1998年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題及其解析

11221212112212121998年普高等學(xué)校招生全統(tǒng)一考試本試卷分第Ⅰ卷選擇題和第Ⅱ(選擇題)兩部分，總分值150分考試120分．第卷

(選題分)一選題：本大題15小題第1題題4分第1115每5，分在每給的個(gè)項(xiàng)，有項(xiàng)符題要的sin600

()(A)

(B)－

12

(C)

33(D)－22函數(shù)y=a(a的圖像是

()曲線的極坐標(biāo)方ρ=化成直角坐標(biāo)方程為

()(A)2

＋(y＋2)

=4(B)2

＋－2)(C)－＋y(D)(＋2)2

＋y2

=4兩條直線x＋B＋=0x＋y垂的充要條件是

()(A)A＋B=0(B)AA－B(C)

AA1BB1

(D)

函數(shù)fx)=

1

(x≠的反函數(shù)f(x)=()(A)(x≠0)(B)

1(≠－x≠(D)－

(≠已知點(diǎn)Pα－cos，α在第一象限，則在

[

內(nèi)的取值是

()(A)(

3，)()(B)(，)(2424

)(C)

353，)∪(，24

)(D)(

，∪，44

)已知圓錐的全面積是底面積的3，那么該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為)

00011120001112(A)120o

(B)150

(C)o

(D)240o復(fù)數(shù)－的個(gè)立方是i，它的另外兩立方根是

()(A)

3311i(B)－i(C)±i(D)±2222

i如果棱臺(tái)的兩底面積分別是，′，中截面的面積是S，么

()(A)2

S

SS

(B)S

(C)2=S＋′

(D)

S22S0向高為H的瓶中注水，注滿為止，如果注水量V水深h的數(shù)關(guān)系的圖像如以下圖所示，那么水瓶的形狀是

()3名醫(yī)生和6名士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校配1名醫(yī)生和護(hù)士．不同的分配方法共有

()(A)90種

(B)180種

(C)270

(D)540種橢圓

2123

=1的點(diǎn)F和F，點(diǎn)P在圓上，如果線段的點(diǎn)在軸上，那么PF是F的

()(A)7倍

(B)5倍

(C)4倍

(D)3倍球面上有3個(gè)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的圓的周長(zhǎng)為π，那么這個(gè)球的半徑為

16

，經(jīng)過(guò)這3個(gè)的小()(A)4

3

3

(C)2(D)

3一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為

()(A)arccos

52

(B)

52

(C)arccos

1(D)22

n1nn1111111121．n1nn1111111121．在等比數(shù){}，>1，且前n項(xiàng)S滿足lim=

1a

，那么a的值范圍是()(A)(1＋∞(B)(1，4)，2)(D)(1)第卷

(非選題分)二填題本題4小題每分共16分．答填題橫上16設(shè)圓過(guò)雙曲線

y2916

的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是_________17(＋10

(2的展開(kāi)式中x

的系數(shù)____________用數(shù)字作答〕18如圖，在直四棱柱AD－ABCD中當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿條件時(shí)，有AC⊥D(：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形)19關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2＋

3

)(∈)，以命題①由fxf)=0可x－必π的整數(shù)倍；②yfx)的表達(dá)式可改寫(xiě)為yx－

6

)；③yfx)的圖像關(guān)于(－

6

，0)對(duì)稱(chēng)；④yfx)的圖像關(guān)于直線x－

6

對(duì)稱(chēng)．其中正確的命題的序號(hào)是(注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)填上．三解題本題6??；69分．解應(yīng)出字明證過(guò)或演步．(20)(本題總分值分在△，a，bc分是角A，BC的邊，設(shè)a＋c，A－C=以下公式供解題時(shí)參考：

3

．求sinB的．θ＋

cos，θ－sin，222θ＋

cos，cos－cos2sinsin.222

1212121212(21)(本題總分值11分如圖，直線l和l相交于點(diǎn)Ml⊥l，點(diǎn)Nl．，為端點(diǎn)的曲線段上任一點(diǎn)到l的離與到點(diǎn)N的離相等．假AMN為角三角形AM．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段的程．

AN，(22)(本題總分值分如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從孔入，經(jīng)沉淀后從孔流出．設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米高度為米已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與的乘積ab成比．現(xiàn)制箱材料平米．問(wèn)當(dāng)為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最A(yù)、B孔面積忽略不)．

1111111111111111n11111111111111111n1110nnnbnan+1(23)(本題總分值分已知斜三棱柱－AC的面ACC與面ABC垂，o，BC=2AC=

，且⊥AC=CⅠ．求側(cè)棱與底面ABC所角的大??；Ⅱ．求側(cè)面與面ABC所成二面角的大?。虎螅箜旤c(diǎn)C到面的離．(24)(本題總分值分設(shè)曲線C的程是=x3，將C沿軸y正向分別平行移動(dòng)ts單長(zhǎng)后得曲線C．Ⅰ．寫(xiě)出曲線C的程；tⅡ．證明曲線C與關(guān)于點(diǎn)A(，)稱(chēng)；3Ⅲ．如果曲線C與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明s=(25)(本題總分值分

t34

－t．已知數(shù)列{}等差數(shù)列b=1，b＋＋＋=145．Ⅰ．求數(shù)列{}通；1Ⅱ．設(shè)數(shù)列{}通＋)(其中a＞，且≠，記是列{}前nnan項(xiàng)和．試比較與

13

logb的大小，并證明你的結(jié)論．

1998年普高等學(xué)校招生全統(tǒng)一考試數(shù)試〔工醫(yī)〕考案一選題此考基知和本算23B4A5B6B7D9B11．．A13B．B．D二填題此考基知和本算．

