應用彈塑性力學ch5-part1-簡單的彈塑性力學問題

Ch5簡單的彈塑性力學問題

part-15.1簡單桁架的彈塑性分析(b)如圖所示為三桿對稱桁架,假定材料是理想彈塑性的.設桁架所受的鉛垂力為F作用.各桿截面積均為A,中間桿2的長度為.若用分別表示桿1、桿2和桿3的內力，求出各桿的應力和應變。由靜力平衡，得各桿的應力為（5.1)式（5.13)代人（5.12）得(5.2)若以分別表示杠1、2、3的伸長，則在小變形情況下，有式中：表示節(jié)點A的位移。各桿中的應變?yōu)?5.3)因此，有變形協(xié)調關系(5.4)幾何關系1、彈性階段——彈性解和彈性極限荷載當荷載P足夠小時，各桿應力都小于屈服應力，整個桁架處于彈性階段。由虎克定律有(5.5)聯(lián)立式(5.2)、(5.3)和(5.5)并求解，得(5.6)由式(5.6)可見，當P增加時，桿2將首先屈服。顯然，當時，桁架開始初始屈服，由式（5.6)可求得桁架初始屈服時對應的荷載值

稱為彈性極限載荷，它是桁架采用彈性理論設計時所能承受的最大載荷。(5.7)應用的表達式,可以將(5.6)改寫成(5.8)彈性解彈性解代入本構關系(5.5),得(5.9)再把式(5.9)代入幾何關系(5.3),得節(jié)點A的位移為(5.10)令式(5.10),可得節(jié)A的位移為(5.11)彈性極限位移2.彈塑性階段——彈塑性解和塑性極限荷載當桿2發(fā)生初始屈服時，由于其他兩桿尚未屈服，可繼續(xù)加載。當時，這時桁架進入彈塑性階段。由于材料為理想彈塑性，桿2的應力不能提高（變形可以增加），即有將式(5.12)代入平衡關系（5.2),得(5.12)(5.13)桁架的塑性變形當杠2屈服時，處于所謂的塑性流動階段，對單獨的2桿理論上可以發(fā)生任意伸長，但由于在節(jié)點A處受到其他兩根彈性桿的約束而不能任意伸長，此時桁架稱為有約束塑性變形階段。為求出桿2的應變和節(jié)點A處的位移，必須先用彈性關系求出桿1和3的應變。將式（5.12)代入本構關系，得(5.14)

再將式（5.14)代入變形協(xié)調關系（5.4),得(5.15)(5.15)代入幾何關系式（5.3),得到節(jié)點A的位移為(5.28)在桿2屈服后，隨著荷載F的進一步增加，由于桿2中的應力不能再增加，增加的荷載由桿1和桿3分擔。當時桁架的三根桿全部進入塑性流動狀態(tài)。由式(5.13)有(5.17)式中：稱為塑性極限荷載，相應的狀態(tài)稱為塑性極限狀態(tài)。由于此時三桿均已屈服，變形不再受到任何約束，桁架進入無限制塑性變形階段，結構喪失承載能力，所以，又表示桁架的極限承載能力。從式(5.17)可以發(fā)現(xiàn)，與材料的彈性模量無關，這表明，如果采用理想剛塑性模型，則求出的塑性極限荷載仍一樣。這為結構的極限分析帶來方便。將式（5.17)代入式(5.16)，可得到桁架剛剛進入塑性極限狀態(tài)時節(jié)點A的位移。（5.18)式中：稱為塑性極限位移將式（5.7)和式(5.11)表示的彈性極限載荷和彈性極限位移與式（5.17)和式（5.18)表示的塑性極限載荷和塑性極限位移比較，得:(5.19)由（5.19)可見：這些數(shù)據(jù)說明，桁架的塑性極限荷載總比彈性極限荷載大，而塑性極限變形與彈性極限變形在同一數(shù)量級。因此，采用塑性分析更能發(fā)揮結構的潛力，尤其當桁架的超靜定次數(shù)更高時，將提高更多。彈性解彈性解彈性極限解彈塑性解3.卸載——殘余應力和殘余變形若荷載增加到值（）后卸載，由于卸載服從彈性規(guī)律，因此，如果在卸載過程中，桁架各桿不發(fā)生反向屈服，則我們可以假想在節(jié)點A施加一個大小與卸載時荷載的改變量相等的假想荷載，按彈性規(guī)律求得其引起的應力、應變和位移，然后將卸載前的應力、應變和位移與之相減，就得到卸載后的應力、應變和位移。設卸載時載荷變化量為，則由式(5.6)、式（5.8）和式(5.10)得(5.20)若將（5.21-1)式中：表示（5.21-1)確定的卸載前的應力量（式中的P用代替）。可見盡管外載荷已經完全卸除，但各桿中仍有應力，這種應力稱為殘余應力。

同理，可求得各桿中的殘余應變(5.21-2)節(jié)點A的殘余變形為(5.21-3)注：1）從式（5.21-1)和式（5.21-2)可以發(fā)現(xiàn)，桿1，3內殘余應力為拉應力，桿2中殘余應力為壓應力，但各桿的殘余應變均大于零。原因是它們要滿足如下的平衡關系與變形協(xié)調關系：2）對于超靜定結構，當卸去外載后，殘余應變不等于塑性應變，它包含有彈性應變（如桿1的應變）。只有靜定結構卸載后的應變是塑性應變。5.1.3加載路徑對桁架變形的影響考慮上一節(jié)的三桿桁架，現(xiàn)設桁架同時受鉛直力P和水平力Q的作用。我們將P和Q按不同的加載方案施加在桁架上，討論當荷載的最終數(shù)值一樣，但加載路徑不同對桁架變形的影響。1.加載方案1：比例加載在整個加載過程中，保持單調增加，直到桁架到達塑性極限狀態(tài)，這種加載路徑屬于比例加載。l=hPQ桁架平衡關系為(5.27)這里取若以u,v分別表示節(jié)點A的水平和垂直位移，則各桿的應變與節(jié)點位移之間有（幾何關系）：(5.28)由式(5.28),得變形協(xié)調關系(5.29)當P從零開始增加，而整個桁架處于彈性階段，彈性本構關系(5.5)仍成立。聯(lián)立方程(5.27)、(5.28)與(5.5)求解，得三桿內的應力可見，其中最大，是壓應力。當時，桿1發(fā)生屈服，此時對應的荷載、應力和位移為(5.31)其中當P繼續(xù)增加時,桿1保持不變,即桿2和桿3仍處于彈性狀態(tài)。由平衡關系的增量形式，可解得桿2和桿3的應力增量(5.31)將它們代入本構關系（5.17)，得到桿2和桿3的彈性應變增量(5.43)利用變形協(xié)調關系(5.40)，進一步可得到桿1的塑性應變增量(5.44)將式(5.43)和式(5.44)代入幾何關系(5.39)，求得節(jié)點A的位移增量為桿2和桿3的應力增量與式(5.41)的應力值相加，得(5.45)從上式可以發(fā)現(xiàn)，當表明此時整個桁架達到塑性極限狀態(tài)。最終的荷載、應力和節(jié)點位移為2.加載方案2:非比例加載第二種加載路徑是:先只加P使桁架達到極限荷載然后保持節(jié)點豎直位移不變,從零開始增加Q直到(5.46)當時,對應的各桿內的應力和節(jié)點位移為現(xiàn)保持v不變,也即,施加Q,則,由幾何關系得到可見,此時桿1和桿3仍保持塑性狀態(tài),而桿2卸載,因而有(5.47)將上式代入平衡關系的增量形式,求得此時各桿內的應力為從上式可以看出,當