初中數(shù)學人教版九年級上冊第二十一章一元二次方程2解一元二次方程 全國公開課

21.2.1一元二次方程的解法------ 配方法第1課時 直接開平方法（一）學習目標1.了解形如的一元二次方程的解法——直接開平方法，能夠熟練而準確的運用開平方法求一元二次方程的解2．通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程，知識遷移到解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程，體會由未知向已知轉(zhuǎn)化的思想方法．（二）學習重點運用開平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程．（三）學習難點通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程，知識遷移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，理解一元二次方程“降次”──轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，并能應用它解決一些具體問題．課前預習1.方程x2﹣9=0的解是（）A．x=3B．x=9C．x=±3D．x=±92.如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一個根，那么該方程的另一個根是（）A．3B．﹣3C．0D．13.方程（1﹣x）2=2的根是（）A．﹣1，3B．1，﹣3C．，D．，4.方程5y2﹣3=y2+3的實數(shù)根的個數(shù)是（）A．0個B．1個C．2個D．3個5.方程x2=2的解是．（五）疑惑摘要：預習之后，你還有哪些沒有弄清的問題，請記下來，課堂上我們共同探討．1、典型例題例1．解方程：（1）2x2﹣8=0；（2）（2x﹣3）2=25．例2．若關于x的一元二次方程x2﹣k=0有實數(shù)根，則（）A．k＜0B．k＞0C．k≥0D．k≤0例3．長沙市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m課后作業(yè)一、選擇題1.下列方程能用直接開平方法求解的是()+2=0 +1=0 C.(x-2)2=4 +4=22.一元二次方程(x+6)2=16可化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是x+6=4，則另一個一元一次方程是()=4 =-4 +6=4 +6=-4，x2是一元二次方程3(x-1)2=15的兩個解，且x1＜x2，下列說法正確的是()小于-1，x2大于3 小于-2，x2大于3，x2在-1和3之間 ，x2都小于34.關于x的一元二次方程2x2-3x-a2+1=0的一個根為2，則a的值為() B. D.±5.對形如(x+m)2=n的方程，下列說法正確的是()A.用直接開平方得x=-m± B.用直接開平方得x=-n±C.當n≥0時，直接開平方得x=-m±D.當n≥0時，直接開平方得x=-n±二、填空題6.若代數(shù)式(2x-1)2的值是25，則x的值為_______7.完成下面的解題過程：(1)解方程：2x2-8=0；解：原方程化成_______，開平方，得_______，則x1=_______，x2=_______.(2)解方程：3(x-1)2-6=0.解：原方程化成_______，開平方，得_______，則x1=______，x2=_______.8.若a為方程(x-)2=100的一根，b為方程(y-4)2=17的一根，且a，b都是正數(shù)，則a-b=.9.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個根分別是m+1與2m-4，則=_______.三、解答題10.用直接開平方法解下列方程：(1)x2-25=0；(2)4x2=1；(3)3(x+1)2=；(4)(3x+2)2=25.11.已知方程(x-1)2=k2+2的一個根是x=3，求k的值和另一個根.12．某工程隊再我市實施棚戶區(qū)改造過程中承包了一項拆遷工程。原計劃每天拆遷1250m2，因為準備工作不足，第一天少拆遷了20％.從第二天開始，該工程隊加快了拆遷速度，第三天拆遷了求：(1)該工程隊第一天拆遷的面積；(2)若該工程隊第二天、第三天每天的拆遷面積比前一天增加的百分數(shù)相同，求這個百分數(shù).四、拓展提高如圖所示，在長和寬分別是m、n的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為x的正方形.(1)用m，n，x表示紙片剩余部分的面積；(2)當m=12，n=4，且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時，求正方形的邊長.21.2.1一元二次方程的解法------配方法第2課時 配方法（一）學習目標1．探索利用配方法解一元二次方程的一般步驟；能夠利用配方法解一元二次方程．2．在探索配方法時，使學生感受前后知識的聯(lián)系，體會配方的過程以及方法．（二）學習重點1．用配方法解一元二次方程．2．正確理解把形的代數(shù)式配成完全平方式，不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧．（三）學習難點化歸思想的應用（四）課前預習1.將二次三項式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-32.若方程x2-mx+4=0的左邊是一個完全平方式，則m等于()A.±2 B.±4 3.若x2+6x+m2是一個完全平方式，則m的值是() B.-3 C.±3 D.以上都不對4.用適當?shù)臄?shù)填空：(1)x2-4x+______=(x-______)2；(2)m2±______m+=(m±______)2.5.