高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)學(xué)案13．1《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》(含詳解)

13．1坐標(biāo)系與參數(shù)方程1．極坐標(biāo)系(1)在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做________；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做________；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取________方向)，這樣就建立了一個(gè)________．設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的________，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的________，記為θ.有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的________，記為M(ρ，θ)．一般地，不作特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實(shí)數(shù)．(2)一般地，極坐標(biāo)(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示________．特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為________(θ∈R)．和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有________表示．如果規(guī)定ρ>0，0≤θ<2π，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用________極坐標(biāo)(ρ，θ)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)(ρ，θ)表示的點(diǎn)也是________的．2．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)．從圖中可以得出它們之間的關(guān)系：__________________________．由上式又得到下面的關(guān)系式：__________________________．這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式．(2)把直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí)，通常有不同的表示法(極角相差2π的整數(shù)倍)．一般只要取θ∈________就可以了．3．簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程(1)曲線的極坐標(biāo)方程的定義一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿足方程f(ρ，θ)＝0(因?yàn)槠矫鎯?nèi)點(diǎn)的極坐標(biāo)表示不惟一)，并且坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ)＝0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程____________叫做曲線C的極坐標(biāo)方程．(2)常見曲線的極坐標(biāo)方程①圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為___________________________________________；②圓心為(r，0)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為___________________________eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ＜\f(π,2)))；③圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(,))(0≤θ<π)；④過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為α的直線的極坐標(biāo)方程為______________________________；⑤過(guò)點(diǎn)(a，0)(a＞0)，與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程為eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(,))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜θ＜\f(π,2)))；⑥過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，與極軸平行的直線的極坐標(biāo)方程為______________________________(0<θ<π)．4．直線的參數(shù)方程(1)過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(,))．(2)直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義是：_______________________________________________________________________________________.當(dāng)SKIPIF1<0與e(直線的方向向量)同向時(shí)，t取____________．當(dāng)SKIPIF1<0與e反向時(shí)，t取____________，當(dāng)M與M0重合時(shí)，t＝____________.5．圓的參數(shù)方程圓心在點(diǎn)M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(,))．6．橢圓的參數(shù)方程中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的參數(shù)方程是eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(,))(φ為參數(shù))，規(guī)定參數(shù)φ的取值范圍是____________．自查自糾：1．(1)極點(diǎn)極軸逆時(shí)針極坐標(biāo)系極徑極角極坐標(biāo)(2)同一個(gè)點(diǎn)(0，θ)無(wú)數(shù)種惟一惟一確定2．(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)（x≠0）))(2)[0，2π)3．(1)f(ρ，θ)＝0(2)①ρ＝r②ρ＝2rcosθ③ρ＝2rsinθ④θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)⑤ρcosθ＝a⑥ρsinθ＝a4．(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))(2)t的絕對(duì)值等于直線上的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離正數(shù)負(fù)數(shù)05.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y(tǒng)0＋rsinθ))(θ為參數(shù))6.