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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設為坐標原點,是以為焦點的拋物線上任意一點,是線段上的點,且,則直線的斜率的最大值為()A.1 B. C. D.2.設等差數(shù)列的前n項和為,且,,則()A.9 B.12 C. D.3.我國古代數(shù)學名著《九章算術》有一問題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺.問積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺4.已知F是雙曲線(k為常數(shù))的一個焦點,則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為()A.2k B.4k C.4 D.25.有一改形塔幾何體由若千個正方體構成,構成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是()A.8 B.7 C.6 D.46.已知向量,,當時,()A. B. C. D.7.若等差數(shù)列的前項和為,且,,則的值為().A.21 B.63 C.13 D.848.已知函數(shù)滿足當時,,且當時,;當時,且).若函數(shù)的圖象上關于原點對稱的點恰好有3對,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知集合,,則=()A. B. C. D.10.已知命題p:直線a∥b,且b?平面α,則a∥α;命題q:直線l⊥平面α,任意直線m?α,則l⊥m.下列命題為真命題的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)11.已知實數(shù)x,y滿足,則的最小值等于()A. B. C. D.12.下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”,例如.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于()A.16 B.17 C.18 D.19二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若變量,滿足約束條件則的最大值是______.14.已知雙曲線的左右焦點分別為,過的直線與雙曲線左支交于兩點,,的內切圓的圓心的縱坐標為,則雙曲線的離心率為________.15.已知是拋物線的焦點,是上一點,的延長線交軸于點.若為的中點,則_________.16.等邊的邊長為2,則在方向上的投影為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;(Ⅱ)設點,直線與曲線相交于,,求的值.18.(12分)已知函數(shù),記不等式的解集為.(1)求;(2)設,證明:.19.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)設點,直線與曲線交于,兩點,求的值.20.(12分)已知頂點是坐標原點的拋物線的焦點在軸正半軸上,圓心在直線上的圓與軸相切,且關于點對稱.(1)求和的標準方程;(2)過點的直線與交于,與交于,求證:.21.(12分)己知等差數(shù)列的公差,,且,,成等比數(shù)列.(1)求使不等式成立的最大自然數(shù)n;(2)記數(shù)列的前n項和為,求證:.22.(10分)如圖,已知橢圓的右焦點為,,為橢圓上的兩個動點,周長的最大值為8.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)直線經(jīng)過,交橢圓于點,,直線與直線的傾斜角互補,且交橢圓于點,,,求證:直線與直線的交點在定直線上.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
設,因為,得到,利用直線的斜率公式,得到,結合基本不等式,即可求解.【詳解】由題意,拋物線的焦點坐標為,設,因為,即線段的中點,所以,所以直線的斜率,當且僅當,即時等號成立,所以直線的斜率的最大值為1.故選:A.【點睛】本題主要考查了拋物線的方程及其應用,直線的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的應用,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.2、A【解析】
由,可得以及,而,代入即可得到答案.【詳解】設公差為d,則解得,所以.故選:A.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算,考查學生運算求解能力,是一道基礎題.3、A【解析】
根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐,將三棱錐補充成一個長方體,此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計算可得選項.【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球,所以為的中點,設球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.4、D【解析】
分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據(jù)雙曲線的性質求解即可.【詳解】當時,等式不是雙曲線的方程;當時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選:D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎題.5、A【解析】
則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,以此類推,能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形中正方體的個數(shù)的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長為8,則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,從下往上第五層正方體的棱長為:,從下往上第六層正方體的棱長為:,從下往上第七層正方體的棱長為:,從下往上第八層正方體的棱長為:,∴改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是8.故選:A.【點睛】本小題主要考查正方體有關計算,屬于基礎題.6、A【解析】
根據(jù)向量的坐標運算,求出,,即可求解.【詳解】,.故選:A.【點睛】本題考查向量的坐標運算、誘導公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關系,屬于中檔題.7、B【解析】
由已知結合等差數(shù)列的通項公式及求和公式可求,,然后結合等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】解:因為,,所以,解可得,,,則.故選:B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應用,屬于基礎題.8、C【解析】
先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關于原點對稱的圖象,分類利用圖像列出有3個交點時滿足的條件,解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關于原點對稱的圖象,如圖所示,當時,對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個交點;當時,要使函數(shù)關于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點,則,解得.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題,考查學生數(shù)形結合的思想、轉化與化歸的思想,是一道中檔題.9、C【解析】
