高等數(shù)學(xué) 第三章第六節(jié)

1、弧長(zhǎng)的定義oyxM0Mx0x設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有連續(xù)得導(dǎo)數(shù)，曲線(xiàn)y=f(x)上固定點(diǎn)M0(x0,y0)為度量弧長(zhǎng)得基點(diǎn)，并規(guī)定依x增大的方向?yàn)榍€(xiàn)的正向，曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)M(x,y),規(guī)定弧長(zhǎng)S的長(zhǎng)度的絕對(duì)值等于這段弧的長(zhǎng)度,有向3.6弧微分曲率函數(shù)作圖3.6.1弧微分2、弧微分公式oyxM0Mx0x弧微分公式3.6.2曲率及其計(jì)算曲率是描述曲線(xiàn)局部性質(zhì)（彎曲程度）的量．))弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大1、曲率的定義)曲線(xiàn)的彎曲程度與切線(xiàn)轉(zhuǎn)角的大小成正比，與弧的長(zhǎng)度反比M0Myox)yxo（定義曲線(xiàn)C在點(diǎn)M處的曲率oM再如，設(shè)圓的半徑為a，如圖圓的任意一點(diǎn)處曲率都是,圓的各點(diǎn)的彎曲程度一樣，且半徑越小的圓彎曲越厲害.2、曲率的計(jì)算公式例：求半徑為R 的圓的曲率解：設(shè)圓的方程為x2+y2=R2,由隱函數(shù)求導(dǎo)法例1解顯然,曲率圓與曲率半徑這個(gè)圓就叫做曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的曲率圓.曲率圓的圓心叫做曲線(xiàn)在點(diǎn)M的曲率中心,曲率圓的半徑ρ叫做曲線(xiàn)在點(diǎn)M的曲率半徑.MDOXy在點(diǎn)M處,曲率圓和曲線(xiàn)y=f(x)有相同的切線(xiàn)和曲率,并且在點(diǎn)M有向同的凹向,因此,在點(diǎn)M可用曲率圓弧近似代替曲線(xiàn)弧.曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)M處的曲率K和該點(diǎn)的曲率半徑的關(guān)系為:故當(dāng)曲率半徑較大時(shí),曲率較小,曲線(xiàn)彎曲較輕;故當(dāng)曲率半徑較小時(shí),曲率較大,曲線(xiàn)彎曲較厲害.1.曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù).注意:2.曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的曲率半徑越大,曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的曲率越小(曲線(xiàn)越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線(xiàn)越彎曲).3.曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附近曲線(xiàn)弧(稱(chēng)為曲線(xiàn)在該點(diǎn)附近的二次近似).例4:設(shè)某零件內(nèi)表面的截線(xiàn)為拋物線(xiàn)y=0.4x2,加工時(shí)用砂輪磨削其內(nèi)表面,問(wèn)選用直徑多大的砂輪才合適？oxy解:拋物線(xiàn)在頂點(diǎn)處曲率最大,曲率半徑最小,砂輪半徑不應(yīng)大于頂點(diǎn)處的曲率半徑.這里求出拋物線(xiàn)y=0.4x2在點(diǎn)(0,0)處的曲率.點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例2證如圖（（在緩沖段上,實(shí)際要求例3解如圖,受力分析視飛行員在點(diǎn)o作勻速圓周運(yùn)動(dòng),O點(diǎn)處拋物線(xiàn)軌道的曲率半徑得曲率為曲率半徑為即:飛行員對(duì)座椅的壓力為641.5千克力.3.6.3漸近線(xiàn)定義:1.鉛直漸近線(xiàn)例如有鉛直漸近線(xiàn)兩條:注意:例1解3.6.4函數(shù)圖形描繪利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第三步第四步確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線(xiàn)、斜漸近線(xiàn)以及其他變化趨勢(shì);第五步作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無(wú)對(duì)稱(chēng)性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值點(diǎn)間斷點(diǎn)作圖例：作出y=3x-x3的圖形.-1(-1,0)0(0,1)10_0++_++0__極小值拐點(diǎn)(0,0)極大值符號(hào)“”表示單調(diào)減少下凸.曲線(xiàn)無(wú)水平、垂直漸進(jìn)線(xiàn),利用函數(shù)的奇偶性,可描繪函數(shù)圖形如下:oxy-2-11212-1-2(-3,3)3(3,6)6-+-------0+間斷點(diǎn)極大值拐點(diǎn)極大值f(3)=4,得點(diǎn)(3,4),綜合上述描繪函數(shù)圖形如下oxyX=-3例3解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).拐點(diǎn)極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)例4解無(wú)奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)極大值極小值小結(jié)運(yùn)用微分學(xué)的理論,研究曲線(xiàn)和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支——微分幾何學(xué).基本概念:弧微分,曲率,曲率圓.曲線(xiàn)彎曲程度的描述——曲率;曲線(xiàn)弧的近似代替曲率圓(弧).函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察.最大值最小值極大值極小值拐點(diǎn)凹的凸的單增單減思考題

1、橢圓