Chap7-2三大分布及單個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)

正態(tài)總體下的抽樣分布——統(tǒng)計(jì)中的三大分布記為分布一、定義:設(shè)相互獨(dú)立,都服從正態(tài)分布N(0,1),

則稱隨機(jī)變量：

所服從的分布為自由度為

n

的分布.分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.分布的密度函數(shù)為來定義.其中伽瑪函數(shù)通過積分

分布的密度函數(shù)的圖形如右圖.由分布的定義，不難得到：1.

設(shè)相互獨(dú)立,都服從正態(tài)分布則2.設(shè)且X1,X2相互獨(dú)立，則這個(gè)性質(zhì)叫分布的可加性.則，

E(X)=n,Var(X)=2n3.若3證明:根據(jù)χ2分布的定義,把表示為

對于(0,1)給定,稱滿足條件:

分布的分位點(diǎn)的點(diǎn)

()為分布的上分位點(diǎn).

分布的上分位點(diǎn)圖形如右圖.

分布的上分位點(diǎn)可以查附表4(P244).例3設(shè)求（1）P（X>1.923）解：查自由度為4的分布表，得（2）T的密度函數(shù)為：記為T～tn.

定義:設(shè)X～N(0,1),Y～,且X與Y相互獨(dú)立，則稱變量所服從的分布為自由度為n的t分布.二、t分布（Gosset于1908年以student筆名提出）

當(dāng)n充分大時(shí)，t分布近似N

(0,1)分布.但對于較小的n，t分布與N(0,1)分布相差很大.

t分布的密度函數(shù)的圖形如右圖.

T～tn,對于(0,1)給定,稱滿足條件:t分布的分位點(diǎn)

的點(diǎn)tn()為t分布的上分位點(diǎn).

t分布的上分位點(diǎn)圖形如右圖.t分布的上分位點(diǎn)可以查附表3(P242).三、F分布由定義可見，~定義:設(shè)X與Y相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n1及n2的F分布，n1稱為第一自由度，n2稱為第二自由度，記作F~（Fisher提出）若X~，X的概率密度為

F分布的密度函數(shù)的圖形如右圖.

F～Fm,n,對于(0,1)給定,稱滿足條件:F分布的分位點(diǎn)

的點(diǎn)Fm,n()為F分布的上分位點(diǎn).F分布的上分位點(diǎn)圖形如右圖.F分布的上分位點(diǎn)可以查附表5(P247).（2）例F分布的性質(zhì)：（1）

定理1(樣本均值的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本，則有四、正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布

定理2(樣本方差的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有

定理3

設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有定理6.4.1(基本定理)

設(shè)X1,X2,,Xn為來自總體N(,2)的樣本,則:例

在設(shè)計(jì)導(dǎo)彈發(fā)射裝置時(shí),重要事情之一是研究彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的方差.

對于一類導(dǎo)彈發(fā)射裝置,彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離服從正態(tài)分布N(,2),這里2=100米2.

現(xiàn)在進(jìn)行了25次發(fā)射試驗(yàn),用S2記這25次試驗(yàn)中彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的樣本方差.

求:S2超過50米2的概率.解:

根據(jù)基本定理

查P244附表4,得到:1.設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且X～Y～則X+Y～答案：答案：2.設(shè)X1,X2,,Xn為來自總體N(,2)的樣本則:3.設(shè)X~答案：第七章第四節(jié)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)（一）前面討論了參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)就是利用樣本計(jì)算出的值

(即實(shí)軸上點(diǎn))來估計(jì)未知參數(shù)。其優(yōu)點(diǎn)是：可直地告訴人們“未知參數(shù)大致是多少”；缺點(diǎn)是：并未反映出估計(jì)的誤差范圍(精度)。故，在使用上還有不盡如人意之處。而區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這一不足之處

。也就是說，給出一個(gè)區(qū)間，使我們能以一定的可靠度相信區(qū)間包含參數(shù)μ

。這里的“可靠度”是用概率來度量的，稱為置信系數(shù)，常用表示一個(gè)可以想到的估計(jì)辦法是：給出一個(gè)區(qū)間，并告訴人們該區(qū)間包含未知參數(shù)

μ

的可靠度(也稱置信系數(shù))。置信系數(shù)的大小常根據(jù)實(shí)際需要來確定，通常取0.95或0.99，即

根據(jù)實(shí)際樣本，由給定的置信系數(shù)，可求出一個(gè)盡可能短的區(qū)間，使7.4.1置信區(qū)間的定義定義1：實(shí)際應(yīng)用上，一般取

α

=0.05或0.01。

為確定置信區(qū)間，我們先回顧前面給出的隨機(jī)變量的上α

分位點(diǎn)的概念?，F(xiàn)在回到尋找置信區(qū)間問題上來。求參數(shù)的置信系數(shù)為的置信區(qū)間.

例1

設(shè)X1,…Xn是取自

的樣本，置信區(qū)間的求法明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信系數(shù)是多少？解：前面我們已經(jīng)用矩估計(jì)和極大似然估計(jì)都得到均值的點(diǎn)估計(jì)為，它具有很好的性質(zhì)，現(xiàn)在我們一個(gè)區(qū)間去估計(jì)均值，用更合理些。尋找未知參數(shù)的一個(gè)良好估計(jì).~N(0,1)有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.對給定的置信系數(shù)查正態(tài)分布表得使從中解得于是所求的置信區(qū)間為設(shè)X1,X2,,Xn為來自正態(tài)總體N(,2)的樣本.2已知.

均值的置信系數(shù)為1-的置信區(qū)間.方差2已知單個(gè)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)例1:

某廠生產(chǎn)的零件長度

X

服從

N(

,0.04),現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取6個(gè)，長度測量值如下(單位:毫米):

14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求:μ的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計(jì)。

解：n=6，=0.05，z/2=z0.025=1.96，2=0.22

.所求置信區(qū)間為設(shè)X1,X2,,Xn為來自正態(tài)總體N(,2)的樣本.2未知.

求:均值的置信系數(shù)為1-的置信區(qū)間.2未知.想想看,用S2代替2.于是根據(jù)定理6.4.1,解:方差2未知方差2未知時(shí)的置信系數(shù)為1-的置信區(qū)間:設(shè)X1,X2,,Xn為來自正態(tài)總體N(,2)的樣本.(未知)

求:方差2的置信系數(shù)為1-的置信區(qū)間.解:根據(jù)定理6.4.1,正態(tài)總體方差2的區(qū)間估計(jì)由上,即得2的置信系數(shù)為1-的置信區(qū)間:

為了估計(jì)一件物體的重量,將其稱了1O次,得到的重量(單位：千克)為:10.l,10,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,1O.3,9.9

設(shè)所稱出的物體重量X服從N(,2).

求:該物體重量的置信系數(shù)為0.9