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))[0，2π)(eq\a\vs4\al(2018·全國(guó)卷Ⅰ))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圓心為A(－1，0)，半徑為2的圓．由題設(shè)知，C1是過(guò)點(diǎn)B(0，2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l1所在直線的距離為2，所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝－eq\f(4,3)或k＝0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝－eq\f(4,3)時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線的距離為2，所以eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝0或k＝eq\f(4,3).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝eq\f(4,3)時(shí)，l2與C2沒(méi)有公共點(diǎn)．綜上，所求C1的方程為y＝－eq\f(4,3)|x|＋2.(eq\a\vs4\al(2018·全國(guó)卷Ⅱ))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t為參數(shù))．(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，求l的斜率．解：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.當(dāng)cosα≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanα·x＋2－tanα，當(dāng)cosα＝0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1，2)在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－eq\f(4（2cosα＋sinα）,1＋3cos2α)，故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2.類型一平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換將圓x2＋y2＝1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得曲線C.(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．解：(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn)(x，y)，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x1，,y＝2y1，))由xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1得x2＋(eq\f(y,2))2＝1，故曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y－2＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))不妨設(shè)P1(1，0)，P2(0，2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，1)，所求直線斜率為k＝eq\f(1,2)，于是所求直線方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－eq\f(1,2))，化為極坐標(biāo)方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，故所求直線的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(3,4sinθ－2cosθ).點(diǎn)撥：①解答該類問(wèn)題應(yīng)明確兩點(diǎn)：一是平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是變換前的點(diǎn)P(x，y)與變換后的點(diǎn)P′(x′，y′)的坐標(biāo)關(guān)系，用方程思想求解．②求交點(diǎn)坐標(biāo)，得直線方程，最后化為極坐標(biāo)方程，其實(shí)質(zhì)是將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入轉(zhuǎn)化．在平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng).))(1)求點(diǎn)A(eq\f(1,3)，－2)經(jīng)過(guò)φ變換后所得點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)求直線l：y＝6x經(jīng)過(guò)φ變換后所得直線l′的方程．解：(1)設(shè)點(diǎn)A′(x′，y′)，由伸縮變換φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y′＝\f(y,2)，))所以x′＝eq\f(1,3)×3＝1，y′＝eq\f(－2,2)＝－1.所以點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(1，－1)．(2)設(shè)P′(x′，y′)是直線l′上任意一點(diǎn)．由伸縮變換φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y(tǒng)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x′,3)，,y＝2y′.))代入y＝6x，得2y′＝6·eq\f(x′,3)＝2x′，所以y′＝x′為所求直線l′的方程．類型二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(eq\a\vs4\al(2017·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)二中月考))在極坐標(biāo)系中，已知曲線C：ρ＝2eq\r(2)sin(θ－eq\f(π,4))，P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)Q(1，eq\f(π,4))．(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程；(2)求P，Q兩點(diǎn)間的最短距離．解：(1)在極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ＝2eq\r(2)sin(θ－eq\f(π,4))＝2sinθ－2cosθ，所以ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y－2x，即(x＋1)2＋(y－1)2＝2.(2)在直角坐標(biāo)系中，易知Q(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))，又曲線C的圓心為(－1，1)，半徑為eq\r(2)，所以|PQ|min＝eq\r(（\f(\r(2),2)＋1）2＋（\f(\r(2),2)－1）2)－eq\r(2)＝eq\r(3)－eq\r(2).點(diǎn)撥：將極坐標(biāo)或極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)或直角坐標(biāo)方程，直接利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可．