新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測(cè)練專題07 立體幾何小題常考全歸類（精講精練）（原卷版）

專題07立體幾何小題?？既珰w類【命題規(guī)律】高考對(duì)該部分的考查，小題主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是有關(guān)空間線面位置關(guān)系的命題的真假判斷；二是常見一些經(jīng)典?？?jí)狠S小題，難度中等或偏上．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：球與截面面積問題核心考點(diǎn)二：體積、面積、周長(zhǎng)、角度、距離定值問題核心考點(diǎn)三：體積、面積、周長(zhǎng)、距離最值與范圍問題核心考點(diǎn)四：立體幾何中的交線問題核心考點(diǎn)五：空間線段以及線段之和最值問題核心考點(diǎn)六：空間角問題核心考點(diǎn)七：軌跡問題核心考點(diǎn)八：以立體幾何為載體的情境題核心考點(diǎn)九：翻折問題【真題回歸】1．（2022·北京·高考真題）已知正三棱錐SKIPIF1<0的六條棱長(zhǎng)均為6，S是SKIPIF1<0及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合SKIPIF1<0，則T表示的區(qū)域的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別是棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)．記SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（多選題）（2022·全國·高考真題）如圖，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的體積分別為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（多選題）（2022·全國·高考真題）已知正方體SKIPIF1<0，則（

）A．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0 B．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0 D．直線SKIPIF1<0與平面ABCD所成的角為SKIPIF1<05．（多選題）（2021·全國·高考真題）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<06．（2020·海南·高考真題）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為________．【方法技巧與總結(jié)】1、幾類空間幾何體表面積的求法（1）多面體：其表面積是各個(gè)面的面積之和．（2）旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．（3）簡(jiǎn)單組合體：應(yīng)弄清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補(bǔ)．2、幾類空間幾何體體積的求法（1）對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算．（2）對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解．（3）錐體體積公式為SKIPIF1<0，在求解錐體體積時(shí)，不能漏掉3、求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形．4、球的截面問題球的截面的性質(zhì)：①球的任何截面是圓面；②球心和截面（不過球心）圓心的連線垂直于截面；③球心到截面的距離SKIPIF1<0與球的半徑SKIPIF1<0及截面的半徑SKIPIF1<0的關(guān)系為SKIPIF1<0．注意：解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的．5、立體幾何中的最值問題有三類：一是空間幾何體中相關(guān)的點(diǎn)、線和面在運(yùn)動(dòng)，求線段長(zhǎng)度、截面的面積和體積的最值；二是空間幾何體中相關(guān)點(diǎn)和線段在運(yùn)動(dòng)，求有關(guān)角度和距離的最值；三是在空間幾何體中，已知某些量的最值，確定點(diǎn)、線和面之間的位置關(guān)系．6、解決立體幾何問題的思路方法：一是幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；二是代數(shù)法，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求最值；通過降維的思想，將空間某些量的最值問題轉(zhuǎn)化為平面三角形、四邊形或圓中的最值問題；涉及某些角的三角函數(shù)的最值，借助模型求解，如正四面體模型、長(zhǎng)方體模型和三余弦角模SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為平面的斜線與平面內(nèi)任意一條直線SKIPIF1<0所成的角，SKIPIF1<0為該斜線與該平面所成的角，SKIPIF1<0為該斜線在平面上的射影與直線SKIPIF1<0所成的角）．7、立體幾何中的軌跡問題，這是一類立體幾何與解析幾何的交匯題型，既考查學(xué)生的空間想象能力，即點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，又考查用代數(shù)方法研究軌跡的基本思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng)．8、解決立體幾何中的軌跡問題有兩種方法：一是幾何法．對(duì)于軌跡為幾何體的問題，要抓住幾何體中的不變量，借助空間幾何體（柱、錐、臺(tái)、球）的定義；對(duì)于軌跡為平面上的問題，要利用降維的思想，熟悉平面圖形（直線、圓、圓錐曲線）的定義．二是代數(shù)法（解析法）．在圖形中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系或平面直角坐標(biāo)系．9、以立體幾何為載體的情境題大致有三類：（1）以數(shù)學(xué)名著為背景設(shè)置問題，涉及中外名著中的數(shù)學(xué)名題名人等；（2）以數(shù)學(xué)文化為背景設(shè)置問題，包括中國傳統(tǒng)文化，中外古建筑等；（3）以生活實(shí)際為背景設(shè)置問題，涵蓋生產(chǎn)生活、勞動(dòng)實(shí)踐、文化精神等．10、以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情境下的圖形閱讀，需要通過數(shù)形結(jié)合來解決問題．圖形怎么閱讀?一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實(shí)現(xiàn)“圖形→文字→符號(hào)”的轉(zhuǎn)化；三是要有問題意識(shí)，帶著問題閱讀圖形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問題有機(jī)地融合在一起；四是要有運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，要“動(dòng)手”去操作，動(dòng)態(tài)地去閱讀圖形．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：球與截面面積問題【規(guī)律方法】球的截面問題球的截面的性質(zhì)：①球的任何截面是圓面；②球心和截面（不過球心）圓心的連線垂直于截面；③球心到截面的距離SKIPIF1<0與球的半徑SKIPIF1<0及截面的半徑SKIPIF1<0的關(guān)系為SKIPIF1<0．【典型例題】例1．（2022·全國·高三階段練習(xí)）已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，且該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD,SKIPIF1<0，點(diǎn)E在棱PB上，且SKIPIF1<0，過E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是____________.