二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能(上)

3.3二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能

凡是由二階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。在控制工程中的許多系統(tǒng)都是二階系統(tǒng)，如電學(xué)系統(tǒng)、力學(xué)系統(tǒng)等。即使是高階系統(tǒng)，在簡化系統(tǒng)分析的情況下有許多也可以近似成二階系統(tǒng)。因此，二階系統(tǒng)的性能分析在自動(dòng)控制系統(tǒng)分析中有非常重要的地位?；?yàn)槎A系統(tǒng)的阻尼系數(shù)（阻尼比），稱為二階系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩頻率．或圖3.3.1標(biāo)準(zhǔn)化的二階系統(tǒng)1、數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)式通常都把二階系統(tǒng)的方程化成標(biāo)準(zhǔn)的微分方程形式：二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2、學(xué)習(xí)過的二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型設(shè)初始條件為零，當(dāng)輸入量為單位階躍函數(shù)時(shí)，輸出量的拉普拉斯變換式為閉環(huán)特征方程其特征根即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為

閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)決定了二階系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)下響應(yīng)的不同性質(zhì)。3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1.無阻尼（ζ=0）狀態(tài)時(shí)特征根閉環(huán)特征方程圖3.12ζ=0時(shí)特征根其輸出量的拉普拉斯變換上式取拉氏反變換，得響應(yīng)曲線為等幅振蕩曲線，稱為無阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)有一對共軛純虛根，見圖3.12圖3.13ζ=0時(shí)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線2.欠阻尼（0<ζ<1

）狀態(tài)特征根閉環(huán)特征方程系統(tǒng)有一對共軛復(fù)根，見圖3.14．阻尼自然振蕩頻率圖3.140<ζ<1時(shí)特征根其輸出量的拉普拉斯變換上式取拉氏反變換，得令(1)衰減的正弦振蕩曲線,振幅按指數(shù)衰減,振蕩頻率為，稱為阻尼自然振蕩頻率；(2)越小，振蕩越強(qiáng)；(3)阻尼角只與阻尼系數(shù)有關(guān)。圖3.140<ζ<1時(shí)特征根3.臨界阻尼（ζ=1）狀態(tài)閉環(huán)特征方程特征根系統(tǒng)特征根為一對相等的負(fù)實(shí)根，見圖3.16圖3.16ζ=1時(shí)特征根其輸出量的拉普拉斯變換上式取拉氏反變換，得出輸出的表達(dá)式1、響應(yīng)具有非周期性，沒有振蕩和超調(diào)，其響應(yīng)曲線如圖所示。圖3.17ζ=1時(shí)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線3、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為：4、穩(wěn)態(tài)誤差為0，說明典型二階系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號(hào)時(shí)，無穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)為無靜差系統(tǒng)。2、該響應(yīng)曲線不同于典型一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。4.過阻尼（ζ>1）狀態(tài)閉環(huán)特征方程特征根令系統(tǒng)特征根為一對不等的負(fù)實(shí)根，見圖3.18圖3.18ζ>1時(shí)特征根其輸出量的拉普拉斯變換上式取拉氏反變換，得圖3.19ζ>1時(shí)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線1、響應(yīng)具有非周期性，沒有振蕩和超調(diào)，該響應(yīng)曲線不同于典型一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。2、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為：3、穩(wěn)態(tài)誤差為0，說明典型二階系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號(hào)時(shí)，無穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)為無靜差系統(tǒng)。4、需要說明的是，對于臨界阻尼和過阻尼的二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)都沒有振蕩和超調(diào)，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間隨ζ的增加而變大，在所有無超調(diào)的二階系統(tǒng)中，臨界阻尼時(shí)，響應(yīng)速度最快。圖3.20二階系統(tǒng)在單位階躍作用下的響應(yīng)曲線3.3.3典型二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)1.欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

當(dāng)0<ζ<1時(shí),二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為（1）上升時(shí)間tr

根據(jù)上升時(shí)間的定義,當(dāng)t=tr時(shí)，y(tr)=1∵上升時(shí)間tr是y(t)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間弧度制計(jì)算（2）峰值時(shí)間tP

tP處有極值，故該處導(dǎo)數(shù)值為0

峰值對應(yīng)振蕩第一個(gè)周期內(nèi)極大值（3）超調(diào)量σ%

當(dāng)t=tP時(shí),y(t)有最大值上式表明，超調(diào)量σ％僅是阻尼比ζ的函數(shù)，與自然頻率ωn無關(guān)。圖3.21σ％

和ζ的關(guān)系（4）調(diào)節(jié)時(shí)間ts可見，寫出調(diào)節(jié)時(shí)間的表達(dá)式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一對包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為當(dāng)t=t’s時(shí)，有：

