備中取出的一個(gè)單元(如取0.3×0.3m2的濾池做試驗(yàn))，這就排除了幾何相似的可能。諸如此類的情況，雖然不可能達(dá)到嚴(yán)格的相似關(guān)系，但可按對(duì)于整個(gè)過程起主導(dǎo)作用的準(zhǔn)數(shù)對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和應(yīng)用，這就是近似相似的概念。準(zhǔn)則關(guān)系式準(zhǔn)則關(guān)系式從量綱分析和相似理論可以知道，在研究物理現(xiàn)象的過程中，如果欲求的物理量y是由n個(gè)量綱量決定，則其關(guān)系式一般可由下式?jīng)Q定（4-1）若取前k個(gè)量作為基本量，其余個(gè)量為因變量，則這些物理量之間的關(guān)系可以寫成無量綱形式（4-2）欲求的無量綱量或未知系數(shù)和相似準(zhǔn)則之間關(guān)系的形式稱為準(zhǔn)則關(guān)系式。量綱分析并不能得出這個(gè)關(guān)系式的具體形式。通常必須通過理論或?qū)嶒?yàn)來建立這個(gè)關(guān)系式。準(zhǔn)則關(guān)系式對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的大量分析表明，在一定范圍內(nèi)，準(zhǔn)則關(guān)系式往往可以采用相似準(zhǔn)則指數(shù)乘積的形式，即具有如下的形式

（4-3）式中都是常數(shù)。如果主要是研究一個(gè)相似準(zhǔn)則的影響，則準(zhǔn)則關(guān)系式可寫為（4-4）式中也即在實(shí)驗(yàn)過程中保持不變，單獨(dú)改變式（4-4）還可寫成，即可得出此結(jié)果。（4-5）準(zhǔn)則關(guān)系式即和呈線性關(guān)系。更一般地，式（4-3）可寫成（4-6）或（4-7）準(zhǔn)則關(guān)系式(4-7)在對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示的圖上是一條直線。直線的斜率為，它可以方便地通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性回歸得到。如果要研究?jī)蓚€(gè)相似準(zhǔn)則起作用的過程，準(zhǔn)則關(guān)系式可寫為（4-8）先在實(shí)驗(yàn)中使保持不變值，改變，這時(shí)有準(zhǔn)則關(guān)系式求得常數(shù)和后，再在等于固定值條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，這時(shí)(4-8)式為按同樣方法求得及后，使可求得(4-8)式中的常數(shù)C或若對(duì)(4-8)式取對(duì)數(shù)，可得到二元線性關(guān)系式（4-9）便可采用二元線性回歸分析法來求得(4-9)式中的常數(shù)及系數(shù)準(zhǔn)則關(guān)系式對(duì)于有多個(gè)相似準(zhǔn)則起作用的情況，若準(zhǔn)則關(guān)系式（4-3）式成立，則在取對(duì)數(shù)后可得（4-10）常數(shù)C和便可用多元線性回歸法來求得。在—般情況下，式(4-3)并不能真正代表實(shí)際存在的準(zhǔn)則關(guān)系式。這時(shí)，情況就要更加復(fù)雜，通常應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況來進(jìn)行分析。實(shí)際上，(4-4)式表示的準(zhǔn)則關(guān)系式只適用于自變量和因變量之間是單調(diào)變化的情況。如果它們之間不是單調(diào)變化的情況，指數(shù)關(guān)系式便不能成立。有時(shí)它們之間的關(guān)系可以用多項(xiàng)式來表示。滿足相似準(zhǔn)則的條件由相似定理可知，當(dāng)描述現(xiàn)象的微分方程組形式相同，單值條件相同時(shí)，只要相似比例數(shù)(或相似準(zhǔn)則各自相等)，現(xiàn)象一定相似。由此可知，當(dāng)描述現(xiàn)象的微分方程組相同時(shí)，要使現(xiàn)象相似，首先必須具有相同的單值條件，即邊界條件和起始條件應(yīng)相同。對(duì)于定常的現(xiàn)象，主要應(yīng)具有相同的邊界條件。