高中數(shù)學(xué)人教A版第一章解三角形正弦定理和余弦定理 第一章2

1．余弦定理(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法.2.會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一余弦定理的推導(dǎo)思考1根據(jù)勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，則c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC．①試驗(yàn)證①式對(duì)等邊三角形還成立嗎？你有什么猜想？答案當(dāng)a＝b＝c時(shí)，∠C＝60°，a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos60°＝c2，即①式仍成立，據(jù)此猜想，對(duì)一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC.思考2在c2＝a2＋b2－2abcosC中，abcosC能解釋為哪兩個(gè)向量的數(shù)量積？你能由此證明思考1的猜想嗎？答案abcosC＝|eq\o(CB,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|coseq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→)).∴a2＋b2－2abcosC＝eq\o(CB,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))2－2eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝c2.猜想得證．梳理余弦定理的發(fā)現(xiàn)是基于已知兩邊及其夾角求第三邊的需要．因?yàn)閮蛇吋捌鋳A角恰好是平面向量一組基底的條件，所以能把第三邊用基底表示進(jìn)而求出模長(zhǎng)．另外，也可通過(guò)建立坐標(biāo)系利用兩點(diǎn)間距離公式證明余弦定理．知識(shí)點(diǎn)二余弦定理的呈現(xiàn)形式1．a(chǎn)2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.2．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).知識(shí)點(diǎn)三適宜用余弦定理解決的兩類基本的解三角形問(wèn)題思考1觀察知識(shí)點(diǎn)二第1條中的公式結(jié)構(gòu)，其中等號(hào)右邊涉及幾個(gè)量？你認(rèn)為可用來(lái)解哪類三角形？答案每個(gè)公式右邊都涉及三個(gè)量，兩邊及其夾角．故如果已知三角形的兩邊及其夾角，可用余弦定理解三角形．思考2觀察知識(shí)點(diǎn)二第2條中的公式結(jié)構(gòu)，其中等號(hào)右邊涉及幾個(gè)量？你認(rèn)為可用來(lái)解哪類三角形？答案每個(gè)公式右邊都涉及三個(gè)量，即三角形的三條邊，故如果已知三角形的三邊，也可用余弦定理解三角形．梳理余弦定理適合解決的問(wèn)題：(1)已知兩邊及其夾角，解三角形；(2)已知三邊，解三角形．類型一余弦定理的證明例1已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.解如圖，設(shè)eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))，知c＝a－b，則|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosC.所以c2＝a2＋b2－2abcosC.反思與感悟所謂證明，就是在新舊知識(shí)間架起一座橋梁．橋梁架在哪兒，要勘探地形，證明一個(gè)公式，要觀察公式兩邊的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，看有沒(méi)有相似的地方．跟蹤訓(xùn)練1例1涉及線段長(zhǎng)度，能不能用解析幾何的兩點(diǎn)間距離公式來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題？解如圖，以A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)，∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可證b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.類型二用余弦定理解三角形命題角度1已知兩邊及其夾角例2在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．(角度精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm)解根據(jù)余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝602＋342－2×60×34×cos41°≈1，所以a≈41(cm)．由正弦定理得，sinC＝eq\f(csinA,a)≈eq\f(34×sin41°,41)≈0.因?yàn)閏不是三角形中最大的邊，所以C為銳角，利用計(jì)算器可得C≈33°，所以B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.反思與感悟已知三角形兩邊及其夾角時(shí)，應(yīng)先從余弦定理入手求出第三邊，再利用正弦定理求其余的角．跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中，已知a＝2，b＝2eq\r(2)，C＝15°，求A.解由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－4eq\r(3)，所以c＝eq\r(6)－eq\r(2).由正弦定理，得sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(1,2)，因?yàn)閎>a，所以B>A，所以A為銳角，所以A＝30°.命題角度2已知三邊例3在△ABC中，已知a＝cm，b＝cm，c＝cm，解三角形．(角度精確到1′)解∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f＋－,2××≈3，∴A≈56°20′.∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f＋－,2××≈8，∴B≈32°53′.∴C＝180°－(A＋B)≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.反思與感悟已知三邊求三角，可利用余弦定理的變形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(b2＋a2－c2,2ba)求一個(gè)角，求其余角時(shí)，可用余弦定理也可用正弦定理．跟蹤訓(xùn)練3在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判斷三角形的形狀．解因?yàn)閍∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．c最大，cosC＝eq\f(2k2＋4k2－5k2,2×2k×4k)<0，所以C為鈍角，從而三角形為鈍角三角形．1．一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和3，它們夾角的余弦值是－eq\f(3,5)，則三角形的另一邊長(zhǎng)為()A．