將直角坐標(biāo)或直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)或極坐標(biāo)方程，要靈活運(yùn)用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ以及ρ＝eq\r(x2＋y2)，tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)．(eq\a\vs4\al(2016·鄭州二模))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(x－1)2＋y2＝1.直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m，0)，且傾斜角為eq\f(π,6).以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|·|PB|＝1，求實(shí)數(shù)m的值．解：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝2ρcosθ，即ρ＝2cosθ.(2)直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t為參數(shù))，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l的參數(shù)方程代入x2＋y2＝2x中，得t2＋(eq\r(3)m－eq\r(3))t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，由題意得|m2－2m|＝1，得m＝1，1＋eq\r(2)或1－eq\r(2).類型三直線、圓的極坐標(biāo)方程(eq\a\vs4\al(2016·全國(guó)卷Ⅰ))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acost，,y＝1＋asint))(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cosθ.(1)說(shuō)明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tanα0＝2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)為圓心，a為半徑的圓．將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，,ρ＝4cosθ.))若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.a＝1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，在C3上．所以a＝1.點(diǎn)撥：題(1)先將曲線C1的參數(shù)方程化成普通方程，再將普通方程化為極坐標(biāo)方程，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想；題(2)中關(guān)鍵是理解極坐標(biāo)方程的含義，消去ρ，建立與直線C3：θ＝α0的聯(lián)系，進(jìn)而求a.由極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離等幾何問(wèn)題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解．在極坐標(biāo)系中，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ＋eq\f(π,4))＝1，圓C的圓心的極坐標(biāo)是(1，eq\f(π,4))，圓的半徑為1.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．解：(1)設(shè)O為極點(diǎn)，OD為圓C的直徑，A(ρ，θ)為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠AOD＝eq\f(π,4)－θ或∠AOD＝θ－eq\f(π,4)，|OA|＝|OD|cos(eq\f(π,4)－θ)或|OA|＝|OD|cos(θ－eq\f(π,4))．所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos(θ－eq\f(π,4))．另解：先寫出圓C的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程．(2)由ρsin(θ＋eq\f(π,4))＝1，得eq\f(\r(2),2)ρ(sinθ＋cosθ)＝1，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－eq\r(2)＝0，又圓心C的直角坐標(biāo)為(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))，滿足直線l的方程，所以直線l過(guò)圓C的圓心，故直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為直徑2.類型四參數(shù)方程和普通方程的互化(eq\a\vs4\al(2016·廣東中山模擬))在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝\r(3)＋tsinα))(t為參數(shù))與曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝sinφ))(φ為參數(shù))相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)當(dāng)α＝eq\f(π,3)時(shí)，若以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AB的極坐標(biāo)方程；(2)若直線AB的斜率為eq\f(\r(5),4)，點(diǎn)P(2，eq\r(3))，求|PA|·|PB|的值．解：(1)當(dāng)α＝eq\f(π,3)時(shí)，直線AB的普通方程為eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0，即直線AB的直角坐標(biāo)方程為eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0，所以直線AB的極坐標(biāo)方程為eq\r(3)ρcosθ－ρsinθ＝eq\r(3)，即2ρcos(θ＋eq\f(π,6))＝eq\r(3).(2)曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝sinφ))的普通方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1，將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝\r(3)＋tsinα))代入曲線C的普通方程，整理得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8eq\r(3)sinα＋4cosα)t＋12＝0.所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝eq\f(12,cos2α＋4sin2α)＝eq\f(12（cos2α＋sin2α）,cos2α＋4sin2α)＝eq\f(12（1＋tan2α）,1＋4tan2α)，又直線的斜率為eq\f(\r(5),4)，即tanα＝eq\f(\r(5),4)，代入上式可求得|PA|·|PB|＝eq\f(12×（1＋\f(5,16)）,1＋4×\f(5,16))＝7.