高中數(shù)學(xué)北師大版第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 單元測(cè)試三

單元測(cè)試三本試卷滿分：100分考試時(shí)間：90分鐘班級(jí)________姓名________考號(hào)________分?jǐn)?shù)________一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．\r(a\r(3,a\r(a)))用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示為()A．a(chǎn)B．a(chǎn)3C．a(chǎn)D．a(chǎn)2答案：C解析：eq\r(a\r(3,a\r(a)))＝(a·(a·a))＝aeq\f(3,4)，故選C.2．若log5eq\f(1,3)·log36·log6x＝2，則x等于()A．9\f(1,9)C．25\f(1,25)答案：D解析：由換底公式，得eq\f(lg\f(1,3),lg5)·eq\f(lg6,lg3)·eq\f(lgx,lg6)＝2，所以－eq\f(lgx,lg5)＝2，即lgx＝－2lg5＝lgeq\f(1,25)，所以x＝eq\f(1,25).3．函數(shù)y＝(a2－3a＋3)·ax是指數(shù)函數(shù)，則A．a(chǎn)＝1或a＝2B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝2D．a(chǎn)＞0且a≠1答案：C解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1，,a＞0，,a≠1，))解得a＝2.故選C.4．若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x∈[－1，0,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，x∈[0，1]))，則f(f(log32))的值為()\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(1,2)D．－2答案：A解析：∵f(log32)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝－eq\f(1,2)，∴f(f(log32))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3＝eq\f(\r(3),3).5．春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長(zhǎng)出荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長(zhǎng)滿池塘水面，當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一半時(shí)，荷葉已生長(zhǎng)了()A．10天B．15天C．19天D．20天答案：C解析：荷葉覆蓋水面面積y與生長(zhǎng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為y＝2x，當(dāng)x＝20時(shí)，長(zhǎng)滿水面，所以生長(zhǎng)19天時(shí)，布滿水面一半．故選C.6．指數(shù)函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)的圖像過點(diǎn)(2，－1)，則此指數(shù)函數(shù)為()A．y＝(eq\f(1,2))xB．y＝2xC．y＝3xD．y＝10x答案：A解析：利用互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系知該指數(shù)函數(shù)過點(diǎn)(－1,2)，代入函數(shù)式y(tǒng)＝ax求出a即可．7．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，則()A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a答案：C解析：∵x∈(e－1,1)，∴a＝lnx∈(－1,0)，b＝2lnx∈(－2,0)c＝ln3x∈(－1,0)．令lnx＝t∈(－1,0)．則t3＞t＞2t.∴b＜a＜c，故選C.8．函數(shù)y＝[log(5x－3)]的定義域是()A．x≤eq\f(4,5)\f(3,5)≤x＜eq\f(4,5)C．x＞eq\f(3,5)\f(3,5)＜x≤eq\f(4,5)答案：D解析：若使函數(shù)有意義，則需log(5x－3)≥0，其同解于0＜5x－3≤1，解得eq\f(3,5)＜x≤eq\f(4,5).9．函數(shù)y＝log(4x－x2)的值域是()A．[－2，＋∞)B．RC．[0，＋∞)D．(0,4]答案：A解析：令t＝4x－x2，則t＝－(x－2)2＋4，∴0＜t≤4，而y＝logt在(0,4]上為減函數(shù)，∴t＝4時(shí)，ymin＝log4＝log(eq\f(1,2))－2＝－2，∴y≥－2，即值域?yàn)閇－2，＋∞)，故選A.10．二次函數(shù)y＝ax2＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝(eq\f(b,a))x的圖像只可能是圖中的()答案：A解析：由指數(shù)函數(shù)y＝(eq\f(b,a))x的圖像知0＜eq\f(b,a)＜1.所以y＝ax2＋bx的圖像過(0,0)點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，故A符合．二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分．把答案填在題中橫線上．11．已知函數(shù)f(x)＝a2x－1－1(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)，則此定點(diǎn)的坐標(biāo)為________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))解析：由2x－1＝0，得x＝eq\f(1,2)，所以函數(shù)f(x)＝a2x－1－1的圖象過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).12．函數(shù)y＝log2(x2＋2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．答案：(0，＋∞)解析：由x2＋2x>0，得x<－2或x>0.令t＝x2＋2x，因函數(shù)y＝log2t在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，故函數(shù)y＝log2(x2＋2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)．13．已知函數(shù)f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))＝4，則f(2023)＝________.