例2．（2022·湖北省紅安縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）球體在工業(yè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，某零件由兩個(gè)球體構(gòu)成，球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0表面上兩動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn).半徑為2的球SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0的內(nèi)壁滾動(dòng)，點(diǎn)SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0表面上，點(diǎn)SKIPIF1<0在截面SKIPIF1<0上的投影SKIPIF1<0恰為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值是___________.例3．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為6，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)的平面SKIPIF1<0截該正方體所得截面的面積為_________．例4．（2022·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面SKIPIF1<0截正方體SKIPIF1<0所得的截面圖形是五邊形；②直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離是SKIPIF1<0；③存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0面積的最小值是SKIPIF1<0．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．核心考點(diǎn)二：體積、面積、周長(zhǎng)、角度、距離定值問題【規(guī)律方法】幾類空間幾何體體積的求法（1）對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算．（2）對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解．（3）錐體體積公式為SKIPIF1<0，在求解錐體體積時(shí)，不能漏掉【典型例題】例5．（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐SKIPIF1<0的體積（

）A．存在最大值，最大值為SKIPIF1<0 B．存在最小值，最小值為SKIPIF1<0C．為定值SKIPIF1<0 D．不確定，與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置有關(guān)例6．（2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為1，線段SKIPIF1<0上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且SKIPIF1<0，點(diǎn)P，Q分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，G在側(cè)面SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，且滿足SKIPIF1<0G∥平面SKIPIF1<0，以下命題錯(cuò)誤的是（）A．SKIPIF1<0B．多面體SKIPIF1<0的體積為定值C．側(cè)面SKIPIF1<0上存在點(diǎn)G，使得SKIPIF1<0D．直線SKIPIF1<0與直線BC所成的角可能為SKIPIF1<0例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體SKIPIF1<0中，過對(duì)角線SKIPIF1<0的一個(gè)平面交SKIPIF1<0于E，交SKIPIF1<0于F，給出下面幾個(gè)命題：①四邊形SKIPIF1<0一定是平行四邊形；②四邊形SKIPIF1<0有可能是正方形；③平面SKIPIF1<0有可能垂直于平面SKIPIF1<0；④設(shè)SKIPIF1<0與DC的延長(zhǎng)線交于M，SKIPIF1<0與DA的延長(zhǎng)線交于N，則M?N?B三點(diǎn)共線；⑤四棱錐SKIPIF1<0的體積為定值．以上命題中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5核心考點(diǎn)三：體積、面積、周長(zhǎng)、距離最值與范圍問題【規(guī)律方法】幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；二是代數(shù)法，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求最值【典型例題】例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方形SKIPIF1<0的中心為正方形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0，截去如圖所示的陰影部分后，翻折得到正四棱錐SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)重合于點(diǎn)SKIPIF1<0），則此四棱錐的體積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例9．（2022·江西南昌·三模（理））已知長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為矩形SKIPIF1<0內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0體積的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例10．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．過SKIPIF1<0作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例11．（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐SKIPIF1<0的體積（

）A．存在最大值，最大值為SKIPIF1<0 B．存在最小值，最小值為SKIPIF1<0C．為定值SKIPIF1<0 D．不確定，與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置有關(guān)核心考點(diǎn)四：立體幾何中的交線問題【規(guī)律方法】幾何法【典型例題】例12．（2022·浙江寧波·一模）在棱長(zhǎng)均相等的四面體ABCD中，P為棱AD（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A的平面α與平面PBC平行．若平面α與平面ABD，平面ACD的交線分別為m，n，則m，n所成角的正弦值的最大值為__________．例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球與以其一個(gè)頂點(diǎn)為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長(zhǎng)度為___________.例14．（2022·福建福州·三模）已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為球心，半徑為2的球面與底面SKIPIF1<0的交線的長(zhǎng)度為___________.例15．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））如圖，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為半徑作球，則該球的球面與四面體SKIPIF1<0各面交線的長(zhǎng)度和為___．