新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測練專題17 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸解答題?？继茁窔w類（精講精練）（原卷版）

專題17函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸解答題?？继茁窔w類【命題規(guī)律】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，同時也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其試題的難度呈逐年上升趨勢，通過對近十年的高考數(shù)學(xué)試題，分析并歸納出五大考點：（1）含參函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；（2）函數(shù)的零點問題；（3）不等式恒成立與存在性問題；（4）函數(shù)不等式的證明．（5）導(dǎo)數(shù)中含三角函數(shù)形式的問題其中，對于函數(shù)不等式證明中極值點偏移、隱零點問題、含三角函數(shù)形式的問題探究和不等式的放縮應(yīng)用這四類問題是目前高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的熱點．【核心考點目錄】核心考點一：含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論核心考點二：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題核心考點三：雙變量問題核心考點四：證明不等式核心考點五：極最值問題核心考點六：零點問題核心考點七：不等式恒成立問題核心考點八：極值點偏移問題與拐點偏移問題核心考點九：利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題核心考點十：導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題核心考點十一：洛必達法則核心考點十二：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題【真題回歸】1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0(1)求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；(2)若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共點，（i）當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的取值范圍；（ii）求證：SKIPIF1<0．2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0，討論函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)已知SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0上不同的三點SKIPIF1<0處的切線都經(jīng)過點SKIPIF1<0．證明：（ⅰ）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（ⅱ）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（注：SKIPIF1<0是自然對數(shù)的底數(shù)）4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求a的取值范圍；(3)設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的最大值；(2)若SKIPIF1<0恰有一個零點，求a的取值范圍．6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求a的取值范圍；(2)證明：若SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線SKIPIF1<0，其與兩條曲線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．【方法技巧與總結(jié)】1、對稱變換主要用來解決與兩個極值點之和、積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點如下：（1）定函數(shù)（極值點為SKIPIF1<0），即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點x0．（2）構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點構(gòu)造對稱函數(shù)SKIPIF1<0，若證SKIPIF1<0，則令SKIPIF1<0．（3）判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性．（4）比較大小，即判斷函數(shù)SKIPIF1<0在某段區(qū)間上的正負，并得出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系．（5）轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性，將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的關(guān)系，進而得到所證或所求．【注意】若要證明SKIPIF1<0的符號問題，還需進一步討論SKIPIF1<0與x0的大小，得出SKIPIF1<0所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負．構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中．某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用．因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的．根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧．許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效2、應(yīng)用對數(shù)平均不等式SKIPIF1<0證明極值點偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到SKIPIF1<0；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題．3、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可．【核心考點】核心考點一：含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論【規(guī)律方法】1、導(dǎo)函數(shù)為含參一次型的函數(shù)單調(diào)性導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)時，首先討論一次項系數(shù)為0，導(dǎo)函數(shù)的符號易于判斷，當一次項系數(shù)不為雩，討論導(dǎo)函數(shù)的零點與區(qū)間端點的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．2、導(dǎo)函數(shù)為含參二次型函數(shù)的單調(diào)性當主導(dǎo)函數(shù)（決定導(dǎo)函數(shù)符號的函數(shù)）為二次函數(shù)時，確定原函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題轉(zhuǎn)化為探究該二次函數(shù)在給定區(qū)間上根的判定問題．對于此二次函數(shù)根的判定有兩種情況：（1）若該二次函數(shù)不容易因式分解，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域；（2）若該二次函數(shù)容易因式分解，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性．3、導(dǎo)函數(shù)為含參二階求導(dǎo)型的函數(shù)單調(diào)性當無法直接通過解不等式得到一階導(dǎo)函數(shù)的符號時，可對“主導(dǎo)”函數(shù)再次求導(dǎo)，使解題思路清晰．“再構(gòu)造、再求導(dǎo)”是破解函數(shù)綜合問題的強大武器．在此我們首先要清楚SKIPIF1<0之間的聯(lián)系是如何判斷原函數(shù)單調(diào)性的．（1）二次求導(dǎo)目的：通過SKIPIF1<0的符號，來判斷SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）通過賦特殊值找到SKIPIF1<0的零點，來判斷SKIPIF1<0正負區(qū)間，進而得出SKIPIF1<0單調(diào)性．【典型例題】例1．（2023春·山東濟南·高三統(tǒng)考期中）已知三次函數(shù)SKIPIF1<0.(1)當SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程，(2)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性.例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，討論函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)性；例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間.例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；核心考點二：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題【規(guī)律方法】在解決等差、等比數(shù)列綜合問題時，要充分利用基本公式、性質(zhì)以及它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，在求解過程中要樹立“目標意識”，“需要什么，就求什么”，并適時地采用“巧用性質(zhì)，整體考慮”的方法．可以達到減少運算量的目的．【典型例題】例5．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：SKIPIF1<0.例6．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；(2)若不等式SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)a的范圍；(3)證明：當SKIPIF1<0．