ch07-一階與二階電路

動態(tài)電路的方程及其初始條件7.1一階電路的零輸入響應7.2一階電路的零狀態(tài)響應7.3一階電路的全響應7.4二階電路的零輸入響應7.5二階電路的零狀態(tài)響應和全響應7.6第7章一階電路和二階電路的時域分析一階電路和二階電路的階躍響應7.7一階電路和二階電路的沖激響應7.8*一階和二階電路的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應的概念及求解；重點一階和二階電路的階躍響應概念及求解。1.動態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定；含有動態(tài)元件電容和電感的電路稱動態(tài)電路。1.動態(tài)電路

7.1動態(tài)電路的方程及其初始條件當動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時（換路）需要經歷一個變化過程才能達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個變化過程稱為電路的過渡過程。特點例0ti過渡期為零電阻電路+-usR1R2（t=0）ii=0,uC=Usi=0,uC

=0

k接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)：k未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：電容電路k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→)+–uCUsRCi+-前一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1USuct0?i有一過渡期uL=0,i=Us/Ri=0,uL

=0

k接通電源后很長時間，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路：k未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：電感電路k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→)+–uLUsRi+-前一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1US/Rit0?uL有一過渡期

(t→)+–uLUsRi+-k未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：uL=0,i=Us/Rk斷開瞬間i=0,uL

=工程實際中在切斷電容或電感電路時會出現(xiàn)過電壓和過電流現(xiàn)象。注意k

(t→)+–uLUsRi+-過渡過程產生的原因電路內部含有儲能元件L、C，電路在換路時能量發(fā)生變化，而能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。電路結構、狀態(tài)發(fā)生變化換路支路接入或斷開電路參數(shù)變化應用KVL和電容的VCR得：若以電流為變量：2.動態(tài)電路的方程

(t>0)+–uCUsRCi+-例RC電路應用KVL和電感的VCR得：若以電感電壓為變量：

(t>0)+–uLUsRi+-RL電路有源電阻電路一個動態(tài)元件一階電路結論含有一個動態(tài)元件電容或電感的線性電路，其電路方程為一階線性常微分方程，稱一階電路。二階電路

(t>0)+–uLUsRi+-CuC＋－RLC電路應用KVL和元件的VCR得：含有二個動態(tài)元件的線性電路，其電路方程為二階線性常微分方程，稱二階電路。一階電路一階電路中只有一個動態(tài)元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。描述動態(tài)電路的電路方程為微分方程；動態(tài)電路方程的階數(shù)通常等于電路中動態(tài)元件的個數(shù)。二階電路二階電路中有二個動態(tài)元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。結論高階電路電路中有多個動態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。動態(tài)電路的分析方法根據KVL、KCL和VCR建立微分方程；復頻域分析法時域分析法求解微分方程經典法狀態(tài)變量法數(shù)值法卷積積分拉普拉斯變換法狀態(tài)變量法付氏變換本章采用

工程中高階微分方程應用計算機輔助分析求解。穩(wěn)態(tài)分析和動態(tài)分析的區(qū)別穩(wěn)態(tài)動態(tài)換路發(fā)生很長時間后狀態(tài)微分方程的特解恒定或周期性激勵換路發(fā)生后的整個過程微分方程的通解任意激勵直流時

t=0＋與t=0－的概念認為換路在t=0時刻進行0－

換路前一瞬間

0＋

換路后一瞬間3.電路的初始條件初始條件為t=0＋時u，i

及其各階導數(shù)的值。注意0f(t)0－0＋t圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo,求開關閉合后電容電壓隨時間的變化。例解特征根方程：通解：代入初始條件得：在動態(tài)電路分析中，初始條件是得到確定解答的必需條件。明確R－+CiuC(t=0)t=0+

時刻iucC+-電容的初始條件0當i()為有限值時q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。q

=CuC電荷守恒結論電感的初始條件t=0+時刻0當u為有限值時iLuL+-L

(0＋)=L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)磁鏈守恒換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。結論L

(0+)=L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路定律電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。換路定律反映了能量不能躍變。注意電路初始值的確定(2)由換路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－電路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效電路求

iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1求

iC(0+)電容開路+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效電路+-10ViiC10k電容用電壓源替代注意iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0時閉合開關k,求

uL(0+)先求應用換路定律:電感用電流源替代解電感短路iL+uL-L10VS14+-iL10V14+-由0+等效電路求

uL(0+)2A+uL-10V14+-注意求初始值的步驟:1.由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0－)和iL(0－)；2.由換路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.畫0+等效電路。4.由0+電路求所需各變量的0+值。b.電容（電感）用電壓源（電流源）替代。a.換路后的電路（取0+時刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。小結iL(0+)=iL(0－)=iSuC(0+)=uC(0－)=RiSuL(0+)=-