點(diǎn)撥：消去參數(shù)的方法一般有三種：①利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達(dá)式，然后代入消去參數(shù)；②利用三角恒等式消去參數(shù)；③根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，選用一些靈活的方法從整體上消去參數(shù)．在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使兩種方程中的x，y的取值范圍保持一致．()已知直線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，圓C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))．(1)當(dāng)α＝eq\f(π,3)時(shí)，求C1被C2截得的線段的長(zhǎng)；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線，垂足為A，當(dāng)α變化時(shí)，求A點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．解：(1)當(dāng)α＝eq\f(π,3)時(shí)，C1的普通方程為y＝eq\r(3)(x－1)，C2的普通方程為x2＋y2＝1.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)（x－1），,x2＋y2＝1，))解得C1與C2的交點(diǎn)為(1，0)與(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))．所以C1被C2截得的線段的長(zhǎng)為eq\r(（\f(1,2)－1）2＋（－\f(\r(3),2)）2)＝1.(2)將C1的參數(shù)方程代入C2的普通方程得t2＋2tcosα＝0，所以A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t＝eq\f(t1＋t2,2)＝－cosα，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin2α，－cosαsinα)．故當(dāng)α變化時(shí)，A點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2α，,y＝－sinαcosα))(α為參數(shù))．因此，A點(diǎn)軌跡的普通方程為(x－eq\f(1,2))2＋y2＝eq\f(1,4).故A點(diǎn)的軌跡是以(eq\f(1,2)，0)為圓心，eq\f(1,2)為半徑的圓．另解：直線C1過(guò)定點(diǎn)M(1，0)，而OA⊥AM，故點(diǎn)A的軌跡是以O(shè)M為直徑的圓．類型五參數(shù)方程的應(yīng)用(eq\a\vs4\al(2018·全國(guó)卷Ⅲ))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，－eq\r(2))且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)．(1)求α的取值范圍；(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程．解：(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1.當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)．當(dāng)α≠eq\f(π,2)時(shí)，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－eq\r(2).l與⊙O交于兩點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(\r(2),\r(1＋k2))＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))或α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).綜上，α的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).(2)l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－\r(2)＋tsinα))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t為參數(shù)，\f(π,4)＜α＜\f(3π,4))).設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝eq\f(tA＋tB,2)，且tA，tB滿足t2－2eq\r(2)tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2eq\r(2)sinα，tP＝eq\r(2)sinα.又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tPcosα，,y＝－\r(2)＋tPsinα，))所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cos2α))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α為參數(shù)，\f(π,4)＜α＜\f(3π,4))).點(diǎn)撥：已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α，點(diǎn)M(x，y)為l上任意一點(diǎn)，則直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))．①若M1，M2是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|SKIPIF1<0||SKIPIF1<0|＝|t1t2|，|SKIPIF1<0|＝|t2－t1|＝eq\r(（t2＋t1）2－4t1t2).②若線段M1M2的中點(diǎn)為M3，點(diǎn)M1，M2，M3對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，t3，則t3＝eq\f(t1＋t2,2).③若直線l上的線段M1M2的中點(diǎn)為M0(x0，y0)，則t1＋t2＝0，t1t2<0.(eq\a\vs4\al(2018·湛江模擬))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，2)，傾斜角α＝eq\f(π,6).(1)寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|的值．解：(1)消去θ，得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝16.直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcos\f(π,6)，,y＝2＋tsin\f(π,6)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝2＋\f(1,2)t))(t為參數(shù))．(2)把直線l的方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝2＋\f(1,2)t))代入x2＋y2＝16，得(1＋eq\f(\r(3),2)t)2＋(2＋eq\f(1,2)t)2＝16，即t2＋(2＋eq\r(3))t－11＝0，所以t1t2＝－11，即|PA|·|PB|＝11.(eq\a\vs4\al(2016·全國(guó)卷Ⅲ))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(2).(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)．