例7．（2023春·福建寧德·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(2)證明：SKIPIF1<0.(SKIPIF1<0)核心考點三：雙變量問題【規(guī)律方法】破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．【典型例題】例8．（2023春·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若過原點的一條直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切，求切點的橫坐標；(2)若SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.例9．（2023春·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)討論SKIPIF1<0極值點的個數(shù)；(2)若SKIPIF1<0有兩個極值點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明:SKIPIF1<0.例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）巳知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求函數(shù)f（x）的最大值;(2)若關(guān)于x的方程SKIPIF1<0有兩個不等實數(shù)根SKIPIF1<0證明:SKIPIF1<0SKIPIF1<0核心考點四：證明不等式【規(guī)律方法】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）轉(zhuǎn)化為證明SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），進而構(gòu)造輔助函數(shù)SKIPIF1<0；（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題（6）同構(gòu)變形【典型例題】例11．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性SKIPIF1<0(2)設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的兩個不同零點，證明：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．例12．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0．例13．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0.(1)求實數(shù)m和n的值；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上兩點，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.核心考點五：極最值問題【規(guī)律方法】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題．解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最值．只是對含有參數(shù)的極最值問題，需要對導(dǎo)函數(shù)進行二次討論，對導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點的存在性及唯一性等，由于零點的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進行求值、證明等操作．【典型例題】例14．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最值；(2)討論SKIPIF1<0的極值點的個數(shù).例15．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中a為大于0的常數(shù)，若SKIPIF1<0．(1)討論SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0取得極小值，求SKIPIF1<0的最小值．例16．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為2，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求實數(shù)a的值；(2)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．核心考點六：零點問題【規(guī)律方法】函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，求參數(shù)的值或取值范圍．求解步驟：第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與SKIPIF1<0軸（或直線SKIPIF1<0）在某區(qū)間上的交點問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖像；第三步：結(jié)合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù)．【典型例題】例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0有三個不同的零點，求SKIPIF1<0的取值范圍．例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，已知函數(shù)SKIPIF1<0，和SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有相同的最小值，求a的值；(2)設(shè)SKIPIF1<0有兩個零點，求a的取值范圍.例19．（2023春·廣西·高三期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)當SKIPIF1<0時，求函數(shù)SKIPIF1<0的最大值；(2)若關(guān)于x的方SKIPIF1<01有兩個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍.核心考點七：不等式恒成立問題【規(guī)律方法】1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0；（4）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0的值域的子集．【典型例題】例20．（2023·廣西南寧·南寧二中?？家荒＃┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0.(1)若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在SKIPIF1<0處的切線與直線SKIPIF1<0平行，求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；(2)求證：當SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.例21．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為常數(shù)）.(1)當SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的最小值；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0有2個極值點，求SKIPIF1<0的取值范圍；(3)若SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上有解，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．核心考點八：極值點偏移問題與拐點偏移問題【規(guī)律方法】1、極值點偏移的相關(guān)概念所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性．若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值，且函數(shù)SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，而往往SKIPIF1<0．如下圖所示．圖1極值點不偏移圖2極值點偏移極值點偏移的定義：對于函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)只有一個極值點SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的解分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，（1）若SKIPIF1<0，則稱函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上極值點SKIPIF1<0偏移；（2）若SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上極值點SKIPIF1<0左偏，簡稱極值點SKIPIF1<0左偏；（3）若SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上極值點SKIPIF1<0右偏，簡稱極值點SKIPIF1<0右偏．【典型例題】例23．（2022?浙江期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0有兩個不同的零點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（2）證明：SKIPIF1<0．例24．（2021春?汕頭校級月考）已知，函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個零點，SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的取值范圍；SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0的兩個零點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．例25．（2022?浙江開學(xué)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．核心考點九：利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題【規(guī)律方法】分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離【典型例題】例26．