2023屆河北省衡水市冀州名校高三第二次調(diào)研數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若實數(shù)、滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．2．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、高分別為，，，且，則此三棱錐外接球表面積的最小值為（）A． B． C． D．3．已知下列命題：①“”的否定是“”；②已知為兩個命題，若“”為假命題，則“”為真命題；③“”是“”的充分不必要條件；④“若，則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號為（）A．③④ B．①② C．①③ D．②④4．是拋物線上一點，是圓關(guān)于直線的對稱圓上的一點，則最小值是（）A． B． C． D．5．在三棱錐中，，，P在底面ABC內(nèi)的射影D位于直線AC上，且，.設(shè)三棱錐的每個頂點都在球Q的球面上，則球Q的半徑為（）A． B． C． D．6．若，則下列關(guān)系式正確的個數(shù)是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．47．不等式組表示的平面區(qū)域為，則（）A．， B．，C．， D．，8．已知復(fù)數(shù)滿足，且，則（）A．3 B． C． D．9．已知函數(shù)，不等式對恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．下列函數(shù)中，值域為的偶函數(shù)是（）A． B． C． D．11．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．12．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．關(guān)于函數(shù)有下列四個命題：①函數(shù)在上是增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱；③不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線；④函數(shù)的導函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.（寫出所有正確命題的序號）14．在中，，，，則__________．15．小李參加有關(guān)“學習強國”的答題活動，要從4道題中隨機抽取2道作答，小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的概率為_____.16．曲線在點（1，1）處的切線與軸及直線=所圍成的三角形面積為，則實數(shù)=____。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．18．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，點在線段上移動（不與重合），是的中點.（1）當四面體的外接球的表面積為時，證明：.平面（2）當四面體的體積最大時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20．（12分）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，直線和直線的極坐標方程分別是（）和（），其中（）.（1）寫出曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)直線和直線分別與曲線交于除極點的另外點，，求的面積最小值.21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，.（1）求cosC；（2）若b＝7，D是BC邊上的點，且△ACD的面積為，求sin∠ADB.22．（10分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若正數(shù)、滿足，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，得，可得點，由得，平移直線，當該直線經(jīng)過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.故選：D.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．2、B【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進而得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值．【詳解】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個頂點位于長方體的四個頂點，即為三棱錐，且長方體的長、寬、高分別為，∴此三棱錐的外接球即為長方體的外接球，且球半徑為，∴三棱錐外接球表面積為，∴當且僅當，時，三棱錐外接球的表面積取得最小值為．故選B．【點睛】（1）解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑，同時要作一圓面起襯托作用．（2）長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時可考慮通過構(gòu)造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題．3、B【解析】

由命題的否定，復(fù)合命題的真假，充分必要條件，四種命題的關(guān)系對每個命題進行判斷．【詳解】“”的否定是“”，正確；已知為兩個命題，若“”為假命題，則“”為真命題，正確；“”是“”的必要不充分條件,錯誤；“若，則且”是假命題，則它的逆否命題為假命題，錯誤.故選：B．【點睛】本題考查命題真假判斷，掌握四種命題的關(guān)系，復(fù)合命題的真假判斷，充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ)．4、C【解析】

求出點關(guān)于直線的對稱點的坐標，進而可得出圓關(guān)于直線的對稱圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值，由此可得出，即可得解.【詳解】如下圖所示：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為點，則，整理得，解得，即點，所以，圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為，設(shè)點，則，當時，取最小值，因此，.故選：C.【點睛】本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算，同時也考查了兩圓關(guān)于直線對稱性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.5、A【解析】

設(shè)的中點為O先求出外接圓的半徑，設(shè)，利用平面ABC，得，在及中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可【詳解】設(shè)的中點為O,因為，所以外接圓的圓心M在BO上.設(shè)此圓的半徑為r.因為，所以，解得.因為，所以.設(shè)，易知平面ABC，則.因為，所以，即，解得.所以球Q的半徑.故選：A【點睛】本題考查球的組合體，考查空間想象能力，考查計算求解能力，是中檔題6、D【解析】

a，b可看成是與和交點的橫坐標，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令，，作出圖象如圖，由，的圖象可知，，，②正確；，，有，①正確；，，有，③正確；，，有，④正確.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.7、D【解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設(shè)，分析的幾何意義，可得的最小值，據(jù)此分析選項即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示，其中，，

設(shè)，則，的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍，

由圖可得：當過點時，直線在軸上的截距最大，即，當過點原點時，直線在軸上的截距最小，即，故AB錯誤；

設(shè)，則的幾何意義為點與點連線的斜率，由圖可得最大可到無窮大，最小可到無窮小，故C錯誤，D正確；故選：D.【點睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是對目標函數(shù)幾何意義的認識，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