解：(1)C1的普通方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1，C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0.(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(eq\r(3)cosα，sinα)．因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，d(α)＝eq\f(|\r(3)cosα＋sinα－4|,\r(2))＝eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－2))，當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)時(shí)，d(α)取得最小值，最小值為eq\r(2)，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).點(diǎn)撥：圓與橢圓的參數(shù)方程的異同點(diǎn)：①圓與橢圓的參數(shù)方程，實(shí)質(zhì)都是三角代換，有關(guān)圓或橢圓上的動(dòng)點(diǎn)距離的最大值、最小值以及取值范圍的問(wèn)題，通常利用圓或橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解．②圓的參數(shù)方程中的參數(shù)與橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義不同，圓的參數(shù)方程中的參數(shù)是圓心角，橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)是離心角，只有橢圓上的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，離心角才等于圓心角．已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))．(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過(guò)曲線C上任一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．解：(1)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．直線l的普通方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|.則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα，))(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α<π.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sinα，C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值．解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2eq\r(3)x＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的極坐標(biāo)為(2sinα，α)，B的極坐標(biāo)為(2eq\r(3)cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).當(dāng)α＝eq\f(5π,6)時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4.點(diǎn)撥：本題主要考查極坐標(biāo)方程與圓的參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，具體涉及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、平面內(nèi)直線與曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容，意在考查方程思想與數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)運(yùn)算求解能力有一定要求．已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1－\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6))).(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)若P(x，y)是直線l與圓面ρ≤4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))的公共點(diǎn)，求eq\r(3)x＋y的取值范圍．解：(1)因?yàn)閳AC的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))，所以ρ2＝4ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝4ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinθ－\f(1,2)cosθ)).又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝2eq\r(3)y－2x，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＋2x－2eq\r(3)y＝0.(2)方法一：設(shè)z＝eq\r(3)x＋y，由圓C的方程x2＋y2＋2x－2eq\r(3)y＝0?(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝4，所以圓C的圓心是(－1，eq\r(3))，半徑是2，將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1－\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))代入z＝eq\r(3)x＋y得z＝－t.又直線l過(guò)C(－1，eq\r(3))，圓C的半徑是2，所以－2≤t≤2，即eq\r(3)x＋y的取值范圍是[－2，2]．方法二：直線l的參數(shù)方程化成普通方程為x＋eq\r(3)y＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\r(3)y＝2，,（x＋1）2＋（y－\r(3)）2＝4，))解得P1(－1－eq\r(3)，eq\r(3)＋1)，P2(－1＋eq\r(3)，eq\r(3)－1)．因?yàn)镻(x，y)是直線l與圓面ρ≤4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))的公共點(diǎn)，所以點(diǎn)P在線段P1P2上，所以eq\r(3)x＋y的最大值是eq\r(3)×(－1＋eq\r(3))＋(eq\r(3)－1)＝2，最小值是eq\r(3)×(－1－eq\r(3))＋(eq\r(3)＋1)＝－2，所以eq\r(3)x＋y的取值范圍是[－2，2]．類型六求軌跡方程已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：x＋y＝2.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系．(1)將圓C和直線l的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)P是l上的點(diǎn)，射線OP交圓C于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|＝|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程，并指出它是什么曲線．