52B．2eq\r(13)C．16D．4答案B解析設(shè)另一邊長(zhǎng)為x，則x2＝52＋32－2×5×3×(－eq\f(3,5))＝52，∴x＝2eq\r(13).2．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角為()\f(π,3)\f(π,6)\f(π,4)\f(π,12)答案B解析∵a>b>c，∴C為最小角且C為銳角，由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).又∵C為銳角，∴C＝eq\f(π,6).3．如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值為()\f(5,18)\f(3,4)\f(\r(3),2)\f(7,8)答案D解析設(shè)頂角為C，周長(zhǎng)為l，因?yàn)閘＝5c，所以a＝b＝2c，由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(4c2＋4c2－c2,2×2c×2c)＝eq\f(7,8).1．利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：(1)已知兩邊和夾角，解三角形．(2)已知三邊求三角形的任意一角．2．余弦定理與勾股定理的關(guān)系：余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一個(gè)三角形兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角．(2)如果一個(gè)三角形兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角．(3)如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角．40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，則b等于()A．4eq\r(3)\r(7)C．7D．5答案C解析b2＝a2＋c2－2accosB＝32＋52－2×3×5×cos120°＝49，∴b＝7.2．邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是()A．90° B．120°C．135° D．150°答案B解析設(shè)中間角為θ，則θ為銳角，cosθ＝eq\f(52＋82－72,2×5×8)＝eq\f(1,2)，θ＝60°，180°－60°＝120°為所求．3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cosB等于()\f(1,4)\f(3,4)\f(\r(2),4)\f(\r(2),3)答案B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,2a×2a)＝eq\f(3,4).4．△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB＝7，BC＝5，CA＝6，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值為()A．19B．14C．－18D．－19答案D解析設(shè)三角形的三邊分別為a，b，c，依題意得，a＝5，b＝6，c＝7.∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos(π－B)＝－ac·cosB.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB，∴－ac·cosB＝eq\f(1,2)(b2－a2－c2)＝eq\f(1,2)(62－52－72)＝－19，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－19.5．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)，則△ABC的形狀為()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形答案B解析∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∴a2＋b2＝c2，符合勾股定理．∴△ABC為直角三角形．6.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min.若此人步行的速度為50m/min，則該扇形的半徑為()A．50mB．45mC．50eq\r(7)mD．47m答案C解析依題意得OD＝100m，CD＝150m，連接OC，易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，因此由余弦定理，得OC2＝OD2＋CD2－2OD×CD×cos∠ODC，即OC2＝1002＋1502－2×100×150×eq\f(1,2)，解得OC＝50eq\r(7)(m)．二、填空題7．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，則A＝________.答案120°解析a2－c2＝b2＋bc，b2＋c2－a2＝－bc，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc,2bc)＝－eq\f(1,2)，又A∈(0°，180°)，故A＝120°.8．已知三角形三邊長(zhǎng)為a，b，eq\r(a2＋ab＋b2)(a>0，b>0)，則最大角為_(kāi)_______．答案120°解析易知eq\r(a2＋ab＋b2)>a，eq\r(a2＋ab＋b2)>b，設(shè)最大角為θ，則cosθ＝eq\f(a2＋b2－\r(a2＋ab＋b2)2,2ab)＝－eq\f(1,2)，又∵θ∈(0°，180°)，∴θ＝120°.9．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，則AC邊上的中線長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案7解析由條件知cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2×AB×AC)＝eq\f(92＋82－72,2×9×8)＝eq\f(2,3)，設(shè)中線長(zhǎng)為x，由余弦定理，知x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋AB2－2×eq\f(AC,2)×ABcosA＝42＋92－2×4×9×eq\f(2,3)＝49，所以x＝7.所以AC邊上的中線長(zhǎng)為7.10．在△ABC中，AB＝2，AC＝eq\r(6)，BC＝1＋eq\r(3)，AD為邊BC上的高，則AD的長(zhǎng)是________．答案eq\r(3)解析∵cosC＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2×BC×AC)＝eq\f(\r(2),2)，∵C∈(0，eq\f(π,2))，∴sinC＝eq\f(\r(2),2).∴AD＝AC·sinC＝eq\r(3).三、解答題11．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長(zhǎng)．解(1)cosC＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,2).又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))∴AB