RiS求iC(0+),uL(0+)例3解由0－電路得：由0+電路得：S(t=0)+–uLiLC+–uCLRiSiCRiS0－電路uL+–iCRiSRiS+–例4求k閉合瞬間各支路電流和電感電壓解由0－電路得：由0+電路得：iL+uL-LS2+-48V32CiL2+-48V32+－uC12A24V+-48V32+-iiC+-uL求k閉合瞬間流過它的電流值解確定0－值給出0＋等效電路例5iL+20V-10+uC1010－iL+20V-LS10+uC1010C－1A10V+uL－iC+20V-10+1010－7.2一階電路的零輸入響應換路后外加激勵為零，僅由動態(tài)元件初始儲能產生的電壓和電流。1.RC電路的零輸入響應已知

uC

(0－)=U0

uR=Ri零輸入響應iS(t=0)+–uRC+–uCR特征根特征方程RCp+1=0則代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR或tU0uC0I0ti0令

=RC,稱為一階電路的時間常數(shù)電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；連續(xù)函數(shù)躍變響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與RC有關;表明時間常數(shù)的大小反映了電路過渡過程時間的長短

=RC

大→過渡過程時間長小→過渡過程時間短電壓初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放電電流小放電時間長U0tuc0小大C

大（R一定）

W=Cu2/2

儲能大物理含義a.:電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。工程上認為,經過3－5

,

過渡過程結束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

注意＝

t2－t1

t1時刻曲線的斜率等于U0tuc0t1t2次切距的長度b.

時間常數(shù)的幾何意義：能量關系電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.設

uC(0+)=U0電容放出能量：電阻吸收（消耗）能量：uCR+－C例1圖示電路中的電容原充有24V電壓，求k閉合后，電容電壓和各支路電流隨時間變化的規(guī)律。解這是一個求一階RC零輸入響應問題，有：+uC45F－i1t>0等效電路i3S3+uC265F－i2i1+uC45F－i1分流得：i3S3+uC265F－i2i1例2求:(1)圖示電路k閉合后各元件的電壓和電流隨時間變化的規(guī)律，(2）電容的初始儲能和最終時刻的儲能及電阻的耗能。解這是一個求一階RC零輸入響應問題，有：u

(0+)=u(0－)=20Vu1（0-）=4VuSC1=5F++---iC2=20Fu2（0-）=24V250k+uk4F++--i20V250k初始儲能最終儲能電阻耗能2.

RL電路的零輸入響應特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A=iL(0+)=I0t>0iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLRtI0iL0連續(xù)函數(shù)躍變電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；表明-RI0uLt0iL+–uLR響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與L/R有關;令

稱為一階RL電路時間常數(shù)

=L/R時間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時間的長短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放電過程消耗能量小放電慢，

大大→過渡過程時間長小→過渡過程時間短物理含義電流初值iL(0)一定：能量關系電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。設

iL(0+)=I0電感放出能量：電阻吸收（消耗）能量：iL+–uLRiL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V

造成V損壞。例1t=0時,打開開關S，求uv。電壓表量程：50V解iLS(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10ViLLR10V+-例2t=0時,開關S由1→2，求電感電壓和電流及開關兩端電壓u12。解i+–uL66Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3446+－uL212i+–uL66Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3446+－uL212一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初值引起的響應,都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路小結一階電路的零輸入響應和初始值成正比，稱為零輸入線性。衰減快慢取決于時間常數(shù)同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)。小結

=RC

=L/RR為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。RC電路RL電路動態(tài)元件初始能量為零，由t>0電路中外加激勵作用所產生的響應。方程：7.3一階電路的零狀態(tài)響應解答形式為：1.RC電路的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應非齊次方程特解齊次方程通解iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齊次線性常微分方程與輸入激勵的變化規(guī)律有關，為電路的穩(wěn)態(tài)解變化規(guī)律由電路參數(shù)和結構決定的通解通解（自由分量，暫態(tài)分量）特解（強制分量）的特解全解uC

(0+)=A+US=0

A=－US由初始條件uC

(0+)=0

定積分常數(shù)