解：(1)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入圓C和直線l的直角坐標(biāo)方程得其極坐標(biāo)方程為C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.(2)設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，則由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρeq\o\al(2,2).又ρ2＝2，ρ1＝eq\f(2,cosθ＋sinθ)，所以eq\f(2ρ,cosθ＋sinθ)＝4，故點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．點(diǎn)Q軌跡的普通方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2，去掉(0，0)點(diǎn)．故點(diǎn)Q的軌跡是圓心為(1，1)，半徑為eq\r(2)的圓，去掉(0，0)點(diǎn)．點(diǎn)撥：用極坐標(biāo)求點(diǎn)的軌跡方程，要明確極坐標(biāo)中各個(gè)量的幾何意義以及題中的等量關(guān)系如何用這些量來(lái)表示．化簡(jiǎn)后的極坐標(biāo)方程中要注意限制條件．另外，本題也可在普通方程下求軌跡方程，但運(yùn)算較復(fù)雜．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π,4)，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cosθ，,y＝sinθ.))(1)寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)過(guò)點(diǎn)M平行于l的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若|MA|·|MB|＝eq\f(8,3)，求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程．解：(1)直線l：y＝x，曲線C：eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)及過(guò)點(diǎn)M的直線為l1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋\f(\r(2)t,2)，,y＝y(tǒng)0＋\f(\r(2)t,2)))(t為參數(shù))，直線l1與曲線C聯(lián)立可得：eq\f(3t2,2)＋(eq\r(2)x0＋2eq\r(2)y0)t＋xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)－2＝0.因?yàn)閨MA|·|MB|＝eq\f(8,3)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)－2,\f(3,2))))＝eq\f(8,3)，即xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)＝6，而方程eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1表示一個(gè)橢圓．取y＝x＋m代入eq\f(x2,2)＋y2＝1得：3x2＋4mx＋2m2－2＝0，由Δ≥0得－eq\r(3)≤m≤eq\r(3)，故點(diǎn)M的軌跡是橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1夾在平行直線y＝x±eq\r(3)之間的兩段?。?．極坐標(biāo)系(1)極坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式．設(shè)極坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(P1P2))＝eq\r(ρeq\o\al(2,1)＋ρeq\o\al(2,2)－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）).特例：當(dāng)θ1＝θ2時(shí)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(P1P2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ρ1－ρ2)).(2)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化．①直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只須將公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐標(biāo)方程并化簡(jiǎn)即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，則往往要通過(guò)變形，構(gòu)造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再應(yīng)用公式進(jìn)行代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形技巧．②通常情況下，由tanθ確定角θ時(shí)，應(yīng)根據(jù)點(diǎn)P所在象限取最小正角．在這里要注意：當(dāng)x≠0時(shí)，θ角才能由tanθ＝eq\f(y,x)按上述方法確定．當(dāng)x＝0時(shí)，tanθ沒(méi)有意義，這時(shí)又分三種情況：當(dāng)x＝0，y＝0時(shí)，θ可取任何值；當(dāng)x＝0，y>0時(shí)，可取θ＝eq\f(π,2)；當(dāng)x＝0，y<0時(shí)，可取θ＝eq\f(3π,2).2．求簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程的方法(1)設(shè)點(diǎn)M(ρ，θ)為曲線上任意一點(diǎn)，由已知條件，構(gòu)造出三角形，利用正弦定理求解eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OM))與θ的關(guān)系．(2)先求出曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式，把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程．3．參數(shù)方程與普通方程的互化(1)參數(shù)方程化為普通方程——消去參數(shù)．消去參數(shù)的常用方法有：①先由一個(gè)方程求出參數(shù)的表達(dá)式(用直角坐標(biāo)變量表示)，再代入另一個(gè)方程，即代入法；②利用三角函數(shù)中的恒等式消去參數(shù)，運(yùn)用最多的是sin2α＋cos2α＝1，即三角公式法；③整體觀察，對(duì)兩式進(jìn)行四則運(yùn)算(運(yùn)用較多的是兩式整體相除)，或先分離參數(shù)再運(yùn)算．總的來(lái)說(shuō)，消參無(wú)定法，只要能消參，方法可靈活多樣，多法齊用．(2)普通方程化為參數(shù)方程——選參數(shù)．一般來(lái)說(shuō)，選擇參數(shù)時(shí)應(yīng)考慮以下兩點(diǎn)：①曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都能由參數(shù)取某一值唯一地確定出來(lái)；②參數(shù)與x，y的相互關(guān)系比較明顯，容易列出方程．參數(shù)的選取應(yīng)根據(jù)具體條件來(lái)考慮．