2023屆廣西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市高三第六次模擬考試數學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數學模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.“”是“函數(為常數)為冪函數”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2.已知是等差數列的前項和,若,,則()A.5 B.10 C.15 D.203.已知復數(為虛數單位),則下列說法正確的是()A.的虛部為 B.復數在復平面內對應的點位于第三象限C.的共軛復數 D.4.已知復數和復數,則為A. B. C. D.5.已知復數,則的虛部為()A.-1 B. C.1 D.6.已知隨機變量的分布列是則()A. B. C. D.7.已知等差數列的前n項和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B. C. D.8.已知橢圓的左、右焦點分別為、,過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內切圓與線段在其中點處相切,與相切于點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.9.已知無窮等比數列的公比為2,且,則()A. B. C. D.10.已知是雙曲線的左、右焦點,若點關于雙曲線漸近線的對稱點滿足(為坐標原點),則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.11.甲在微信群中發(fā)了一個6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領到整數元,且每人至少領到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領到的錢數多于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.12.若,則“”是“的展開式中項的系數為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,,則__________.14.將函數的圖象向左平移個單位長度,得到一個偶函數圖象,則________.15.已知復數z1=1﹣2i,z2=a+2i(其中i是虛數單位,a∈R),若z1?z2是純虛數,則a的值為_____.16.若函數,則__________;__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)改革開放40年,我國經濟取得飛速發(fā)展,城市汽車保有量在不斷增加,人們的交通安全意識也需要不斷加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識,某小組利用假期進行一次全市駕駛員交通安全意識調查.隨機抽取男女駕駛員各50人,進行問卷測評,所得分數的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識強.安全意識強安全意識不強合計男性女性合計(Ⅰ)求的值,并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率;(Ⅱ)已知交通安全意識強的樣本中男女比例為4:1,完成2×2列聯(lián)表,并判斷有多大把握認為交通安全意識與性別有關;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從交通安全意識強的駕駛員中隨機抽取2人,求抽到的女性人數的分布列及期望.附:,其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82818.(12分)已知矩陣,求矩陣的特征值及其相應的特征向量.19.(12分)已知函數,.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個零點,且;(2)若當時,不等式恒成立,求證:.20.(12分)如圖1,在等腰梯形中,兩腰,底邊,,,是的三等分點,是的中點.分別沿,將四邊形和折起,使,重合于點,得到如圖2所示的幾何體.在圖2中,,分別為,的中點.(1)證明:平面.(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成.在此區(qū)域內原有一個以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎上,將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點.已知長為40米,設為.(上述圖形均視作在同一平面內)(1)記四邊形的周長為,求的表達式;(2)要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值.22.(10分)已知函數.(1)當時,求函數的值域.(2)設函數,若,且的最小值為,求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據冪函數定義,求得的值,結合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當函數為冪函數時,,解得或,∴“”是“函數為冪函數”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷,冪函數定義的應用,屬于基礎題.2、C【解析】

利用等差通項,設出和,然后,直接求解即可【詳解】令,則,,∴,,∴.【點睛】本題考查等差數列的求和問題,屬于基礎題3、D【解析】

利用的周期性先將復數化簡為即可得到答案.【詳解】因為,,,所以的周期為4,故,故的虛部為2,A錯誤;在復平面內對應的點為,在第二象限,B錯誤;的共軛復數為,C錯誤;,D正確.故選:D.【點睛】本題考查復數的四則運算,涉及到復數的虛部、共軛復數、復數的幾何意義、復數的模等知識,是一道基礎題.4、C【解析】

利用復數的三角形式的乘法運算法則即可得出.【詳解】z1z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案為C.【點睛】熟練掌握復數的三角形式的乘法運算法則是解題的關鍵,復數問題高考必考,常見考點有:點坐標和復數的對應關系,點的象限和復數的對應關系,復數的加減乘除運算,復數的模長的計算.5、A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復數即可.【詳解】,故的虛部為.故選:A.【點睛】本題考查復數的除法運算,考查學生運算能力,是一道容易題.6、C【解析】

利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性質可求得結果.【詳解】由分布列的性質可得,得,所以,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法,是基本知識的考查.7、C【解析】

首先求出等差數列的首先和公差,然后寫出數列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設公差為d,由題知,,解得,,所以數列為,故.故選:C.【點睛】本題主要考查了等差數列的基本量的求解,屬于基礎題.8、D【解析】

可設的內切圓的圓心為,設,,可得,由切線的性質:切線長相等推得,解得、,并設,求得的值,推得為等邊三角形,由焦距為三角形的高,結合離心率公式可得所求值.【詳解】可設的內切圓的圓心為,為切點,且為中點,,設,,則,且有,解得,,設,,設圓切于點,則,,由,解得,,,所以為等邊三角形,所以,,解得.因此,該橢圓的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查橢圓的定義和性質,注意運用三角形的內心性質和等邊三角形的性質,切線的性質,考查化簡運算能力,屬于中檔題.9、A【解析】

依據無窮等比數列求和公式,先求出首項,再求出,利用無窮等比數列求和公式即可求出結果?!驹斀狻恳驗闊o窮等比數列的公比為2,則無窮等比數列的公比為。由有,,解得,所以,,故選A?!军c睛】本題主要考查無窮等比數列求和公式的應用。10、B【解析】