核心考點(diǎn)五：空間線段以及線段之和最值問題【規(guī)律方法】幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；二是代數(shù)法，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求最值【典型例題】例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐SKIPIF1<0的底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，外接球表面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)M，N分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是線段SN和平面SCM上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為3的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0上的一動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3核心考點(diǎn)六：空間角問題【規(guī)律方法】1、用綜合法求空間角的基本數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化與化歸，即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過解三角形求得．求解的一般步驟為：（1）作圖：作出空間角的平面角．（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的．（3）計(jì)算：在證明的基礎(chǔ)上計(jì)算得出結(jié)果．簡(jiǎn)稱：一作、二證、三算．2、用定義作異面直線所成角的方法是“平移轉(zhuǎn)化法”，可固定一條，平移另一條；或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上．3、求直線與平面所成角的常見方法（1）作角法：作出斜線、垂線、斜線在平面上的射影組成的直角三角形，根據(jù)條件求出斜線與射影所成的角即為所求．（2）等積法：公式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長(zhǎng)，是斜線段的長(zhǎng)，其中求出垂線段的長(zhǎng)（即斜線上的點(diǎn)到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點(diǎn)，為此可構(gòu)造三棱錐，利用等體積法來求垂線段的長(zhǎng)．（3）證垂法：通過證明線面垂直得到線面角為90°．4、作二面角的平面角常有三種方法（1）棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角．（3）空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角．【典型例題】例19．（2022·浙江金華·高三期末）已知正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例20．（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AC交BD于O點(diǎn)，SKIPIF1<0沿著直線BD翻折成SKIPIF1<0，所成二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例21．（2022·浙江·湖州中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D為AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段BD（不含端點(diǎn)）上，將SKIPIF1<0沿CM向上折起至SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0與平面ACM所成銳二面角為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面AMC所成角為SKIPIF1<0，直線MC與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則在翻折過程中，下列三個(gè)命題中正確的是（

）①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0.A．① B．①② C．②③ D．①③例22．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知等邊SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿著SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0點(diǎn)處，如圖所示，記二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)三棱錐SKIPIF1<0的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角是SKIPIF1<0則三個(gè)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中最小的角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．不能確定核心考點(diǎn)七：軌跡問題【規(guī)律方法】解決立體幾何中的軌跡問題有兩種方法：一是幾何法．對(duì)于軌跡為幾何體的問題，要抓住幾何體中的不變量，借助空間幾何體（柱、錐、臺(tái)、球）的定義；對(duì)于軌跡為平面上的問題，要利用降維的思想，熟悉平面圖形（直線、圓、圓錐曲線）的定義．二是代數(shù)法（解析法）．在圖形中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系或平面直角坐標(biāo)系．【典型例題】例24．（2022·北京·昌平一中高三階段練習(xí)）設(shè)正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足SKIPIF1<0，則下列命題：①點(diǎn)SKIPIF1<0可以是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)；②點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是菱形；③點(diǎn)SKIPIF1<0軌跡的長(zhǎng)度為SKIPIF1<0；④點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡所圍成圖形的面積為SKIPIF1<0.其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱CD，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)P為四邊形SKIPIF1<0內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0平面BEF，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1例26．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且SKIPIF1<0，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AD，PC的中點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．AG⊥平面PBDB．直線FG和直線AC所成的角為SKIPIF1<0C．過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截四棱錐SKIPIF1<0所得的截面為五邊形D．當(dāng)點(diǎn)T在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)T的軌跡是圓例27．（2022·浙江溫州·高三開學(xué)考試）如圖，正方體SKIPIF1<0，P為平面SKIPIF1<0內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體SKIPIF1<0中，M為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面SKIPIF1<0和側(cè)面SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)并且使SKIPIF1<0，那么點(diǎn)P的軌跡是（