若將方程x2+6x=7化為(x+m)2=16，則m=______.6.用配方法解下列方程：(1)x2-4x-2=0; (2)2x2-3x-6=0； (3)x2+x-2=0.（五）疑惑摘要：預習之后，你還有哪些沒有弄清的問題，請記下來，課堂上我們共同探討。典型例題例1、用配方法解方程：（1）x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.例2、用配方法證明：二次三項式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．例3、已知代數(shù)式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．課后作業(yè)一、選擇題1.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后為（）A．（x﹣4）2=17B．（x+4）2=15C．（x+4）2=17D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=172.用配方法解方程x2-x+1=0，正確的是()A.(x-)2=1,x1=,x2=- B.（x-）2=，x=C.(x-)2=，原方程無實數(shù)解 D.(x-)2=，原方程無實數(shù)解3.若，那么p、q的值分別是（）=4，q=2=4，q=-2C.p=-4，q=2=-4，q=-24.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左邊是一個完全平方式，則m等于() 或6 或-6 或-6填空題5．用配方法解一元二次方程x2+6x-11=0，則方程可變形為．6.一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后為（x﹣3）2=1，則a=．7．當x=時，代數(shù)式3x2﹣6x的值等于12．8.已知一元二次方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成．三、解答題9.用配方法解下列方程:(1)2x2+7x-4=0； (2)x2-2x-6=x-11；(3)x(x+4)=6x+12； (4)3(x-1)(x+2)=x-7.10.啦啦同學用配方法推導一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式時，對于b2-4ac>0的情況，她是這樣做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0變形為：x2+x=-ca,第一步x2+x+()2=-+()2，第二步(x+)2=，第三步x+=(b2-4ac>0)，第四步x=.第五步(1)啦啦的解法從第四步開始出現(xiàn)錯誤；事實上，當b2-4ac>0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是x=______(2)用配方法解方程：x2-2x-24=0.11.若要用一根長20厘米的鐵絲，折成一個面積為16平方厘米的矩形方框，則應該怎樣折呢？12．閱讀下面的材料并解答后面的問題：小李：能求出x2+4x﹣3的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？小華：能．求解過程如下：因為x2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=（x2+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）2﹣7而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．問題：（1）小華的求解過程正確嗎？（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，寫出你的求解過程．拓展提高通過對上述12題的練習，試回答：①當x=時，代數(shù)式﹣2（x﹣1）2+3有最（填寫大或?。┲禐椋诋攛=時，代數(shù)式﹣x2+4x+3有最（填寫大或?。┲禐椋劬匦位▓@的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長度是16m，當花園與墻相鄰的邊長為多少時，花園的面積最大？最大面積是多少？2.試說明：不論x，y取何值，代數(shù)式x2+4y2﹣2x+4y+5的值總是正數(shù)．你能求出當x，y取何值時，這個代數(shù)式的值最小嗎？21.2.2一元二次方程的解法------公式法第1課時 公式法（一）學習目標1、掌握一元二次方程求根公式的推導，會運用公式法解一元二次方程．2、通過求根公式的推導，培養(yǎng)學生數(shù)學推理的嚴密性及嚴謹性.通過公式的引入，培養(yǎng)學生尋求簡便方法的探索精神及創(chuàng)新意識；通過求根公式的推導，滲透分類的思想．（二）學習重點1、求根公式的推導及用公式法解一元二次方程．2、對求根公式推導過程中依據(jù)的理論的深刻理解,掌握一元二次方程的求根公式，（三）學習難點求根公式的推導及應用求根公式法解簡單的一元二次方程．（四）課前預習1.一元二次方程的根的情況為（）A．有兩個相等的實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根D．沒有實數(shù)根2.若關于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．3.下列關于x的一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（）A．B．C．D．4.