第一講數學建模

第一講什么是數學建模玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機……~物理模型地圖、電路圖、分子結構圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1

從現實對象到數學模型我們常見的模型你碰到過的數學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數學模型的基本步驟

作出簡化假設（船速、水速為常數）；

用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）；

求解得到數學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）。數學模型(MathematicalModel)和數學建模（MathematicalModeling)對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數學模型數學建模1.2

數學建模的重要意義

電子計算機的出現及飛速發(fā)展；

數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術領域數學建模仍然大有用武之地；

在高新技術領域數學建模幾乎是必不可少的工具；

數學進入一些新領域，為數學建模開辟了許多處女地。數學建模的具體應用

分析與設計

預報與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數學建模計算機技術知識經濟如虎添翼女孩子都愛美，你知道你穿鞋跟多高的鞋子看起來最美嗎？1.3.1

高跟鞋問題1.3

數學建模示例穿高跟鞋是為了身高在視覺上得到增加，但是身高越高看起來越美嗎？理解問題合理化假設由黃金分割原理，我們不妨假定，當人的下肢和身高的比為0.618時，看起來最美。設某人身高為h厘米，下肢長l厘米，高跟鞋的鞋跟為x厘米。轉化為數學問題穿上高跟鞋后，身高為h+x厘米，下肢長l+x厘米。得到一個關于x的一次方程：問題的求解解該一次方程，得：問題的檢驗以身高168CM，下肢長為102CM的人為例，其所穿鞋的鞋跟高度與好看程度的關系可由下表說明：原比(l/h)身高(cm)鞋跟高度(cm)新比值０.６０７１０.６０７１０.６０７１０.６０７１１６８１６８１６８１６８２.５３.５５４.５４.７７４８０.６１２９０.６１５１０.６１７３０.６１８問題的檢驗又如，按照上述模型，身高153CM，下肢長為92CM的女士，應穿鞋跟高為6.6CM的高跟鞋顯得比較美。評價和應用由此看來，女孩們愛穿高跟鞋是有科學依據的，也使人聯想到為什么人們觀看芭蕾舞的時候有一種美的感受，可當你看踩高翹表演時就沒有這種感覺。這下女生知道應該如何選擇合適的高跟鞋了吧！1.3.2

烏鴉能喝到水嗎？小學課文：一只烏鴉口渴了，到處找水喝。烏鴉看見一個瓶子，瓶子里有水?？墒瞧孔永锼欢啵靠谟中?，烏鴉喝不著水，怎么辦呢？烏鴉看見旁邊有許多小石子，想出辦法來了。烏鴉把小石子一個一個地放進瓶子里。瓶子里的水漸漸升高，烏鴉就喝著水了。可是，烏鴉真的能喝到水嗎？理解問題不難想象，當烏鴉把各種各樣的小石子扔到瓶子里時，石子之間是不可能沒有空隙的。如果石子之間的空隙較大，而瓶子里的水又較少，那么烏鴉即使將瓶子填滿也無法喝到水。那么瓶子里到底應當有多少水，烏鴉才能喝到水呢？顯然水的體積大于空隙的體積，烏鴉才能喝到水。因此我們可以從幾何體積計算的角度，重新認識烏鴉喝水問題。合理化假設

顯然該問題與瓶子和石子的形狀及其排列方式有關，為簡單起見我們假設：瓶子是正方體的且不考慮瓶口的體積。烏鴉投進的石子是大小相同的球體。瓶子中擺放的方法如圖1所示圖1瓶子的邊長是石子直徑的整數倍，不妨設為n倍（顯然，如果不是整數倍的話，那石子間的空隙會更大，不利于烏鴉喝到水）石頭內部滲進的水忽略不計。轉化為數學問題一個邊長為n*a的正方體中放入n3個邊長為a的球，求其空隙部分的體積占總體積的比例。問題的求解下面我們首先證明球體的大小與球體占據正方體空間的總和無關，為此我們設瓶中僅放入一個最大的球體（假如能放入的話）如圖2所示。