可以是時(shí)間，也可以是線段的長(zhǎng)度、方位角、旋轉(zhuǎn)角，動(dòng)直線的斜率、傾斜角、截距，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等．在二者互化的過(guò)程中，要注意等價(jià)性，注意其中曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍是否因?yàn)檗D(zhuǎn)化而發(fā)生改變，如果發(fā)生改變則它們所表示的曲線就不是同一曲線．1．(eq\a\vs4\al(2017·江蘇))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－8＋t，,y＝\f(t,2)))(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2s2，,y＝2\r(2)s))(s為參數(shù))．設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．解：易求得直線l的普通方程為x－2y＋8＝0.因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，設(shè)P(2s2，2eq\r(2)s)，所以點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq\f(|2s2－4\r(2)s＋8|,\r(12＋（－2）2))＝eq\f(2（s－\r(2)）2＋4,\r(5)).當(dāng)s＝eq\r(2)時(shí)，dmin＝eq\f(4\r(5),5).因此當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，4)時(shí)，曲線C上點(diǎn)P到直線l的距離取到最小值eq\f(4\r(5),5).2．已知曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ.(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0，0≤θ＜2π)．解：(1)將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))消去參數(shù)t，化為普通方程為(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為(eq\r(2)，eq\f(π,4))，(2，eq\f(π,2))．3．圓心C的極坐標(biāo)為(2，eq\f(π,4))，且圓C經(jīng)過(guò)極點(diǎn)．(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)求過(guò)圓心C和圓與極軸交點(diǎn)(不是極點(diǎn))的直線的極坐標(biāo)方程．解：(1)圓心C的直角坐標(biāo)為(eq\r(2)，eq\r(2))，則設(shè)圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝r2，依題意可知r2＝(0－eq\r(2))2＋(0－eq\r(2))2＝4，故圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝4，化為極坐標(biāo)方程為ρ2－2eq\r(2)ρ(sinθ＋cosθ)＝0，即ρ＝2eq\r(2)(sinθ＋cosθ)．(2)在圓C的直角坐標(biāo)方程x2＋y2－2eq\r(2)(x＋y)＝0中，令y＝0，得x2－2eq\r(2)x＝0，解得x＝0或2eq\r(2)，于是得到圓C與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)，(2eq\r(2)，0)，由于直線過(guò)圓心C(eq\r(2)，eq\r(2))和點(diǎn)(2eq\r(2)，0)，則該直線的直角坐標(biāo)方程為y－0＝eq\f(\r(2)－0,\r(2)－2\r(2))(x－2eq\r(2))，即x＋y－2eq\r(2)＝0，化為極坐標(biāo)方程得ρcosθ＋ρsinθ－2eq\r(2)＝0.4．(eq\a\vs4\al(2018·安徽合肥二模))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ.(1)求出圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知圓C與x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線l：y＝2x關(guān)于點(diǎn)M(0，m)(m≠0)對(duì)稱的直線為l′，若直線l′上存在點(diǎn)P使得∠APB＝90°，求實(shí)數(shù)m的最大值．解：(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，故x2＋y2－4x＝0，即圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4.(2)l：y＝2x關(guān)于點(diǎn)M(0，m)的對(duì)稱直線l′的方程為y＝2x＋2m，易知AB為圓C的直徑，故直線l′上存在點(diǎn)P使得∠APB＝90°的充要條件是直線l′與圓C有公共點(diǎn)，故eq\f(|4＋2m|,\r(5))≤2，于是，實(shí)數(shù)m的最大值為eq\r(5)－2.5．(eq\a\vs4\al(2017·全國(guó)卷Ⅱ))在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ＞0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq\f(4,cosθ).由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB＞0)，由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面積S＝eq\f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))－\f(\r(3),2)))≤2＋eq\r(3).當(dāng)α＝－eq\f(π,12)時(shí)，S取得最大值2＋eq\r(3).所以△OAB面積的最大值為2＋eq\r(3).6．(eq\a\vs4\al(2018·洛陽(yáng)模擬))在極坐標(biāo)系中，曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝－2cosθ，ρcos(θ＋eq\f(π,3))＝1.(1)求曲線C1和C2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)過(guò)極點(diǎn)O作動(dòng)直線與曲線C2相交于點(diǎn)Q，在OQ上取一點(diǎn)P，使|OP|·|OQ|＝2，求點(diǎn)P的軌跡，并指出軌跡是什么圖形．解：(1)C1的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝1，它表示圓心為(－1，0)，半徑為1的圓，C2的直角坐標(biāo)方程為x－eq\r(3)y－2＝0，所以曲線C2為直線，由于圓心C1到直線C2的距離為d＝eq\f(3,2)＞1，所以直線與圓相離，即曲線C1和C2沒(méi)有公共點(diǎn)．(2)設(shè)Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρρ0＝2，,θ＝θ0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ0＝\f(2,ρ)，,θ0＝θ，))①因?yàn)辄c(diǎn)Q(ρ0，θ0)在曲線C2上，所以ρ0cos(θ0＋eq\f(π,3))＝1，②將①代入②，得eq\f(2,ρ)cos(θ＋eq\f(π,3))＝1，即ρ＝2cos(θ＋eq\f(π,3))(ρ≠0)為點(diǎn)P的軌跡方程，化為直角坐標(biāo)方程為(x－eq\f(1,2))2＋(y＋eq\f(\r(3),2))2＝1，去掉點(diǎn)(0，0)．