若關于的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_____________.5.用公式法解下列方程（1）；（2）.（五）疑惑摘要：預習之后，你還有哪些沒有弄清的問題，請記下來，課堂上我們共同探討.典型例題例1、已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，則該方程根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C.兩個根都是自然數(shù)D．無實數(shù)根例2、若關于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有兩個相等實數(shù)根，則c的值是（）A．﹣1B．1C．﹣4D．4例3、用公式法解下列一元二次方程：（1）x2+2x﹣2=0（2）y2﹣3y+1=0（3）x2+3=2x課后作業(yè)選擇題1．下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）A．4x2﹣5x+2=0B．x2﹣6x+9=0C．5x2﹣4x﹣1=0D．3x2﹣4x+1=02．若關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（）A．﹣1B．0C．1D．2等腰直角三角形邊長分別為a，b，2，且a，b是關于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的兩根，則n的值為（）A．9B．10C．9或10D．8或104．有兩個一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a?c≠0，a≠c．下列四個結(jié)論中，錯誤的是（）A．如果方程M有兩個相等的實數(shù)根，那么方程N也有兩個相等的實數(shù)根B．如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同C．如果5是方程M的一個根，那么是方程N的一個根D．如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=15.如果關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么的取值范圍是（）A．B．且C．D．且二、填空題6．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，x1=，x2=．7.定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程.已知是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則系數(shù)a,b,c之間滿足何種等量關系:．8．已知關于x的一元二次方程kx2－（2k+1）x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值范圍是．三、解答題9.用公式法解方程：(1)2x2﹣4x=5．(2)2x2﹣2x﹣5=0．(3)x（x）=4．10．已知關于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根．11．試證明：關于x的方程（a2－8a+20）x2+2ax+1=0，不論a取何值，該方程都是一元二次方程．四、拓展提高12．已知關于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若x1、x2是原方程的兩根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．13.解關于x的方程2x2+（3m－n）x－2m2+3mn－n221.2.3一元二次方程的解法------因式分解法（一）學習目標1．應用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法．體會“降次”化歸的思想.解決問題使學生知道分解因式法是一元二次方程解法中應用較為廣泛的簡便方法，它避免了復雜的計算，提高了解題速度和準確程度．（二）學習重點1、應用分解因式法解一元二次方程．2、靈活應用各種分解因式的方法解一元二次方程，讓學生通過比較解一元二次方程的多種方法，感悟用因式分解法使解題簡便．（三）學習難點十字相乘法解一元二次方程．課前預習1．方程（2x+1）（x-5）=0的解是_________2．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是___________3．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（）A．-1，2B．1，-2C．0，-1，2D．0，1，24．若關于x的一元二次方程的根分別為-5，7，則該方程可以為（）A．（x+5）（x-7）=0B．（x-5）（x+7）=0C．（x+5）（x+7）=0D．（x-5）（x-7）=05．已知方程4x2-3x=0，下列說法正確的是（）A．只有一個根x=B．只有一個根x=0C．有兩個根x1=0，x2=D．有兩個根x1=0，x2=-6．解方程2（5x-1）2=3（5x-1）的最適當?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開平方法B．配方法C．公式法D．分解因式法（五）疑惑摘要：預習之后，你還有哪些沒有弄清的問題，請記下來，課堂上我們共同探討．典型例題例1、用因式分解法解方程：（1）2(2x－1)2=(1－2x)（2）4(y＋2)2=(y－3)2.例2、解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0時，我們可以將x﹣1看成一個整體，設x﹣1=y，則原方程可化為y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．