）A．兩段圓弧 B．兩段橢圓弧C．兩段雙曲線弧 D．兩段拋物線弧核心考點(diǎn)八：以立體幾何為載體的情境題【規(guī)律方法】以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情境下的圖形閱讀，需要通過數(shù)形結(jié)合來解決問題．圖形怎么閱讀？一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實(shí)現(xiàn)“圖形→文字→符號(hào)”的轉(zhuǎn)化；三是要有問題意識(shí)，帶著問題閱讀圖形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問題有機(jī)地融合在一起；四是要有運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，要“動(dòng)手”去操作，動(dòng)態(tài)地去閱讀圖形．【典型例題】例29．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在P處的離散曲率為SKIPIF1<0為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0遍及多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面如圖是正四面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，若它們?cè)诟黜旤c(diǎn)處的離散曲率分別是a，b，c，d，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例30．（2022·廣東·廣州市從化區(qū)第三中學(xué)高三階段練習(xí)）北京大興國際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于SKIPIF1<0與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有SKIPIF1<0個(gè)面角，每個(gè)面角是SKIPIF1<0，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為SKIPIF1<0，故其總曲率為SKIPIF1<0.給出下列三個(gè)結(jié)論：①正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為SKIPIF1<0；②任意四棱錐的總曲率均為SKIPIF1<0；③若某類多面體的頂點(diǎn)數(shù)SKIPIF1<0，棱數(shù)SKIPIF1<0，面數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則該類多面體的總曲率是常數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③例31．（2022·遼寧·沈陽二十中三模）我國南北朝時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家祖暅原提出了祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”意思是，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即SKIPIF1<0.現(xiàn)將橢圓SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）將地球近似看作球體.設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為此時(shí)太陽直射緯度（當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值），SKIPIF1<0為該地的緯度值，如圖．已知太陽每年直射范圍在南北回歸線之間，即SKIPIF1<0．北京天安門廣場(chǎng)的漢白玉華表高為9.57米，北京天安門廣場(chǎng)的緯度為北緯SKIPIF1<0，若某天的正午時(shí)刻，測(cè)得華表的影長(zhǎng)恰好為9.57米，則該天的太陽直射緯度為（

）A．北緯SKIPIF1<0 B．南緯SKIPIF1<0C．北緯SKIPIF1<0 D．南緯SKIPIF1<0核心考點(diǎn)九：翻折問題【規(guī)律方法】1、處理圖形翻折問題的關(guān)鍵是理清翻折前后長(zhǎng)度和角度哪些發(fā)生改變，哪些保持不變．2、把空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，把握?qǐng)D形之間的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)．【典型例題】例33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知四邊形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為斜邊的等腰直角三角形，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿對(duì)角線SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0在翻折的過程中，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可能垂直C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的最大值是SKIPIF1<0 D．四面體SKIPIF1<0的體積的最大是SKIPIF1<0例34．（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知矩形SKIPIF1<0的對(duì)角線交于點(diǎn)SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，若在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，在正方形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使得二面角SKIPIF1<0為直二面角，得到圖2所示的四棱錐SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則在四棱錐SKIPIF1<0中，下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0四點(diǎn)一定共面B．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．側(cè)面SKIPIF1<0與側(cè)面SKIPIF1<0的交線與直線SKIPIF1<0相交D．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值例36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直角梯形ABCD滿足：AD∥BC，CD⊥DA，且△ABC為正三角形．將△ADC沿著直線AC翻折至△AD'C如圖，且SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的平面角大小分別為α，β，γ，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與平面ABC所成角分別是θ1，θ2，θ3，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【新題速遞】1．