高二數(shù)學(xué)必修五導(dǎo)學(xué)案：3.4.4基本不等式（第4學(xué)時(shí)）

3．4．4基本不等式（第4課時(shí)）35**學(xué)習(xí)目標(biāo)**1．拓展基本不等式的內(nèi)涵，了解均值不等式不等式鏈；2．能綜合應(yīng)用均值不等式解決一些較復(fù)雜的問(wèn)題。**要點(diǎn)精講**1．均值不等式（不等式鏈）：若，則。其中，分別稱為正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)（H）、幾何平均數(shù)（G）、算術(shù)平均數(shù)（A）、平方平均數(shù)（P），即有?；竟δ苡校海?），將平方和與兩數(shù)和互化；（2），將和與積互化；（3），將和與倒數(shù)和互化；（4）重要變形：，其中為正數(shù)。2．含有參變量的恒成立問(wèn)題，常用分離參量的方法，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題得以解決。**范例分析**例1．（1）已知為正數(shù)，則的最小值為；（2）已知為正數(shù)，且，則的最小值為；（3）已知為正數(shù)，且，則的最小值為；例2．（1）已知x2+y2=4,則的最小值為（）新課標(biāo)第一網(wǎng)A.－2 B.－C.2－2 D.2+2（2）若實(shí)數(shù)m，n，x，y滿足，（a≠b）則的最大值是（）（A）（B）（C）（D）（3）若為正數(shù)，則的最小值是（）A、3B、C、4D、例3．（1）設(shè)，且恒成立，則的最大值是（）A、2B、3C、4D、5（2）若都是正實(shí)數(shù)，且不等式恒成立，則的最小值是（）21（3）若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為，實(shí)數(shù)的最小值為。例4、記。（1）是否存在，使？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若對(duì)任意的，恒有，請(qǐng)求出的取值范圍。請(qǐng)思考：若改，（2）的結(jié)論如何？規(guī)律總結(jié)1.應(yīng)用不等式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于要善于把等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等量關(guān)系，以及不等關(guān)系的轉(zhuǎn)化等，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式的問(wèn)題求解.2.與不等式相關(guān)聯(lián)的知識(shí)較多，如函數(shù)與不等式、方程與不等式、數(shù)列與不等式、解析幾何與不等式，要善于尋找它們之間的聯(lián)系，從而達(dá)到綜合應(yīng)用的目的.3.化歸思想在解決不等式問(wèn)題中占有重要位置，等式和不等式之間的轉(zhuǎn)化、不等式和不等式之間的轉(zhuǎn)化、函數(shù)與不等式之間的轉(zhuǎn)化等，對(duì)于這些轉(zhuǎn)化，一定要注意條件.4．引進(jìn)待定系數(shù)巧用基本不等式，體現(xiàn)了一定的數(shù)學(xué)智慧。**基礎(chǔ)訓(xùn)練**一、選擇題1．已知，全集為，集合，，，則滿足（）wWw.xKb1.coMA、B、C、D、2．若，，，，則（）A、B、C、D、3．已知不等式(x+y)(eq\f(1,x)+eq\f(a,y))≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A.2B.4C.6D.84．.已知a、b是不相等的正數(shù)，x=，y=，則x、y的關(guān)系是（）A.x＞y B.y＞x C.x＞y D.不能確定5．設(shè)且則之間的大小關(guān)系是（） A． B． C． D．二、填空題6．函數(shù)的值域?yàn)椤?．的三邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是。8．三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路．甲說(shuō)：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”．乙說(shuō)：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”．丙說(shuō)：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”．參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即的取值范圍是．三、解答題9．已知函數(shù)，且成等差數(shù)列。（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若是兩兩不等的正數(shù)，且成等比數(shù)列，試判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。10．（1）證明：一次函數(shù)，若，則對(duì)任意的，都有；（2）試證明：若，則。四、能力提高11．已知，且，則的最小值為（）A、1B、2C、3D、412．已知，求的最小值。3．4．4基本不等式（綜合應(yīng)用）例1．解：（1）當(dāng)時(shí)，最小值為4；（2）當(dāng)時(shí)，最小值為1；（3），由，得，當(dāng)時(shí)，最小值為8；例2．解：（1）方法1：令，則，再令，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)。選C。方法2：。（2）方法1，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值是；選B。方法2，令，，則；選B。評(píng)注：若由，則錯(cuò)選A，為什么？方法3，設(shè)，，則。選B。（3），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。例3．解：（1）令，則恒成立，因?yàn)椋实淖畲笾禐?。?）原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m≥恒成立.從而m的最小值就是的最大值.∵x＞0，y＞0，∴≥=.∴≤=.∴m的最小值為.（3）因?yàn)?，所以?shí)數(shù)的最小值為；又，所以實(shí)數(shù)的最大值為1。評(píng)注：分離參數(shù)法是求參數(shù)的范圍問(wèn)題常用的方法，化歸是解這類問(wèn)題常用的手段.例4．解：（1），因?yàn)?，所以。?dāng)時(shí)，存在滿足條件；當(dāng)或時(shí)，這樣的不存在。（2）由知，對(duì)任意的成立，只需不大于的最小值。方法1，因?yàn)?，從而，故。方?，根據(jù)分子、分母為齊次式的特點(diǎn)，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故。評(píng)注：（2）中方法1，由于系數(shù)的特殊性，很巧妙地利用基本不等式進(jìn)行了放縮，但對(duì)于更一般的系數(shù)，如根號(hào)下的系數(shù)2改為3，怎么辦？——引入待定系數(shù)，再用基本不等式：，則，只需，即，就有，從而。**參考答案**1~5AABBC；3．提示：不等式(x+y)()≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則≥≥9，∴≥2或≤－4(舍去)，所以正實(shí)數(shù)a的最小值為4，選B．4．提示：∵x2=（+）2=（a+b+2），X|k|B|1.c|O|my2=a+b=（a+b+a+b）＞（a+b+2）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.5．提示：令，則在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。6．令，則，由得，當(dāng)時(shí)，最大值為；當(dāng)時(shí)，最小值為?；颍?。7．；提示：，。8．；提示：由＋25＋|－5|≥，而，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；且，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；所以，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；故。9．解：（1）由已知，，得；（2）因?yàn)槭莾蓛刹坏鹊恼龜?shù)，且，