163

．179．

，或任何能導(dǎo)出這個(gè)條件的其他條件．例如正方形，菱形等．②，③三解題．本小題考查正弦定理，同角三角函數(shù)基本公式，誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力．解：由正弦定理和已知條件a得

sin+sinC=2sinB由和差化積公式得

Acos=2sinB.22由AB+=π

得

ABsin=cos，22又A=

得

3BcosB，2所以

3BBBcos=2sin22因?yàn)?<所以sin從而cos

<，cos≠，23=，4B=1sin24所以

324

12ABAAAAAAAB12122AB12ABAAAAAAAB12122ABN本題主要考查根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系曲方程的解析何的基本思想考查拋物線的概念和性質(zhì)線與方程的關(guān)系以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．解法一：如圖建立坐標(biāo)系，以l為x軸MN的直平分線為y軸點(diǎn)為標(biāo)原點(diǎn)．依題意知：曲線段C是點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l為線的拋物線的一段，其中A，B別為C的點(diǎn)．設(shè)曲線段C方程為y

=2〔p>0≤x，中x，分別為AB的橫坐標(biāo)p|.所以M

p2

，0〔，0由|=

，AN得〔x+

〕

+2px，①〔x－

〕+2px=9.

②由①，②兩式聯(lián)立解得=

4p

再將其代入①式并由>0解2,xxAA因?yàn)棣MN是銳角三角形，所以xA故舍去所以，x

p2x2A由點(diǎn)在曲線段上得=|BN－綜上得曲線段C的程為

y=8〔≤x≤4，>0〕解法二如圖建立坐標(biāo)系，分別以l、l為y軸，M為坐標(biāo)原點(diǎn)．作

l，

l，BF

l，足別為、、設(shè)Ax，B〔x，y〔，〕.

AAN2BNABAAN2BNAB依題意有x=|MEDA|=3y=|DM

AM

DA

，由于ΔAMN為銳角三角形，故有x=|ME|+|EN=|ME

AN

=4x=||=|BN|=6.設(shè)點(diǎn)〔x，y〕是曲線上任一點(diǎn)，則由題意知P屬集合，y〕〔x－x〕+=2故曲線段C方程為

，x≤x≤，｝y

=8－2≤≤6，y>0〕本題主要考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題能力查建立函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識(shí)．解法一設(shè)y為出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y=即所求的a，b值使y值最小.根據(jù)題設(shè)，有b=60〔a>0b>0

ab

，其中k>0比例系數(shù)依題意，得

=

302

〔〕.

①于是

y

kk=ab30a

32

64a

k

≥

k

k18

，當(dāng)a

64a

時(shí)取等號(hào)，y到達(dá)最這時(shí)，a=10舍去.將a=6代①式得b=3.故當(dāng)為6米，為3米，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最.解法二：題意，即所求的a，值使最.由題設(shè)知ab+2a〔a，b

111111111111111111111111111111111111111111111111即因?yàn)?/p>

b+=30〔a>0，〕.b≥22，所以

2ab

+ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，上式取等由a>0b>0解得ab≤18.即當(dāng)，ab取最大值，其最大值為18.所以

=18.得b=3a故當(dāng)為6米，為3米，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。拘☆}主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系棱柱的性質(zhì)，空間的角和距離的概念，邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力．Ⅰ．解：A，垂足，由面AABC得AD面，所以∠A與面成的角因?yàn)?/p>

A，=A，所以∠A=45為所求ⅡDE

AB為EAED

面ABCAE

AB.所以∠A面A與ABC所成二面角的平面由已知AB，得EDBC又是的點(diǎn)，BC，

3

，所以DE=1，ADAD

3

，

tgA=

ADDE

=

3

故∠AEDo所求.Ⅲ解法一：由點(diǎn)作面A的線垂為H則CH長(zhǎng)是C到面A的距離連結(jié)HB，由于AB，得HB又AB，∥，BC∥ED所以∠=∠Ao所以BCsin60o=解法二：結(jié)B.

3

為所求

11B11112211212222211B1111221121222222221111根據(jù)定義，點(diǎn)C到ABB的離，即為三棱錐－AAB高h(yuǎn).由

錐錐AABC

得

1D31

，即

11h233所以

h

3

為所求．本小題主要考查函數(shù)圖像、方程與曲線，曲線的平移、對(duì)稱(chēng)和相交基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)動(dòng)、變換等數(shù)學(xué)思想方法以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能.Ⅰ．解：線C的程為y〔－t3〔－t+.Ⅱ證明：在曲線上取一點(diǎn)B〔x，y設(shè)〔y〕B關(guān)于點(diǎn)的稱(chēng)點(diǎn)，則有xtys12，222

所以x=－x，

y=－.代入曲線C方程，得x和滿方程：s－y=〔－x〕－〔tx即

y=x－〕3〔x－〕s，可知點(diǎn)〔，y〕曲線C上反過(guò)來(lái)，同樣可以證明，在曲線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在曲線上因此，曲線C與C關(guān)點(diǎn)對(duì).Ⅲ．證明：因?yàn)榍€C與C有僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，方程組x)

有且僅有一組解.消去y，整理得－3t2+t3t〕=0，這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個(gè).所以t≠0并其根的判別式Δ=9t4

－t〔t3

－－〕

nnnnnaaaaanananannnnnaaaaananana即

t(tts)0.所以

t34

且t≠0.．本小題主要考查等差數(shù)列基本概念及其通項(xiàng)求法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)性，考查歸納、推理能力以及用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行論證的能解：Ⅰ．設(shè)數(shù)列{}公差為d，由題意得10bd145.