（2022·安徽·高三階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正四面體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0上，且平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，記三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，關(guān)于函數(shù)SKIPIF1<0，下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)C．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱D．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為四面體SKIPIF1<0的體積）2．（2022·重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校高三階段練習(xí)）如圖所示，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0?SKIPIF1<0上的點(diǎn)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（如圖1）.將四邊形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，連接SKIPIF1<0（如圖2）.在折起的過程中，下列說法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）①SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0四點(diǎn)不可能共面；③若SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；④平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0可能垂直.A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·四川·成都市第二十中學(xué)校一模（理））如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0均為所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）①棱SKIPIF1<0上一定存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0②三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0③過點(diǎn)SKIPIF1<0作正方體的截面，則截面面積為SKIPIF1<0④設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值的最大值為SKIPIF1<0A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級(jí)中學(xué)有限責(zé)任公司模擬預(yù)測(cè)（文））在棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在正方體各棱及表面上運(yùn)動(dòng)且滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0軌跡所圍成圖形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足是SKIPIF1<0，正四面體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）正三棱柱SKIPIF1<0的底面邊長(zhǎng)是4，側(cè)棱長(zhǎng)是6，M，N分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若點(diǎn)P是三棱柱內(nèi)（含棱柱的表面）的動(dòng)點(diǎn)，MP∥平面SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·山西·高三階段練習(xí)）已知正方體SKIPIF1<0的頂點(diǎn)都在表面積為SKIPIF1<0的球面上，過球心O的平面截正方體所得的截面為一菱形，記該菱形截面為S，點(diǎn)P是正方體表面上一點(diǎn)，則以截面S為底面，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的四棱錐的體積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<08．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若空間點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．19．（多選題）（2022·云南曲靖·高三階段練習(xí)）已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)SKIPIF1<0為側(cè)面SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值為2B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，四面體SKIPIF1<0的體積為定值C．當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于到直線SKIPIF1<0的距離時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為拋物線的一部分D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<010．（多選題）（2022·遼寧·本溪高中高三階段練習(xí)）如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，SKIPIF1<0，G為線段AE上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．SKIPIF1<0B．多面體ABCDEF的體積為SKIPIF1<0C．若G為線段AE的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面CEFD．點(diǎn)M，N分別為線段AF，AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)T在平面BCF內(nèi)，則SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<011．（多選題）（2022·廣東·東涌中學(xué)高三期中）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則以下說法正確的是（

）A．點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)B．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為SKIPIF1<0D．過點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0作正方體的截面，所得截面的面積是SKIPIF1<012．（多選題）（2022·安徽·阜陽師范大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，其高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折成大小為SKIPIF1<0的二面角，連接SKIPIF1<0，形成四面體SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)（含邊界），且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0變化的過程中（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0點(diǎn)到平面SKIPIF1<0的距離的最大值為SKIPIF1<0C．點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)（含邊界）的軌跡長(zhǎng)度為SKIPI