設(shè),則,利用和求得,即可.【詳解】設(shè),則,因為,則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則的應(yīng)用,考查共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用.9、C【解析】

確定函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，不等式轉(zhuǎn)化為，利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù)，，易知均為減函數(shù)，故且在上單調(diào)遞減，不等式，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，即，設(shè)，，故單調(diào)遞減，故，當，即時取最大值，所以.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式，參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】試題分析：A中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿足條件；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件；C中，函數(shù)為偶函數(shù)且，滿足條件；D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿足條件，故選C．考點：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的值域．11、A【解析】

根據(jù)向量坐標運算求得，由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：故選：【點睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題，涉及到平面向量的坐標運算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則.12、B【解析】

根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù)，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時，；∴由奇函數(shù)性質(zhì)可得；∴；∴時，；∴.故選：B.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據(jù)條件先推導出周期，利用函數(shù)的周期變換來求解，考查理解能力和計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③【解析】

由單調(diào)性、對稱性概念、導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與極值的關(guān)系進行判斷．【詳解】函數(shù)的定義域是，由于，在上遞增，∴函數(shù)在上是遞增，①正確；，∴函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，②正確；，時取等號，∴③正確；，設(shè)，則，顯然是即的極小值點，④錯誤．故答案為：①②③.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與極值，解題時按照相關(guān)概念判斷即可，屬于中檔題．14、1【解析】

由已知利用余弦定理可得，即可解得的值．【詳解】解：，，，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）．故答案為：1．【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

從四道題中隨機抽取兩道共6種情況，抽到的兩道全都會的情況有3種，即可得到概率.【詳解】由題：從從4道題中隨機抽取2道作答，共有種，小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的情況共有種，所以其概率為.故答案為：【點睛】此題考查根據(jù)古典概型求概率，關(guān)鍵在于根據(jù)題意準確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).16、或1【解析】

利用導數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，以及切線方程，求得切線與軸和的交點，由三角形的面積公式可得所求值．【詳解】的導數(shù)為，可得切線的斜率為3，切線方程為，可得，可得切線與軸的交點為，，切線與的交點為，可得，解得或?！军c睛】本題主要考查利用導數(shù)求切線方程，以及直線方程的運用，三角形的面積求法。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計算A的坐標，計算切線與橢圓交點坐標，代入橢圓方程，計算參數(shù)，即可．（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可．【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得，∴點在橢圓上，∴，解得，∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當過點且與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設(shè)切線方程為，由(Ⅰ)知，，，∴.當過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設(shè)切線的方程為，，∴，即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得，∴，得.∵，∴，，∴.綜上所述，圓上任意一點處的切線交橢圓于點，都有.在中，由與相似得，為定值.【點睛】本道題考查了橢圓方程的求解，考查了直線與橢圓位置關(guān)系，考查了向量的坐標運算，難度偏難．18、（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）取中點，根據(jù)，利用線面垂直的判定定理，可得平面，最后可得結(jié)果.（2）利用建系，假設(shè)長度，可得，以及平面的一個法向量，然后利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）取中點，連接，如圖由，所以由,平面所以平面，又平面所以（2）假設(shè)，由，，.所以則，所以又，平面所以平面，所以，又，故建立空間直角坐標系，如圖設(shè)平面的一個法向量為則令，所以則直線與平面所成角的正弦值為【點睛】本題考查線面垂直、線線垂直的應(yīng)用，還考查線面角，學會使用建系的方法來解決立體幾何問題，將幾何問題代數(shù)化，化繁為簡，屬中檔題.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由題意，先求得為的中點，再證明平面平面，進而可得結(jié)論；（2）由題意，當點位于點時，四面體的體積最大，再建立空間直角坐標系，利用空間向量運算即可.【詳解】（1）證明：當四面體的外接球的表面積為時.則其外接球的半徑為.因為時邊長為2的菱形，是矩形.，且平面平面.則，.則為四面體外接球的直徑.所以，即.由題意，，，所以.因為，所以為的中點.記的中點為，連接，.則，，，所以平面平面.因為平面，所以平面.（2）由題意，平面，則三棱錐的高不變.當四面體的體積最大時，的面積最大.所以當點位于點時，四面體的體積最大.以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，.所以，，，.設(shè)平面的法向量為.則令，得.設(shè)平面的一個法向量為.則令，得.設(shè)平面與平面所成銳二面角是，則.所以當四面體的體積最大時，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查平面與平面的平行、線面平行，考查平面與平面