2022-2023學年人教A版選擇性必修第三冊 第七章 第6課時　二項分布 學案

第6課時二項分布課程要求素養(yǎng)要求.掌握二項分布，通過具體實例，了解伯努利試驗，能利用〃重伯努利試驗的特征推導二項分布的分布列..能根據服從二項分布的隨機變量的實際意義猜想出均值，并能由定義計算二項分布的均值，知道二項分布方差的表達式；并能解決簡單的實際問題..數學抽象：能抽象〃重伯努利試驗的特征，建立二項分布模型..邏輯推理：能用歸納和類比，由特殊到一般地得出二項分布的分布列、均值與方差的性質等..數學運算：能求二項分布的分布列、均值與方差..數學建模：通過二項分布的分布列、均值與方差對于一些簡單的實際問題，進行決策分析.牌知識梳理|?伯努利試驗只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗..n重伯努利試驗將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.n重伯努利試驗具有如下共同特征：(I)同一個伯努利試驗重復做n次；(2)各次試驗結果相互獨立..二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(O<p<l),用X表示事件A發(fā)生的次數，則X的分布列為P(X=k)=&pk(l-p)nr,k=0,I,2,n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X?B(n,p)..二項分布的均值和方差如果X?B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(l-p).0預習自測1.某電子管正品率為*次品率為點現(xiàn)對該批電子管進行測試，設第4次首次測到正品，則P?=3)=(C)A.A.A.3-4X2A.3-4X2A—/1-4*cI-4X2\JZ1G.c3-4Xc1-4X23k13解析：自=3說明前2次沒有測到正品，第3次剛好測到正品，故概率為PR=3)=qyX]..若隨機變量X?B(3,I),則P(X=2)=(C)A.1B.1c2D1i9-2解析：P(X=2)=dXq)2X(3)3-2=9..若X?B(80,1),則D(X)=(C)A.20B.40C.15D.30I3解析：因為X?B(80,R,因此D(X)=80XwX1=15.故選C..已知隨機變量X服從二項分布，即X?B(n,p),且E(X)=2,D(X)=I.6,則二項分布的參數n,p的值為(D)A.n=4,p=0.5B.n=6,p=0.3C.n=8,p=0.25D.n=10,p=0.2解析：隨機變量X服從二項分布，即X?B(n,p),且E(X)=2,D(X)=1.6,可得np=2,np(l-p)=l.6,解得p=0.2,n=10,故選D..某處有供水龍頭5個，調查顯示每個水龍頭被打開的可能性均為七，3個水龍頭同時被打開的概率為0.0081.解析：對5個水龍頭的處理可視為做5次獨立試臉，每次試臉有2種可能結果，打開或不打開，相應的概率為0.1或1-0.1=0.9.根據題意得3個水龍頭同時被打開的^率為6X0.13X0.92=0.0081.卜探究點，1卜探究點，1n重伯努利試驗概率的求法[例I]某單位6個員工借助互聯(lián)網開展工作，每個員工上網的概率都是0.5(相互獨立).(1)求至少3人同時上網的概率；(2)至少幾人同時上網的概率小于0.3.分析：用字母表示事件，確定伯努利試臉，求概率.解析：(1)至少3人同時上網，這件事包括3人，4人，5人或6人同時上網，記''至少3人同時上網”為事件A,則P(A)=以X(1)3X@)3+以X(1)4X(1)2+&X(1)5X打以X的x(2)由⑴知至少3人同時上網的概率大于0.3,事件B:至少4人同時上網，其概率為P(B)=dX(1)4Xg)2+&x(1)5X；+以XgpX(1)°

=￡>0.3,事件C:至少5人同時上網，其概率為P(C)=aX(1)5Xg+以Xg)6X(5)0=^J<0.3.所以至少5人同時上網的概率小于0.3.【規(guī)律方法】解決此類問題的關鍵是正確設出伯努利試驗中的事件A,接著分析隨機變量是否滿足伯努利試驗概型的條件，若是,利用公式P(G=k)=&pk(l-p)Lk計算便可.【變式訓練1】在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中5個項目的比賽，已知該運動員在這5個項目中，每個項目能打破世界紀錄的概率都是0.8.那么在本次運動會上，求：(I)該運動員恰好打破3項世界紀錄的概率；(2)該運動員至少能打破3項世界紀錄的概率；(3)該運動員參加完第5項比賽時，恰好打破4項世界紀錄的概率.解析：記每打破一項世界紀錄為事件A,則P(A)=0.8,5次比賽相當于5次獨立重復試驗.(1)該運動員恰好打破3項世界紀錄的榛率P=CgX0.83義0.22=0.2048.(2)設該運動員打破世界紀錄的項目數為卻則所求事件的概率P=P623)=P6=3)+P化=4)+P?=5)=不X0.83X0.22+或X0.84X0.2+&XO.85=0.94208.(3)參加完第5項比賽時，恰好打破4項世界紀錄，即第5項比賽打破世界紀錄，前4項比賽中有3項打破世界紀錄，因此所求事件的概率P=dX0.83X0.2X0.8=0.32768.卜探究點，二項分布問題卜探究點，二項分布問題【例2】某社區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業(yè)能力.每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓.已知參加過財會培訓的有60%,參加過計算機培訓的有75%,假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響.(1)任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；(2)任選3名下崗人員，記自為3人中參加過培訓的人數，求g的分布列、均值和方差.分析：(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式求解；(2)應用二項分布求解.解析：(1)任選1名下肉人員，記“該人參加過財會培訓”為事件A,“該人參加過計算機培訓”為事件B.由題意知，A與B相互獨立，且P(A)=0.6,P(B)=0.75.所以，該下崗人員沒有參加過培訓的概率為P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.6)(!-0.75)=0.1.所以該人參加過培訓的概率為1-0.1=0.9.(2)因為每個人的選擇是相互獨立的，所以3人中參加過培訓的人數自服從二項分布，即自?B(3,0.9),P(^=k)=diXO.9kXO.l3~k,k=0,1,2,3,

所以自的分布列如表所示.所以自的分布列如表所示.10123P0.0010.0270.2430.729所以自的分布列如表所示.所以自的分布列如表所示.因為自?B(3,0.9),所以E?=3X0.9=27,D?=3X0.9X0.1=0.27.【規(guī)律方法】二項分布是一種常見的離散型隨機變量的概率分布，它應用十分廣泛，利用二項分布的模型可以快速地寫出隨機變量的分布列，從而簡化了求隨機變量取每一個具體值概率的過程,因此我們應熟練掌握二項分布.利用二項分布來解決實際問題的關鍵在于在實際問題中建立二項分布的模型，也就是看它是否為n重伯努利試驗，隨機變量是不是在這n重伯努利試驗中某事件發(fā)生的次數，滿足這兩點的隨機變量的概率分布才是二項分布，否則就不是二項分布.【變式訓練2]某中學學生心理咨詢中心服務電話接通率為:，某班3名同學商定明天分別就同?個問題詢問該服務中心，且每人只撥打一次電話，求他們成功咨詢的人數X的分布列、均值和方差.解析：由題意的分布列、均值和方差.解析：由題意X?B(3,3R所以P(X=k)=dX(3kx(b3—k,k=0,1,2,3.所以X的分布列如表所示.X0123P16496427642764因為X?B(3,9T69T6=L4X3-49T6=9T6=L4X3-4所以E(X)=3X1=『D(X)=3Xn重伯努利試驗是在同樣的條件下重復地、各次之間相互獨立地進行n次的一種試驗.在這種試驗中，每?次試驗的結果只有兩種，即某事件要么發(fā)生要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中事件發(fā)生的概率都是相等