A從以上式子可以得出：-USuC‘uC“USti0tuC0電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構成：連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）暫態(tài)分量（自由分量）表明+響應變化的快慢，由時間常數(shù)＝RC決定；大，充電慢，小充電就快。響應與外加激勵成線性關系；能量關系電容儲存能量：電源提供能量：電阻消耗能量：電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉換成電場能量儲存在電容中。表明RC+-US例t=0時,開關S閉合，已知

uC(0－)=0，求(1)電容電壓和電流,(2)uC＝80V時的充電時間t

。解(1)這是一個RC電路零狀態(tài)響應問題，有：(2)設經過t1秒，uC＝80V50010F+-100VS+－uCi2.RL電路的零狀態(tài)響應已知iL(0－)=0，電路方程為：tiL0iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—uLUSt0iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—例1t=0時,開關S打開，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律。解這是RL電路零狀態(tài)響應問題，先化簡電路，有：t>0iLS+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReq例2t=0開關k打開，求t>0后iL、uL及電流源的電壓。解這是RL電路零狀態(tài)響應問題，先化簡電路，有：iL+–uL2HUoReq+－t>0iLK+–uL2H102A105+–u7.4一階電路的全響應電路的初始狀態(tài)不為零，同時又有外加激勵源作用時電路中產生的響應。以RC電路為例，電路微分方程：1.全響應全響應iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答為：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解=RCuC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0A=U0

-US由初始值定A強制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)2.全響應的兩種分解方式uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0全響應

=

強制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰全響應=

零狀態(tài)響應

+

零輸入響應著眼于因果關系便于疊加計算零輸入響應零狀態(tài)響應S(t=0)USC+–RuC

(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC

(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC

(0－)=0零狀態(tài)響應零輸入響應tuc0US零狀態(tài)響應全響應零輸入響應U0例1t=0

時,開關k打開，求t>0后的iL、uL。解這是RL電路全響應問題，有：零輸入響應：零狀態(tài)響應：全響應：iLS(t=0)+–24V0.6H4+－uL8或求出穩(wěn)態(tài)分量：全響應：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0時,開關K閉合，求t>0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。解這是RC電路全響應問題，有：穩(wěn)態(tài)分量：+–10V1A1+－uC1+－u1全響應：+–10V1A1+－uC1+－u13.三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學模型是一階線性微分方程：令

t=0+其解答一般形式為：特解分析一階電路問題轉為求解電路的三個要素的問題。用0+等效電路求解用t→的穩(wěn)態(tài)電路求解直流激勵時：A注意例1已知：t=0

時合開關，求換路后的uC(t)解tuc2(V)0.66701A213F+-uC例2t=0時,開關閉合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素為：iL+–20V0.5H55+–10Vi2i1三要素公式三要素為：0＋等效電路+–20V2A55+–10Vi2i1例3已知：t=0時開關由1→2，求換路后的uC(t)解三要素為：4+－4i12i1u+－2A410.1F+uC－+－4i12i18V+－12例4已知：t=0時開關閉合，求換路后的電流i(t)

。+–1H0.25F52S10Vi解三要素為：+–1H0.25F52S10Vi已知：電感無初始儲能t=0

時合S1

,t=0.2s時合S2，求兩次換路后的電感電流i(t)。0<t<0.2s解例5i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-t>0.2si10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-(0<t

0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.26207.5二階電路的零輸入響應uC(0+)=U0i(0+)=0已知：1.二階電路的零輸入響應以電容電壓為變量：電路方程：以電感電流為變量：RLC+-iuc特征方程：電路方程：以電容電壓為變量時的初始條件：uC(0+)=U0i(0+)=0以電感電流為變量時的初始條件：i(0+)=0uC(0+)=U02.零狀態(tài)響應的三種情況過阻尼臨界阻尼欠阻尼特征根：U0tuc設|P2|>|P1|0電容電壓t=0+

