山東省青島市平度朝陽中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山東省青島市平度朝陽中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)(a>0且)在(∞，+∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)的圖象是參考答案：C略2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＞0，3a8=5a13，則Sn中最大的是(

) A．S10 B．S11 C．S20 D．S21參考答案：C考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由題意可得：等差數(shù)列的公差d＜0，結(jié)合題意可得a1=﹣19.5d，可得Sn=0.5dn2﹣20dn，進(jìn)而結(jié)合二次不等式的性質(zhì)求出答案．解答： 解：由題意可得：等差數(shù)列的Sn為二次函數(shù)，依題意是開口向下的拋物線故有最大值，所以等差數(shù)列的公差d＜0．因?yàn)閍13=a8+5d，所以a1=﹣19.5d由Sn=n×a1+d可得Sn=0.5dn2﹣20dn，當(dāng)n=20時(shí)．Sn取得最大值．故選C．點(diǎn)評：本題是一個(gè)最大值的問題，主要是利用等差數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式以及結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來解題．3.已知函數(shù)f（x）=x在[0，1）上的最大值為m，在（1，2]上的最小值為n，則m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】通過變形可知f（x）=1++sinπx，進(jìn)而可知當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，函數(shù)g（x）=+sinπx滿足g（2﹣x）=﹣g（x），由此可知在區(qū)間[0，1）∪（1，2]上，函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，1）中心對稱，利用對稱性即得結(jié)論．【解答】解：f（x）=x=1++sinπx，記g（x）=+sinπx，則當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，g（2﹣x）=+sinπ（2﹣x）=﹣sinπx，即在區(qū)間[0，1）∪（1，2]上，函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，1）中心對稱，∴m+n=2，故選：D．4.已知函數(shù)滿足：①定義域?yàn)镽；②，有；③當(dāng)時(shí)，．記．根據(jù)以上信息，可以得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．15

B．10

C．9

D．8參考答案：B5.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2)，當(dāng)x∈[3，5]時(shí)，f(x)=2-|x-4|，則（A）f(sin)<f(cos)

（B）f(sin1)>f(cos1)（C）f(cos)<f(sin)

（D）f(cos2)>f(sin2)參考答案：答案：D6.已知向量=(3，1)，=(﹣1，3)，=m﹣n（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，則的取值范圍是（）A． [，2]

B．[，2] C．[，]

D．[，2]參考答案：B【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃；簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的計(jì)算公式可得=，可以令t=，將m+n∈[1，2]的關(guān)系在直角坐標(biāo)系表示出來，分析可得t=表示區(qū)域中任意一點(diǎn)與原點(diǎn)（0，0）的距離，進(jìn)而可得t的取值范圍，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），則==，令t=，則=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐標(biāo)系表示如圖，t=表示區(qū)域中任意一點(diǎn)與原點(diǎn)（0，0）的距離，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故選：B．7.函數(shù)的最小正周期為（

）A. B.2π C. D.π參考答案：D【分析】利用降次公式化簡表達(dá)式，再由此求得最小正周期.【詳解】因，所以最小正周期為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)降次公式，考查三角函數(shù)最小正周期的求法，屬于基礎(chǔ)題.8.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）A．至少有1個(gè)白球；都是白球B．至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C．恰有1個(gè)白球；恰有2個(gè)白球D．至少有一個(gè)白球；都是紅球參考答案：C【考點(diǎn)】互斥事件與對立事件．【分析】由題意知所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為：“都是白球”，“1個(gè)白球，1個(gè)紅球”，“都是紅球”，再根據(jù)互斥事件的定義判斷．【解答】解：A、“至少有1個(gè)白球”包含“1個(gè)白球，1個(gè)紅球”和“都是白球”，故A不對；B、“至少有1個(gè)紅球”包含“1個(gè)白球，1個(gè)紅球”和“都是紅球”，故B不對；C、“恰有1個(gè)白球”發(fā)生時(shí)，“恰有2個(gè)白球”不會(huì)發(fā)生，且在一次實(shí)驗(yàn)中不可能必有一個(gè)發(fā)生，故C對；D、“至少有1個(gè)白球”包含“1個(gè)白球，1個(gè)紅球”和“都是白球”，與都是紅球，是對立事件，故D不對；故選C．【點(diǎn)評】本題考查了互斥事件和對立事件的定義的應(yīng)用，一般的做法是找出每個(gè)時(shí)間包含的試驗(yàn)結(jié)果再進(jìn)行判斷，是基礎(chǔ)題．9.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，+)上單調(diào)遞增，則滿足f(m)<f(1)的實(shí)數(shù)m的范圍是