如果現(xiàn)象僅局限在一定的空間，則應(yīng)保證在所限定的區(qū)域邊界上具有相同的狀況。如果現(xiàn)象擴(kuò)展到無限空間，則與此相似的現(xiàn)象原則上也應(yīng)擴(kuò)展到無限空間。但是，在工程上只要所取的空間足夠大，因此而引起的影響很小，可以作為誤差來處理時(shí)，可以允許取一定的有限空間。為了保證現(xiàn)象相似，還必須使相似比例數(shù)恒等于1，即（4-11）或者所有相似準(zhǔn)則均應(yīng)各自相等，（4-12）滿足相似準(zhǔn)則的條件式（4-11）表明，要保證現(xiàn)象相似，(3-1)式中的變換乘數(shù)不能隨意選取。它們必須滿足(4-11)式?；蛘哒f實(shí)驗(yàn)中各參數(shù)的數(shù)值不能隨便選取，它們必須滿足(4-12)式。下面將會(huì)看到，條件(4-11)或(4-12)并不是在任何情況下都能滿足的。這時(shí)，在原則上現(xiàn)象將不能完全相似。對(duì)于簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)條件常?？梢詽M足。例如，對(duì)于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（4-13）為了保證現(xiàn)象相似，必須有（4-14）或（4-15）這一般是很易滿足的。滿足相似準(zhǔn)則的條件對(duì)于不考慮熱變換的粘性流體的定常運(yùn)動(dòng)，為了保證現(xiàn)象相似，由納維——斯托克斯方程，應(yīng)使（4-16）（4-17）（4-18）由（4-16）式，因，故有（4-19）而由（4-17）式，有滿足相似準(zhǔn)則的條件（4-20）由(4-18)式，當(dāng)相似現(xiàn)象的溫度場(chǎng)相同時(shí)，即，便有（4-21）顯然，這三者是不能同時(shí)滿足的，除非采用實(shí)物來進(jìn)行試驗(yàn)，即如果數(shù)可以忽略，即相應(yīng)于不可壓縮流體情況，則由(4-19)，(4-20)式可得（4-22）即對(duì)于縮比為的模型，模型實(shí)驗(yàn)中介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)應(yīng)為實(shí)物介質(zhì)的倍。滿足相似準(zhǔn)則的條件如果數(shù)可以忽略，即對(duì)于氣體流動(dòng)，由(4-20)，(4-21)式，有（4-23）即在模型實(shí)驗(yàn)中介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)應(yīng)和模型的幾何尺度按相同比例變化。如果數(shù)可以忽略，即對(duì)于理想流體，有（4-24）即只能用實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。從上面的例子可以看到，當(dāng)只有一個(gè)相似準(zhǔn)則時(shí)，模型實(shí)驗(yàn)的介質(zhì)可任意選擇，也可以采用與實(shí)物同一介質(zhì)。如對(duì)數(shù)而言，當(dāng)時(shí)，即可滿足數(shù)相同的要求，當(dāng)有兩個(gè)相似準(zhǔn)則必須同時(shí)滿足時(shí)，模型實(shí)驗(yàn)中介質(zhì)的選擇就要受到模型幾何縮比的限制。如為了滿足和數(shù)相等，必須有。當(dāng)有三個(gè)或更多個(gè)相似準(zhǔn)則必須同時(shí)滿足時(shí)，一般情況下是難以達(dá)到的，除非采用實(shí)物來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。相似理論在水和廢水處理中的應(yīng)用在水和廢水處理過程中通常涉及到水的流動(dòng)、反應(yīng)器（或構(gòu)筑物）內(nèi)混合液的混合、底物在水流主體與液膜之間的傳質(zhì)、氣態(tài)物質(zhì)與水流主體間的傳質(zhì)、顆粒物在水流中的下沉與上浮等等，這些現(xiàn)象均可采用相似理論設(shè)計(jì)模型實(shí)驗(yàn)進(jìn)行研究，更多地在進(jìn)行一種處理工藝對(duì)廢水處理效果研究時(shí)往往涉