ic=0,t=

ic=0ic>0t=tm

時ic

最大tmictU0uc0電容和電感電流U0uctm2tmuLic0<t<tm，i增加,uL>0，t>tmi減小,uL

<0t=2tm時

uL

最大RLC+-t0電感電壓iC=i為極值時，即uL=0時的

tm

計算如下:由duL/dt

可確定uL

為極小時的

t.能量轉換關系0<t<tm

uC

減小，i

增加。t>tmuC減小，i

減小.RLC+-RLC+-tU0uCtm2tmuLiC0uc

的解答形式：經常寫為：共軛復根δωω0ω，ω０，δ的關系t=0時

uc=U0uC

=0：t=-，2-...n-t-2-20U0uCt-2-20U0uCiC

uL=0：t=，+，2+...n+ic=0：t=0，，2...n，為

uc極值點，ic

的極值點為uL

零點。能量轉換關系：0<t<<t<--<t<t-2-20U0uciCRLC+-RLC+-RLC+-特例：R=0時等幅振蕩tLC+-0相等負實根定常數(shù)可推廣應用于一般二階電路小結電路如圖，t=0時打開開關。求uC并畫出其變化曲線。解（1）

uC(0－)=25V

iL(0－)=5A特征方程為：

50P2+2500P+106=0例1（2）開關打開為RLC串聯(lián)電路，方程為：5Ω100F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-+-iLuC(3)

t0uC356257.6二階電路的零狀態(tài)響應和全響應uC(0－)=0,iL(0－)=0微分方程為：通解特解特解:

特征方程為:RLC+-uCiLUS(t)+-例1.二階電路的零狀態(tài)響應uC解答形式為：tuCUS0求電流i的零狀態(tài)響應。

i1=i－0.5u1=i

－0.5(2－i)2=2i－2由KVL：整理得：首先寫微分方程解2-ii1例二階非齊次常微分方程+u1-0.5u12W1/6F1HS2W2W2Ai特征根為：

P1=－2，P2=－6解答形式為：第三步求特解i'由穩(wěn)態(tài)模型有：i'

=0.5u1u1=2(2－0.5u1)i'=1Au1=2第二步求通解穩(wěn)態(tài)模型+u1-2i2A0.5u12第四步定常數(shù)由0+電路模型：+u1-0.5u12W1/6F1Hk2W2W2Ai+u1-0.5u12W2W+2A-uL(0+)0狀態(tài)2.二階電路的全響應已知：iL(0-)=2AuC(0-)=0求：iL,

iR(1)

列微分方程(2)求特解解RiR-50V50100F0.5H+iLiC例應用結點法：(3)求通解特征根為：

P=-100j100(4)定常數(shù)特征方程為：(5)求iR或設解答形式為：定常數(shù)RiR-50V50100F0.5H+iLiCRiR-50V50+iC2A二階電路含二個獨立儲能元件，是用二階常微分方程所描述的電路。二階電路的性質取決于特征根，特征根取決于電路結構和參數(shù)，與激勵和初值無關。小結求二階電路全響應的步驟(a)列寫t>0+電路的微分方程(b)求通解(c)求特解(d)全響應=強制分量（穩(wěn)態(tài)）+自由分量（暫態(tài)）7.7一階電路和二階電路的階躍響應1.單位階躍函數(shù)

定義t(t)01

單位階躍函數(shù)的延遲t(t-t0)t001t=0合閘

i(t)=Is在電路中模擬開關的動作t=0合閘

u(t)=E單位階躍函數(shù)的作用SUSu(t)u(t)Isku(t)起始一個函數(shù)tf(t)0t0延遲一個函數(shù)tf(t)0t0

用單位階躍函數(shù)表示復雜的信號例1(t)tf(t)101t0tf(t)0t0-(t-t0)例21t1f(t)0243例41t1f(t)0例31t1f(t)0243例5t1

02已知電壓u(t)的波形如圖，試畫出下列電壓的波形。t1

u(t)0－22t1

0－11t1

01

t1021和的區(qū)別2.一階電路的階躍響應激勵為單位階躍函數(shù)時，電路中產生的零狀態(tài)響應。階躍響應iC+–uCRuC

(0－)=0注意t01it0ituC10tiC0激勵在t=t0

時加入，則響應從t=t0開始。t-t0(t-t0)不要寫為：iC(t-t0)C+–uCRt0注意求圖示電路中電流iC(t）例10k10kus+-ic100FuC(0－)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0－)=0等效應用疊加定理5k+-ic100F5k+-ic100F5k+-ic100F階躍響應為：由齊次性和疊加性得實際響應為（簡潔）：5k+-ic100F5k+-ic100F分段表示為(復雜)：分段表示為：t(s)iC(mA)01-0.6320.5波形：0.3682.二階電路的階躍響應對電路應用KCL列結點電流方程有例已知圖示電路中uC(0-)=0,iL(0-)=0，求單位階躍響應