答案：0解析：由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))＝alog2eq\f(1,2023)＋blog3eq\f(1,2023)＋2＝4，得－alog22023－blog32023＝2.∴alog22023＋blog32023＝－2，∴f(2023)＝alog22023＋blog32023＋2＝0.三、解答題：本大題共5小題，共48分，其中第14小題8分，第15～18小題各10分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．14．解方程：(1)log2(x2－x－2)＝1＋log2(x－1)；(2)3x＋1－3－x＝2.解：(1)log2(x2－x－2)＝log22(x－1)．∴x2－x－2＝2x－2.解得x＝0，x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3是原方程的根．(2)3·3x－eq\f(1,3x)＝2，即3(3x)2－2·3x－1＝0.3x＝1(3x＝－eq\f(1,3)舍去)，∴x＝0.15．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)＋lgeq\f(1－x,1＋x).(1)求函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)解關(guān)于x的不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))<eq\f(1,2).解：(1)f(x)＝eq\f(1,2)＋lgeq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(1,2)＋lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋x)))，要使f(x)有意義，即eq\f(1－x,1＋x)>0，得－1<x<1，∴f(x)的定義域?yàn)?－1,1)．任取x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋x1)))－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋x2))).∵－1<x1<x2<1，∴0<x1＋1<x2＋1，∴－1＋eq\f(2,1＋x1)>－1＋eq\f(2,1＋x2)，∴l(xiāng)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋x1)))>lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋x2)))，∴f(x1)>f(x2)，即f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)．(2)∵f(0)＝eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))<eq\f(1,2)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))<f(0)．由(1)，知f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<1,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))>0))，解得eq\f(1－\r(17),4)<x<0或eq\f(1,2)<x<eq\f(1＋\r(17),4).即不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(17),4)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1＋\r(17),4))).16．若點(diǎn)(2，eq\f(1,4))既在函數(shù)f(x)＝2ax＋b的圖像上，又在它的反函數(shù)的圖像上，求a、b的值．解：因?yàn)辄c(diǎn)(2，eq\f(1,4))在f(x)的反函數(shù)圖像上，所以點(diǎn)(eq\f(1,4)，2)在原函數(shù)的圖像上．將點(diǎn)(2，eq\f(1,4))和(eq\f(1,4)，2)分別代入f(x)＝2ax＋b得解之，得a＝－eq\f(12,7)，b＝eq\f(10,7).17．已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，試比較f(x)和g(x)的大?。猓阂?yàn)閒(x)－g(x)＝logxeq\f(3x,4)，所以①當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1,\f(3x,4)>1))，即x>eq\f(4,3)時(shí)，logxeq\f(3x,4)>0，即f(x)>g(x)；②當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1,0<\f(3x,4)<1))，即0<x<1時(shí)，logxeq\f(3x,4)>0，即f(x)>g(x)；③當(dāng)eq\f(3x,4)＝1，即x＝eq\f(4,3)時(shí)，logxeq\f(3x,4)＝0，即f(x)＝g(x)；④當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1,0<\f(3x,4)<1))，即1<x<eq\f(4,3)時(shí)，logxeq\f(3x,4)<0，即f(x)<g(x)；⑤當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1,\f(3x,4)>1))時(shí)，無解．綜上所述：當(dāng)x∈(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x＝eq\f(4,3)時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))時(shí)，f(x)<g(x)．18．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(2)＝eq\f(3,2)，且對(duì)任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，令x＝y(tǒng)＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，則0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．(2)f(2)＝eq\f(3,2)>0，即f(2)>f(0)．又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)．又由(1)，知f(x)是奇函數(shù)，則f(k·3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，所以k·3x<－3x＋9x＋2，即32x－(1＋k)·3x＋2>0對(duì)任意x∈R