因此點(diǎn)P的軌跡是以(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))為圓心，1為半徑的圓，去掉點(diǎn)(0，0)．(eq\a\vs4\al(2017·武昌調(diào)研))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acost，,y＝2sint))(t為參數(shù)，a>0)．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－2eq\r(2).(1)設(shè)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)a＝2時(shí)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值；(2)若曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的右下方，求a的取值范圍．解：(1)由ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－2eq\r(2)，得eq\f(\r(2),2)(ρcosθ－ρsinθ)＝－2eq\r(2)，化成直角坐標(biāo)方程，得eq\f(\r(2),2)(x－y)＝－2eq\r(2)，即直線l的方程為x－y＋4＝0.依題意，設(shè)P(2cost，2sint)，則P到直線l的距離d＝eq\f(|2cost－2sint＋4|,\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,4)))＋4)),\r(2))＝2eq\r(2)＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,4)))，當(dāng)t＋eq\f(π,4)＝2kπ＋π，即t＝2kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z時(shí)，dmin＝2eq\r(2)－2.故點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為2eq\r(2)－2.(2)因?yàn)榍€C上的所有點(diǎn)均在直線l的右下方，所以對(duì)?t∈R，有acost－2sint＋4>0恒成立，即eq\r(a2＋4)cos(t＋φ)>－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(2,a)))恒成立，所以eq\r(a2＋4)<4，又a>0，解得0<a<2eq\r(3)，故a的取值范圍為(0，2eq\r(3))．1．(eq\a\vs4\al(2018·荊門模擬))在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù)，α為直線的傾斜角)．(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn)，求角α的大?。猓?1)當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，直線l的普通方程為x＝－1；當(dāng)α≠eq\f(π,2)時(shí)，直線l的普通方程為y＝(x＋1)tanα.由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即為曲線C的直角坐標(biāo)方程．(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝eq\f(3,4)，所以cosα＝eq\f(\r(3),2)或cosα＝－eq\f(\r(3),2)，故直線l的傾斜角α為eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).2．(eq\a\vs4\al(2017·全國(guó)卷Ⅲ))在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝kt))(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋m，,y＝\f(m,k)))(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ＋sinθ)－eq\r(2)＝0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑．解：(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程y＝k(x－2)；消去參數(shù)m得l2的普通方程y＝eq\f(1,k)(x＋2)．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－2），,y＝\f(1,k)（x＋2）.))消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4，,ρ（cosθ＋sinθ）－\r(2)＝0))得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－eq\f(1,3)，從而cos2θ＝eq\f(9,10)，sin2θ＝eq\f(1,10).代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交點(diǎn)M的極徑為eq\r(5).3．(eq\a\vs4\al(2018·廈門模擬))在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosφ，,y＝sinφ))(φ為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin(θ＋eq\f(π,3))＝3eq\r(3)，射線OM：θ＝eq\f(π,3)與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)．解：(1)圓C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ.(2)設(shè)P(ρ1，θ1)，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ＝2cosθ，,θ＝\f(π,3)，))得ρ1＝1，θ1＝eq\f(π,3)，即P(1，eq\f(π,3))．設(shè)Q(ρ2，θ2)，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2ρsin（θ＋\f(π,3)）＝3\r(3)，,θ＝\f(π,3)，))得ρ2＝3，θ2＝eq\f(π,3)，即Q(3，eq\f(π,3))．所以PQ＝2.4．(eq\a\vs4\al(2018·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)一模))已知曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint))(t為參數(shù))，C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t＝eq\f(π,2)，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線C3：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t))(t為參數(shù))距離的最小值．解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1.C1表示圓心是(－4，3)，半徑是1的圓，C2表示中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓．(2)當(dāng)t＝eq\f(