由于實(shí)際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快，因此可用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)來估算調(diào)節(jié)時(shí)間。即認(rèn)為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進(jìn)入誤差帶時(shí)，調(diào)整過程結(jié)束。當(dāng)z較小時(shí)，近似取，且所以（5）振蕩次數(shù)N由此可見振蕩次數(shù)N僅與阻尼系數(shù)ζ

有關(guān)。阻尼系數(shù)z是二階系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個(gè)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在z≥1的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但ts長。當(dāng)z≤0時(shí)，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。[總結(jié)]在欠阻尼情況下工作時(shí)，若過小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時(shí)間長，瞬態(tài)控制品質(zhì)差。注意到只與有關(guān)，所以一般根據(jù)來選擇。

越大，（當(dāng)一定時(shí)）為了限制超調(diào)量，并使較小，一般取0.4~0.8，則超調(diào)量在25%~1.5%之間。最佳阻尼比0.707,此時(shí)超調(diào)量為4.3%.2.過阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

階躍響應(yīng)是從0到1的單調(diào)上升過程，超調(diào)量為0。用ts即可描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

需要說明的是，在所有非振蕩過程中，臨界阻尼系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間最小。通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的時(shí)間響應(yīng)，即希望系統(tǒng)的阻尼系數(shù)在0.7左右。而不希望處于過阻尼情況(調(diào)節(jié)時(shí)間過長)。但對于一些特殊的不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)(如液位控制)和大慣性系統(tǒng)(如加熱裝置，艦船靠岸)，則可采用ζ

>1的過阻尼系統(tǒng)?！纠?-2】設(shè)控制系統(tǒng)方框圖如圖所示。當(dāng)有一單位階躍信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)，試求系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)tr、tp、ts、N和σ%.解:閉環(huán)傳遞函數(shù)為因此有:振蕩次數(shù)：性能指標(biāo)：【例3-3】一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，K＝4。求①該系統(tǒng)的阻尼比、自然振蕩角頻率和單位階躍響應(yīng)；②系統(tǒng)的峰值時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量；③若要求阻尼比等于0.707，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)放大系數(shù)K值。Y(s)R(s)_解：(1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為則單位階躍響應(yīng)為：(2)峰值時(shí)間為：調(diào)節(jié)時(shí)間為：超調(diào)量為：

從上可以看出，降低開環(huán)放大系數(shù)K值能使阻尼比增大、超調(diào)量下降，可改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。但在以后的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析中可知，降低開環(huán)放大系數(shù)將使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大。

(3)要求ζ=0.707時(shí):【例3-4】設(shè)典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：根據(jù)題意33單位階躍響應(yīng)極點(diǎn)位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個(gè)互異負(fù)實(shí)根單調(diào)上升一對負(fù)實(shí)重根

衰減振蕩一對共軛復(fù)根(左半平面）

等幅周期振蕩一對共軛虛根

典型二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的小結(jié)1.極點(diǎn)位置與階躍響應(yīng)形式的關(guān)系34z=0z=0.3z=1z=2z=00<z<1z=1z=2-1<z<0z=－0.05z=-1z=－1①阻尼系數(shù)、阻尼角與最大超調(diào)量的關(guān)系z=cos-1zd%z

=cos-1zd%0.184.26°72.90.6946.37°50.278.46°52.70.745.57°4.60.372.54°37.230.70745°4.30.466.42°25.380.7838.74°20.560°16.30.836.87°1.50.653.13°9.840.925.84°0.15⒉極點(diǎn)位置與特征參數(shù)z、wn及性能指標(biāo)的關(guān)系36②wn是極點(diǎn)到原點(diǎn)的直線距離，距離越大振蕩頻率越高。36③極點(diǎn)距虛軸的距離與系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間成反比(0<Z<0.8)對于臨界阻尼和過阻尼時(shí)，此規(guī)律也存在。-1-2-3-40ts=4ts=2ts=1【例3-5】求如下隨動(dòng)系統(tǒng)的特征參數(shù),分析與性能指標(biāo)的關(guān)系。+n-電壓放大器+-+-功放若假設(shè)電樞電感La=0，則Ta=0，方程為當(dāng)只考慮

ua時(shí)，電動(dòng)機(jī)的微分方程方程為電動(dòng)機(jī)傳遞函數(shù)為電壓放大器和功放的傳遞函數(shù)分別為K1和K2，可得方框圖因所以Y–K1K2R設(shè)Y–K1K2R，則閉環(huán)傳遞函數(shù)為：401、T不變，K↑下面分析瞬態(tài)性能指標(biāo)和系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系(假設(shè)):→

N↑。→z

↓→

d

%↑→