普通物理學(xué)講義(運(yùn)動(dòng)2)

△rABrArBOddddddddktzjtyitxtrv++==vrvvvzyxkvjviv++=vvv何時(shí)取等號(hào)？直線直進(jìn)運(yùn)動(dòng)曲線運(yùn)動(dòng)設(shè)質(zhì)點(diǎn)繞圓心在作變速圓周運(yùn)動(dòng)，在其上任意選一點(diǎn)可建立如下坐標(biāo)系，其中一根坐標(biāo)軸沿軌跡在該點(diǎn)P的切線方向，該方向單位矢量用et表示；另一坐標(biāo)軸沿該點(diǎn)軌跡的法線并指向曲線凹側(cè)，相應(yīng)單位矢量用en表示，這就叫自然坐標(biāo)系。

一、切向加速度法向加速度顯然，沿軌跡上各點(diǎn)，自然坐標(biāo)軸的方位是不斷變化著的?！?-2圓周運(yùn)動(dòng)和一般曲線運(yùn)動(dòng)

1.自然坐標(biāo)系BRdA為單位矢量，

大小不變，但方向改變t時(shí)刻：A點(diǎn)t+dt時(shí)刻：B點(diǎn)

dt時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)弧長(zhǎng)dsds對(duì)應(yīng)圓心角角度d2.切向加速度法向加速度

即與

同向BRdA圓周運(yùn)動(dòng)中的切向加速度at和法向加速度an

切向加速度改變速度的大小，法向加速度改變速度的方向。OXR角位移沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，角位移取正值沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，角位移取負(fù)值角位置角速度角加速度單位：rad/s單位：rad/s2二、圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述勻角加速圓周運(yùn)動(dòng)是恒量一般圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是恒量討論：ROx

圓周運(yùn)動(dòng)既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者應(yīng)有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

+00+t+tBtA

圖示，一質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)：在t時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的角位移為，則A、B間的有向線段與弧將滿足下面的關(guān)系兩邊同除以t，得到速度與角速度之間的關(guān)系：將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到切向加速度與角加速度之間的關(guān)系：將速度與角速度的關(guān)系代入法向加速度的定義式，得到法向加速度與角速度之間的關(guān)系：線量速度、加速度角量角速度、角加速度勻速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻速率圓周運(yùn)動(dòng)變速曲線運(yùn)動(dòng)討論：例題1-2計(jì)算地球自轉(zhuǎn)時(shí)地面上各點(diǎn)的速度和加速度。解：地球自轉(zhuǎn)周期T=246060s，角速度大小為：

如圖，地面上緯度為的P點(diǎn)，在與赤道平行的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng),R赤道R’p

其軌道的半徑為P點(diǎn)速度的大小為P點(diǎn)只有運(yùn)動(dòng)平面上的向心加速度，其大小為P點(diǎn)速度的方向與過(guò)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)平面上半徑為R的圓相切。P點(diǎn)加速度的方向在運(yùn)動(dòng)平面上由P指向地軸。已知北京、上海和廣州三地的緯度分別是北緯3957、3112和

2300，可算出三地的v和

an分別為：北京：上海：廣州：解：由題意，可得該點(diǎn)的速率為：

例題1-3一飛輪邊緣上一點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程與時(shí)間的關(guān)系為，v0、b都是正的常量。（1）求該點(diǎn)在時(shí)刻t的加速度；（2）t為何值時(shí)，該點(diǎn)的切向加速度與法向加速度的大小相等？已知飛輪的半徑為R.上式表明，速率隨時(shí)間t而變化，該點(diǎn)做勻變速圓周運(yùn)動(dòng)

（1）t

時(shí)刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:Ro加速度方向由它和速度的夾角確定為：

（2）令at=an，即得例題1-4如圖a所示為一曲柄連桿機(jī)構(gòu)，曲柄OA長(zhǎng)為r，連桿AB長(zhǎng)為l，AB的一段用銷子在A處與曲柄OA相連，另一端以銷子在B處與活塞相連。當(dāng)曲柄以勻角速ω繞軸O旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過(guò)連桿將帶動(dòng)B處活塞在汽缸內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)，試求活塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。解：取O為原點(diǎn)，Ox軸水平向左，如圖b所示；并設(shè)開始時(shí)，曲柄A在Ox軸上的點(diǎn)P處。當(dāng)曲柄以勻角速ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在t時(shí)刻曲柄轉(zhuǎn)角為φ=ωt以，這時(shí)B處活塞的位置為x=OR+RB，即這就是活塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程我們把上式右端第2項(xiàng)按二項(xiàng)式定理展開為級(jí)數(shù)：一般r/l<1/3.6,因此高階小量可以略去，于是的活塞的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

拋體運(yùn)動(dòng)：從地面上某點(diǎn)向空中拋出的物體在空中所做的運(yùn)動(dòng)稱拋體運(yùn)動(dòng)。

以拋射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸。設(shè)拋出時(shí)刻t=0的速率為v0，拋射角為

，三、拋體運(yùn)動(dòng)的矢量描述則初速度分量分別為：故任意時(shí)刻的速度為：將上式積分，得運(yùn)動(dòng)方程為:

物體在空中飛行回落到拋出點(diǎn)高度時(shí)所用的時(shí)間為:

飛行的射程（即回落到與拋出點(diǎn)的高度相同時(shí)所經(jīng)過(guò)的水平距離）為:運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間參數(shù)t，得到拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為：若，則，此時(shí)為平拋運(yùn)動(dòng)；若，則，此時(shí)射程最大；

若，則，此時(shí)為豎直拋體運(yùn)動(dòng).

飛行的射高（即高出拋射點(diǎn)的距離）為

例題1-5在距離我方前沿陣地1000m處有一座高50m長(zhǎng)的山丘，山上建有敵方一座碉堡。求我方的大炮在什么角度下以最小的速度發(fā)射炮彈就能摧毀敵軍的這座碉堡？解：由前面分析可知，拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程是由此可解出發(fā)射速度v0與發(fā)射角度的關(guān)系，由上式不難分析出，當(dāng)tanθ=y/x，以及θ=π/2時(shí)，v0都將趨于無(wú)窮大，所以在這中間必存在一個(gè)使v0為極小值的角度，令dv0/dθ=0，將目標(biāo)位置x=1000m，y=50m，代入方程求解，原則上可以求出擊中目標(biāo)炮彈的最小速度，但由此產(chǎn)生的超越方程難以得出解析解。為此，我們可以編寫Matlab程序，利用計(jì)算機(jī)的數(shù)值解，繪出為了擊中目標(biāo)所發(fā)射炮彈的初速度與發(fā)射角度的關(guān)系曲線，并得到在θ=46.4°時(shí)，可以最小速度v0=101.5m/s發(fā)射炮彈摧毀敵軍碉堡。例

有一學(xué)生在體育館陽(yáng)臺(tái)上以投射角θ=30°和速率v0=20m/s向臺(tái)前操場(chǎng)出一壘球。球離開手時(shí)距離操場(chǎng)水平面