計算,,再計算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點睛】本題考查了交集運算,意在考查學生的計算能力.10、C【解析】
首先判斷出為假命題、為真命題,然后結合含有簡單邏輯聯(lián)結詞命題的真假性,判斷出正確選項.【詳解】根據(jù)線面平行的判定,我們易得命題若直線,直線平面,則直線平面或直線在平面內,命題為假命題;根據(jù)線面垂直的定義,我們易得命題若直線平面,則若直線與平面內的任意直線都垂直,命題為真命題.故:A命題“”為假命題;B命題“”為假命題;C命題“”為真命題;D命題“”為假命題.故選:C.【點睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關命題真假性的判斷,考查含有簡單邏輯聯(lián)結詞的命題的真假性判斷,屬于基礎題.11、D【解析】
設,,去絕對值,根據(jù)余弦函數(shù)的性質即可求出.【詳解】因為實數(shù),滿足,設,,,恒成立,,故則的最小值等于.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質,考查了運算能力和轉化能力,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12、B【解析】
由已知中的程序框圖可知,該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值,模擬程序的運行過程,代入四個選項進行驗證即可.【詳解】解:由程序框圖可知,輸出的數(shù)應為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出,則不符合題意,排除;若輸出,則,符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了程序框圖.當循環(huán)的次數(shù)不多,或有規(guī)律時,常采用循環(huán)模擬或代入選項驗證的方法進行解答.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、9【解析】
做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形,即可求出的最大值.【詳解】做出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分所示,目標函數(shù)過點時取得最大值,聯(lián)立,解得,即,所以最大值為9.故答案為:9.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結合求線性目標函數(shù)的最值,屬于基礎題.14、2【解析】
由題意畫出圖形,設內切圓的圓心為,圓分別切于,可得四邊形為正方形,再由圓的切線的性質結臺雙曲線的定義,求得的內切圓的圓心的縱坐標,結合已知列式,即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設內切圓的圓心為,圓分別切于,連接,則,故四邊形為正方形,邊長為圓的半徑,由,,得,與重合,,,即——①,——②聯(lián)立①②解得:,又因圓心的縱坐標為,.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質,考查數(shù)形結合思想與運算求解能力,屬于中檔題.15、【解析】
由題意可得,又由于為的中點,且點在軸上,所以可得點的橫坐標,代入拋物線方程中可求點的縱坐標,從而可求出點的坐標,再利用兩點間的距離公式可求得結果.【詳解】解:因為是拋物線的焦點,所以,設點的坐標為,因為為的中點,而點的橫坐標為0,所以,所以,解得,所以點的坐標為所以,故答案為:【點睛】此題考查拋物線的性質,中點坐標公式,屬于基礎題.16、【解析】
建立直角坐標系,結合向量的坐標運算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系,由題意可知:,,,則:,,且,,據(jù)此可知在方向上的投影為.【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算,向量投影的定義與計算等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由(為參數(shù))直接消去參數(shù),可得直線的普通方程,把兩邊同時乘以,結合,可得曲線的直角坐標方程;(Ⅱ)把代入,化為關于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系及參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解:(Ⅰ)由(為參數(shù)),消去參數(shù),可得.∵,∴,即.∴曲線的直角坐標方程為;(Ⅱ)把代入,得.設,兩點對應的參數(shù)分別為,則,.不妨設,,∴.【點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程,考查參數(shù)方程化普通方程,明確直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解題的關鍵,是中檔題.18、(1);(2)證明見解析【解析】
(1)利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此解不等式求得不等式的解集.(2)將不等式坐標因式分解,結合(1)的結論證得不等式成立.【詳解】(1)解:,由,解得,故.(2)證明:因為,所以,,所以,所以.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法,考查不等式的證明,屬于基礎題.19、(1);(2)【解析】
(1)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可;(2)將直線參數(shù)方程代入圓的普通方程,可得,,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,知,代入即可解決.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去;得曲線的極坐標方程為.由,,,可得,即曲線的直角坐標方程為;(2)將直線的參數(shù)方程(為參數(shù))代入的方程,可得,,設,是點對應的參數(shù)值,,,則.【點睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化,直線參數(shù)方程的幾何意義,是一道容易題.20、(1),;(2)證明見解析.【解析】分析:(1)設的標準方程為,由題意可設.結合中點坐標公式計算可得的標準方程為.半徑,則的標準方程為.(2)設的斜率為,則其方程為,由弦長公式可得.聯(lián)立直線與拋物線的方程有.設,利用韋達定理結合弦長公式可得.則.即.詳解:(1)設的標準方程為,則.已知在直線上,故可設.因為關于對稱,所以解得所以的標準方程為.因為與軸相切,故半徑,所以的標準方程為.(2)設的斜率為,那么其方程為,則到的距離,所以.由消去并整理得:.設,則,那么.所以.所以,即.點睛:(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似,一般要用到根與系數(shù)的關系;(2)有關直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點
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