A．l<m<0

B．0<m<1C．l<m<1

D．l≤m≤1參考答案：C10.函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的x的取值范圍是（

）A.[－2,2] B.[1,3] C.[－1,1] D.[0,4]參考答案：D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性把變換為對應(yīng)函數(shù)值，再利用函數(shù)的單調(diào)性得到答案.【詳解】函數(shù)在為奇函數(shù)．若，滿足則：函數(shù)在單調(diào)遞減即：故答案為D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于簡單題型.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等差數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前15項(xiàng)的和為

．參考答案：1512.已知，，，。根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是

；參考答案：，13.三棱錐及其三視圖中的主視圖和左視圖如圖所示，則棱的長為______.參考答案：取AC的中點(diǎn)，連結(jié)BE,DE由主視圖可知.且.所以，即。14.已知函數(shù)f（x）=，若f（a）＞f（2﹣a），則a的取值范圍是

．參考答案：a＞1【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】函數(shù)f（x）=在R上單調(diào)遞增，利用f（a）＞f（2﹣a），可得a＞2﹣a，即可求出a的取值范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=在R上單調(diào)遞增，∵f（a）＞f（2﹣a），∴a＞2﹣a，∴a＞1，故答案為a＞1【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生解不等式的能力，屬于中檔題．15.（5分）（2015?西安校級二模）將數(shù)列{3n﹣1}按“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，則第10組中的第一個(gè)數(shù)是．參考答案：345【考點(diǎn)】：歸納推理．【專題】：規(guī)律型；歸納猜想型．【分析】：根據(jù)前三個(gè)分組中的第一個(gè)數(shù)分別為1，3，27，可以歸納每一組的第一個(gè)數(shù)的規(guī)律，利用歸納推理進(jìn)行歸納．解：根據(jù)分組的第一個(gè)數(shù)分別為1=30，3=31，27=33，可知指數(shù)的指數(shù)冪分別為0，1，3，6，設(shè)指數(shù)冪構(gòu)成數(shù)列{an}，則a1=0，a2=1，a3=3，滿足a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，…a10﹣a9=9，等式兩邊累加得，a10﹣a1=1+2+???+9=，即a10=45，所以第10組中的第一個(gè)數(shù)是345．故答案為：345．【點(diǎn)評】：本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，觀察數(shù)組第一個(gè)數(shù)的規(guī)律，是解決本題的關(guān)鍵．16.已知O是銳角△ABC的外接圓的圓心，且，其外接圓半徑為R，若，則m=

．參考答案：考點(diǎn)：正弦定理；平面向量的基本定理及其意義；與圓有關(guān)的比例線段．專題：解三角形；平面向量及應(yīng)用．分析：先把等式中向量用表示出來，然后兩邊同與向量作數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合正弦定理化邊為角即可求得m值．解答： 解：由，得=，兩邊同時(shí)乘向量，得+=，即+=﹣mR2，所以+=﹣，由正弦定理可得，m，所以﹣2sinCcosB﹣2sinBcosC=﹣m，即2sin（B+C）=m，也即2sinA=2sin=m，所以m=．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查平面向量的基本定理、向量數(shù)量積運(yùn)算、正弦定理等知識(shí)，本題解答的關(guān)鍵是兩邊同乘向量，具有一定技巧．17.已知△A1B1C1的三內(nèi)角余弦值分別等于△A2B2C2三內(nèi)角的正弦值，那么兩個(gè)三角形六個(gè)內(nèi)角中的最大值為．參考答案：鈍角【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【專題】計(jì)算題；解題思想；綜合法；解三角形．【分析】由題意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，從而A1，B1，C1均為銳角，從而得到△A2B2C2不可能是直角三角形．假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形，推導(dǎo)出π=，不成立，從而△A2B2C2是鈍角三角形，由此能求出兩個(gè)三角形六個(gè)內(nèi)角中的最大值為鈍角．【解答】解：∵△A1B1C1的三內(nèi)角余弦值分別等于△A2B2C2三內(nèi)角的正弦值，∴由題意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，∴A1，B1，C1均為銳角，∴△A1B1C1為銳角三角形，∵A1，B1，C1∈（0，），∴cosA1，cosB1，cosC1∈（0，1）∴sinA2，sinB2，sinC2∈（0，1）∴A2，B2，C2≠，∴△A2B2C2不可能是直角三角形．假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形，則cosA1=sinA2=cos（A2），cosB1=sinB2=cos（﹣B2），cosC1=sinC2=cos（﹣C2），∵A2，B2，C2均為銳角，∴﹣A2，﹣B2，﹣C2也為銳角，又∵A1，B1，C1均為銳角，∴A1=﹣A2，B1=﹣B2，C1=﹣C2三式相加得π=，不成立∴假設(shè)不成立，△A2B2C2不是銳角三角形綜上，△A2B2C2是鈍角三角形．∴兩個(gè)三角形六個(gè)內(nèi)角中的最大值為鈍角．故答案為：鈍角．【點(diǎn)評】本題考查兩個(gè)三角形六個(gè)內(nèi)角中的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題14分）長方體中，，，