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）求函數(shù)在SKIPIF1<0處的切線方程（2）證明：SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)存在唯一的零點；（3）若對于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求整數(shù)SKIPIF1<0的最大值．例27．已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）當SKIPIF1<0時，求函數(shù)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；（2）令SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，求整數(shù)SKIPIF1<0的最大值．（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．例28．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)存在唯一的零點；（2）若對于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求整數(shù)SKIPIF1<0的最大值．核心考點十：導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題【規(guī)律方法】1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式2、同構(gòu)式的應(yīng)用：（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程SKIPIF1<0和SKIPIF1<0呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則SKIPIF1<0可視為方程SKIPIF1<0的兩個根（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個函數(shù)，進而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系．可比較大小或解不等式．<同構(gòu)小套路>①指對各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵；③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、SKIPIF1<0、參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍．（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果SKIPIF1<0滿足的方程為同構(gòu)式，則SKIPIF1<0為方程所表示曲線上的兩點．特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線SKIPIF1<0的方程（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解【典型例題】例29．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．例30．（2022·河南鄭州·二模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求函數(shù)SKIPIF1<0的極值；（2）當x>0時，證明：SKIPIF1<0例31．（2022·河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）討論f（x）的單調(diào)性．（2）若a＝0，證明：對任意的x>1，都有SKIPIF1<0．核心考點十一：洛必達法則【規(guī)律方法】法則1、若函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足下列條件：（1）SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）在點SKIPIF1<0的去心HYPERLINK鄰域SKIPIF1<0內(nèi)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可導(dǎo)且SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．法則2、若函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足下列條件：（1）SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0上可導(dǎo)，且SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．法則3、若函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足下列條件：（1）SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）在點SKIPIF1<0的去心HYPERLINK鄰域SKIPIF1<0內(nèi)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可導(dǎo)且SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：（1）將上面公式中的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0洛必達法則也成立．（2）洛必達法則可處理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0型．（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0型定式，否則濫用洛必達法則會出錯．當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．（4）若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．SKIPIF1<0，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則．【典型例題】例32．已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值，且曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線與直線SKIPIF1<0垂直．（1）求實數(shù)SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．例33．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．（1）證明：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（2）設(shè)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．例34．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．如果對任何SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．SKIPIF1<0核心考點十二：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題【規(guī)律方法】分段分析法【典型例題】例35．（2023·河南鄭州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；(2)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．例36．（2023春·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0（a為常數(shù)），函數(shù)SKIPIF1<0.(1)證明：（i）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（ii）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；(2)證明：當SKIPIF1<0時，曲線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有且只有一個公共點.例37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，判斷函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)證明：SKIPIF1<0.【新題速遞】1．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的一個極值點．(1)求SKIPIF1<0值；(2)判斷SKIPIF1<0的單調(diào)性；(3)是否存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0?直接寫出SKIPIF1<0的取值范圍．2．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0．(1)若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個極值點SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．3．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的圖象在點SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0．(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的解析式；(2)求函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最值．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線垂直，求SKIPIF1<0的值；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0存在兩個極值點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.5．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切．(1)求實數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)若曲線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0有兩個公共點，其橫坐標分別為SKIPIF1<0．①求實數(shù)SKIP