先利用對稱得,根據可得,由幾何性質可得,即,從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示:由對稱性可得:為的中點,且,所以,因為,所以,故而由幾何性質可得,即,故漸近線方程為,故選B.【點睛】本題考查了點關于直線對稱點的知識,考查了雙曲線漸近線方程,由題意得出是解題的關鍵,屬于中檔題.11、B【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據古典概型的方法求解即可.【詳解】設乙,丙,丁分別領到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個,其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個,故所求概率為,故選:B.【點睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎題型.12、B【解析】

求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數為90,即,求得,即可得出結果.【詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數為,充分性成立;當的展開式中項的系數為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3【解析】

由題意得,,再代入中,計算即可得答案.【詳解】由題意可得,,∴,解得,∴.故答案為:.【點睛】本題考查向量模的計算,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查運算求解能力,求解時注意向量數量積公式的運用.14、【解析】

根據平移后關于軸對稱可知關于對稱,進而利用特殊值構造方程,從而求得結果.【詳解】向左平移個單位長度后得到偶函數圖象,即關于軸對稱關于對稱即:本題正確結果:【點睛】本題考查根據三角函數的對稱軸求解參數值的問題,關鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數的對稱軸,進而利用特殊值的方式來進行求解.15、-1【解析】

由題意,令即可得解.【詳解】∵z1=1﹣2i,z2=a+2i,∴,又z1?z2是純虛數,∴,解得:a=﹣1.故答案為:﹣1.【點睛】本題考查了復數的概念和運算,屬于基礎題.16、01【解析】

根據分段函數解析式,代入即可求解.【詳解】函數,所以,.故答案為:0;1.【點睛】本題考查了分段函數求值的簡單應用,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ).0.2(Ⅱ)見解析,有的把握認為交通安全意識與性別有關(Ⅲ)見解析,【解析】

(Ⅰ)直接根據頻率和為1計算得到答案.(Ⅱ)完善列聯(lián)表,計算,對比臨界值表得到答案.(Ⅲ)的取值為,計算概率得到分布列,計算數學期望得到答案.【詳解】(Ⅰ),解得.所以該城市駕駛員交通安全意識強的概率.(Ⅱ)安全意識強安全意識不強合計男性163450女性44650合計2080100,所以有的把握認為交通安全意識與性別有關(Ⅲ)的取值為所以的分布列為期望.【點睛】本題考查了獨立性檢驗,分布列,數學期望,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18、矩陣屬于特征值的一個特征向量為,矩陣屬于特征值的一個特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項式,令解方程可得特征值,再由特征值列出方程組,即可求得相應的特征向量.【詳解】由題意,矩陣的特征多項式為,令,解得,,將代入二元一次方程組,解得,所以矩陣屬于特征值的一個特征向量為;同理,矩陣屬于特征值的一個特征向量為v【點睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算,其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.19、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】

(1)利用求導數,判斷在區(qū)間上的單調性,然后再證異號,即可證明結論;(2)當時,不等式恒成立,分離參數只需時,恒成立,設(),需,根據(1)中的結論先求出,再構造函數結合導數法,證明即可.【詳解】(1),令,則,所以在區(qū)間上是增函數,則,所以在區(qū)間上是增函數.又因為,,所以在區(qū)間上有且僅有一個零點,且.(2)由題意,在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,當時,;當時,恒成立,設(),所以.由(1)可知,,使,所以,當時,,當時,,由此在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,所以.又因為,所以,從而,所以.令,,則,所以在區(qū)間上是增函數,所以,故.【點睛】本題考查導數的綜合應用,涉及到函數的單調性、函數的零點、極值最值、不等式的證明,分離參數是解題的關鍵,意在考查邏輯推理、數學計算能力,屬于較難題.20、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)先證,再證,由可得平面,從而推出平面;(2)建立空間直角坐標系,求出平面的法向量與,坐標代入線面角的正弦值公式即可得解.【詳解】(1)證明:連接,,由圖1知,四邊形為菱形,且,所以是正三角形,從而.同理可證,,所以平面.又,所以平面,因為平面,所以平面平面.易知,且為的中點,所以,所以平面.(2)解:由(1)可知,,且四邊形為正方形.設的中點為,以為原點,以,,所在直線分別為,,軸,建立空間直角坐標系,則,,,,,所以,,.設平面的法向量為,由得取.設直線與平面所成的角為,所以,所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明,直線與平面所成的角,要求一定的空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力,屬于基礎題.21、(1),.(2)【解析】

(1)由余弦定理的,然后根據直線與圓相切的性質求出,從而求出;(2)求得的表達式,通過求導研究函數的單調性求得最大值.【詳解】解:(1)連.由條件得.在三角形中,,,,由余弦定理,得,因為與半圓相切于,所以,所以,所以.所以四邊形的周長為,.(2)設四邊形的面積為,則,.所以,.令,得列表:+0-增最大值減答:要使改建成的展示區(qū)的面積最大,的值為.【點睛】本題考查余弦定理、直線與圓的位置關系、導數與函數最值的關系,考查考生的邏輯思維能力,運算求解能力,以及函數與方程的思想.22、(1);(

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