是側(cè)棱的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）求三棱錐的體積；（3）求異面直線與所成角的大小；

參考答案：解：（1）依題意：，，則平面.

┈┈┈┈┈┈4分（2）--8分(3)（文）取的中點(diǎn)F,連接D1F,則//D1F,所以即為求異面直線與所成角。在中，可求得=┈14分

(理)取的中點(diǎn)，連，則、，所以平面.過在平面中作，交于，連，則,所以為二面角的平面角.在中，┈14分（用向量做同樣給分）19.（12分）（原創(chuàng)）已知橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，其離心率為，且與軸的一個(gè)交點(diǎn)為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓C過點(diǎn)，P是橢圓C上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)P處作橢圓C的切線，到的距離分別為.探究：是否為定值？若是，求出定值；若不是說明理由(提示：橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程是)；（3）求（2）中的取值范圍.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;直線與圓錐曲線的綜合問題.H5H8(1)或（2）見解析;(3)解析：(1)由題，，因?yàn)闄E圓C與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則若，則，則橢圓C方程為；若，則，則橢圓C方程為.故所求為者或（2）因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)，故橢圓C方程為，且設(shè)，則的方程是，則，因?yàn)?，故，故，又因?yàn)?，代入可得，故為定值；?）由題因?yàn)椋?【思路點(diǎn)撥】（1）由離心率為得到,而橢圓C與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則分類分析可得結(jié)果;（2）由已知條件確定橢圓方程為,然后找出的表達(dá)式,再結(jié)合,可得結(jié)果為定值;（3）由題意求出其表達(dá)式,借助于可得結(jié)果.20.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知，，，E為DC上一點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.參考答案：（1）證明見解析；（2）【分析】（1）先證明，再利用線面平行的判定即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出面和面的法向量，利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】解：（1）證明：由題意可知，∵，且，

∴，，

故四邊形為平行四邊形，

∴，，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∵平面，平面，

∴平面.（2）由已知直四棱柱，且，則兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系：則設(shè)面的法向量為，又則，令，可得；設(shè)面的法向量為，又則，令，可得，設(shè)二面角的平面角的大小為，由圖可知為銳角，則，，二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查向量法求二面角，是中檔題.21.用水清洗一堆水果上殘存的農(nóng)藥，假定用1個(gè)單位的水可清洗掉水果上殘存農(nóng)藥量的50%。用水越多，清洗越干凈，但總還有極少量農(nóng)藥殘存在水果上。設(shè)用x個(gè)單位的水清洗一次水果后，殘存的農(nóng)藥量與本次清洗前殘存的農(nóng)藥量之比記為函數(shù)。

（1）請規(guī)定的值，并說明其實(shí)際意義。

（2）寫出滿足的條件和具有的性質(zhì)。

（3）設(shè)，現(xiàn)有個(gè)單位的水，可以清洗一次，也可以把水等分成2份后清洗兩次，說明哪種方案能使水果上殘存的農(nóng)藥量較少。參考答案：解析：（1）設(shè)，表示未清洗時(shí)水果上殘留的農(nóng)藥量。

（2）滿足：

，，

具有的性質(zhì)：

在［０，）上單調(diào)遞減，且

（3）方案1：用m個(gè)單位的水，僅清洗一次

因?yàn)?，所?/p>

所以用m個(gè)單位的水，僅清洗一次，則水果上殘存的農(nóng)藥量為

方案2：把m個(gè)單位的水等分成2份來清洗

因?yàn)?/p>

又表示用x個(gè)單位的水清洗一次后，殘存的農(nóng)藥量與本次清洗前殘存的農(nóng)藥量之比，所以用個(gè)單位的水清洗以后，水果上殘存的農(nóng)藥為

；

再用個(gè)單位的水清洗后，水果上殘存的農(nóng)藥量