圖2由于圖1中有n3個小正方體，而每個小正方體與圖2的情況相同，每個小球都內切于一個小正方體。

設大立方體的體積為V，其內切球體積為V球，小立方體的體積為Vi，小球的體積為Vi球，顯然：

由等比定理得：

由此可知球的大小與所占空間總和無關，于是容易計算出球體所占空間體積與瓶子體積比為：即空隙部分的體積與瓶子體積比約為48%。這表明，按上述條件，當瓶中的水不足瓶子容積的48%時，烏鴉將難以喝到水。評價和應用假如烏鴉聰明得很，能使石子彼此之間挨得更緊密些，那么空隙部分也得占瓶子1/3左右（只是計算麻煩些，讀者可舉一實例驗證之）上述計算僅對特殊情況的一種粗略計算，但這也實在難為烏鴉了，不過這不能不使我們考慮這樣一個事實，在日常生活中，應當怎樣地充分利用空間，減少浪費，獲得更高的效益，這正是數學所需要解決的問題。

數學建模的基本方法機理分析測試分析根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數據的統計分析，找出與數據擬合最好的模型機理分析沒有統一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析。二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數1.4

數學建模的方法和步驟

數學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數學工具

數學建模的一般步驟模型求解各種數學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統計分析、模型對數據的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用

數學建模的一般步驟數學建模的全過程現實對象的信息數學模型現實對象的解答數學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數學問題選擇適當的數學方法求得數學模型的解答將數學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現實對象的信息檢驗得到的解答實踐現實世界數學世界理論實踐1.5

數學模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的強健性模型的可轉移性模型的非預制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數學模型的特點數學模型的分類應用領域人口、交通、經濟、生態(tài)……數學方法初等數學、微分方程、規(guī)劃、統計……表現特性描述、優(yōu)化、預報、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)數學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術技術大致有章可循藝術無法歸納成普遍適用的準則想像力洞察力判斷力

學習、分析、評價、改進別人作過的模型

親自動手，認真作幾個實際題目1.6怎樣學習數學建模

1985年美國出現了一種叫MCM(MathematicalContestinModeling)的一年一度的大學生數學建模競賽?？碱}由工業(yè)或政府部門工作的數學家提出，從中選擇沒有固定范圍的實際問題。比賽時間3天，要求在3天的持續(xù)時間內參賽隊要以有清楚定義的格式寫出解法論文。參賽隊可以使用包括計算機、軟件包、書、雜志等一切外部資源。我國大學生1989年開始參加美國大學生數學建模競賽；我校2011年開始參加美國大學生數學建模競賽。1.7

大學生數學建模競賽競賽每年九月舉行，在指定網站公布競賽題，參賽選手屆時通過網絡下載并完成題目。三人一組報名參加，72小時合作完成一個題目。共四題，本科A、B中選1題，?？艭,D中選1題。解答過程寫成論文提交。一般要用計算機軟件編寫程序計算出結果。可以查閱圖書及網絡等資料，但要保證自己的獨創(chuàng)性，不能與他人雷同。

我國高校于1990年在上海舉辦上海市大學生數學模型競賽；西安1992年4月舉辦西安市第一屆大學生數學建模競賽；1992年11月舉行全國大學生數學建模競賽；以后每年舉辦一次。我校從1994年開始參加全國大學生數學建模競賽。

這三人中必須一人數學基礎較好；一個應用數學軟件（如Matlab,londo,maple等）和編程（如C，Matlab等）的能力較強；一個科技論文寫作的水平較好；科技論文的寫作要求整篇論文的結構嚴謹，語言要有邏輯性，用詞要準確；三人之間要能夠配合默契。三人之間配合不好，會降低效率，導致整個建模的失敗。根據數學建模競賽章程，三人組成一隊1.摘要2.問題的敘述，問題的分析，背景的分析等，

3.模型的假設，符號說明（表）4.模型的建立（問題分析，公式推導，基本模型，最終或簡化模型

等）

5.模型的求解6.模型檢驗:結果表示、分析與檢驗，誤差分析，……7.模型評價:特點，優(yōu)缺點，改進方法，推廣…….8.參考文獻9.附錄：計算框圖、詳細圖表……1.8撰寫數學建模論文1、某甲早8時從山下旅店出發(fā)沿一路徑上山，下午5時到達山頂并留宿。次日早8時沿同一路徑下山，下午5時回到旅店。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點，為什么？看誰答得快2、某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6時抵