當y=1時，即x﹣1=1，解得x=2；當y=4時，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解為x1=2，x2=5．利用這種方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．例3、選擇適當方法解下列方程：（1）x2﹣5x+1=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣2x﹣5=0；（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．課后作業(yè)一、選擇題1.方程5x(x+3)=3(x+3)的解為（）A.B.C.D.2.方程x2﹣2x=3可以化簡為（）A．（x﹣3）（x+1）=0B．（x+3）（x﹣1）=0C．（x﹣1）2=2D．（x﹣1）2+4=03.下列方程中，不適合用因式分解法的是()A.B.C.D.4．實數(shù)a、b滿足（a+b）2+a+b-2=0，則（a+b）2的值為（）A．4B．1C．-2或1D．4或15.已知方程的一個根為-1，那么方程的根為()A.B.C.D.以上答案都不對二、填空題6.如果，則的值為__________________.7.以1和—3為兩根的一元二次方程是______________.8．解一元二次方程x2+2x﹣3=0時，可轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程，請寫出其中的一個一元一次方程．9．已知y=x2+x-6，當x=________時，y的值為0；當x=________時，y的值等于24．10．已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，則x2+y2的值為．三、解答題11．解下列方程：（1）x2﹣2x+1=0（2）x2﹣2x﹣2=0（3）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．12．選擇合適的方法解下列方程.（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）3x2﹣4x﹣1=0；（3）x（x﹣1）=3﹣3x；（4）x2﹣2x+1=0．13．為了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我們可以將x2﹣1看作一個整體，然后設x2﹣1=y，則（x2﹣1）2=y2，那么原方程可化為y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．當y=1時，x2﹣1=1，x2=2，x=±．當y=4時，x2﹣1=4，x2=5，x±．故原方程的解為x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．請借鑒上面的方法解方程（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0．四、綜合拓展1.已知（x2+y2﹣3）（x2+y2+1）=12，求x2+y2的值．2.已知一元二次方程（ab－2b）x2+2（b－a）x+2a－ab=0有兩個相等的實數(shù)根，求的值．21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關系（一）學習目標1、掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關系并會初步應用．2、培養(yǎng)學生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力．滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規(guī)律；（二）學習重點1、根與系數(shù)的關系及其推導．2、正確理解根與系數(shù)的關系，靈活運用根與系數(shù)的關系。（三）學習難點公式的各種變形（四）課前預習1．（2015?溧水縣一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，則x1+x2的值為（）A．B．﹣C．﹣D．2．（2015?金華）一元二次方程x2+4x﹣3=0的兩根為x1、x2，則x1?x2的值是（）A．4B．﹣4C．3D．﹣33．（2014?浠水縣校級模擬）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的兩根，則（）A．x1+x2=﹣3，x1?x2=﹣1B．x1+x2=﹣3，x1?x2=1C．x1+x2=3，x1?x2=﹣1D．x1+x2=3，x1?x2=14．（2015?衡陽）若關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣1，則另一個根為（）A．﹣2B．2C．4D．﹣35．（2015?廣西）已知實數(shù)x1，x2滿足x1+x2=7，x1x2=12，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=06．（2015春?遂寧校級期中）已知關于x的方程x2﹣4x+2=0的兩個根是m和n，則mn=，m+n=．（五）疑惑摘要：預習之后，你還有哪些沒有弄清的問題，請記下來，課堂上我們共同探討。典型例題例1、已知關于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0（1）當m取何值時，方程有兩個實數(shù)根？（2）設x1、x2是方程的兩根，且（x1﹣x2）2﹣x1x2=26，求m的值．例2、已知：關于x的方程x2+2x﹣k=0有