高中數(shù)學(xué)人教B版第二章平面向量學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)23

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(二十三)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.已知直線l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)與l平行，則實(shí)數(shù)m的值為()A.－1 B.1 D.－1或2【解析】向量(1－m,1)是直線的方向向量，所以斜率為eq\f(1,1－m)，則eq\f(1,1－m)＝－eq\f(m,2)，解得m＝－1或m＝2.【答案】D2.已知點(diǎn)A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，則以ABCD為頂點(diǎn)的四邊形是()A.梯形B.鄰邊不相等的平行四邊形C.菱形D.兩組對(duì)邊均不平行的四邊形【解析】因?yàn)閑q\o(AD,\s\up13(→))＝(8,0)，eq\o(BC,\s\up13(→))＝(8,0)，所以eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))，因?yàn)閑q\o(BA,\s\up13(→))＝(4，－3)，所以|eq\o(BA,\s\up13(→))|＝5，而|eq\o(BC,\s\up13(→))|＝8，故為鄰邊不相等的平行四邊形.【答案】B3.在△ABC中，若eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝eq\o(OG,\s\up13(→))，則點(diǎn)G是△ABC的()A.內(nèi)心 B.外心C.垂心 D.重心【解析】因?yàn)閑q\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝eq\o(OG,\s\up13(→))，所以eq\o(GA,\s\up13(→))－eq\o(GO,\s\up13(→))＋eq\o(GB,\s\up13(→))－eq\o(GO,\s\up13(→))＋eq\o(GC,\s\up13(→))－eq\o(GO,\s\up13(→))＝3eq\o(OG,\s\up13(→))，化簡(jiǎn)得eq\o(GA,\s\up13(→))＋eq\o(GB,\s\up13(→))＋eq\o(GC,\s\up13(→))＝0，故點(diǎn)G為三角形ABC的重心.【答案】D4.在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，已知eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AC,\s\up13(→))＝b，則下列向量中與eq\o(AD,\s\up13(→))同方向的是()\f(a＋b,|a＋b|) \f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)\f(a－b,|a－b|) \f(a,|a|)－eq\f(b,|b|)【解析】因?yàn)镈為BC邊的中點(diǎn)，則有eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))＝2eq\o(AD,\s\up13(→))，所以a＋b與eq\o(AD,\s\up13(→))共線，又因?yàn)閑q\f(a＋b,|a＋b|)與a＋b共線，所以選項(xiàng)A正確.【答案】A5.如圖2-4-4所示，一力作用在小車(chē)上，其中力F的大小為10N，方向與水平面成60°角，當(dāng)小車(chē)向前運(yùn)動(dòng)10米，則力F做的功為()圖2-4-4焦耳 焦耳\r(3)焦耳 焦耳【解析】設(shè)小車(chē)位移為s，則|s|＝10米，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×eq\f(1,2)＝50(焦耳).故選B.【答案】B二、填空題6.在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))·eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))·eq\o(AB,\s\up13(→))＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：72023071】【解析】eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))·eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))·eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))·(eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→)))＋eq\o(BC,\s\up13(→))·eq\o(CA,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(BA,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→))·eq\o(CB,\s\up13(→))＝－eq\o(AB,\s\up13(→))2－|eq\o(CA,\s\up13(→))||eq\o(CB,\s\up13(→))|cos60°＝－12－1×1×eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2).【答案】－eq\f(3,2)7.用兩條成120°角的等長(zhǎng)的繩子懸掛一個(gè)物體，如圖2-4-5所示，已知物體的重力大小為10N，則每根繩子的拉力大小是________.圖2-4-5【解析】因繩子等長(zhǎng)，所以每根繩子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根繩子的拉力大小都是10N.【答案】10N三、解答題8.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點(diǎn).(1)求直線DE，EF，F(xiàn)D的方程；(2)求AB邊上的高線CH所在直線的方程.【解】(1)由已知得點(diǎn)D(－1,1)，E(－3，－1)，F(xiàn)(2，－2).設(shè)點(diǎn)M(x，y)是直線DE上的任意一點(diǎn)，則eq\o(DM,\s\up13(→))∥eq\o(DE,\s\up13(→))，eq\o(DM,\s\up13(→))＝(x＋1，y－1)，eq\o(DE,\s\up13(→))＝(－2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0為直線DE的方程.同理可得直線EF，F(xiàn)D的方程分別為x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)設(shè)點(diǎn)N(x，y)是CH所在直線上的任意一點(diǎn)，則eq\o(CN,\s\up13(→))⊥eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(CN,\s\up13(→))·eq\o(AB,\s\up13(→))＝0，eq\o(CN,\s\up13(→))＝(x＋6，y－2)，eq\o(AB,\s\up13(→))＝(4,4)，∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0為所求高線CH所在直線的方程.9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1).(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；(2)求eq\o(AB,\s\up13(→))和eq\o(AC,\s\up13(→))夾角的余弦值；(3)是否存在實(shí)數(shù)t滿足(eq\o(AB,\s\up13(→))－teq\o(OC,\s\up13(→)))·eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OC,\s\up13(→))，若存在，求t的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解】(1)由題意知eq\o(AB,\s\up13(→))＝(3,5)，eq\o(AC,\s\up13(→))＝(－1,1)，則eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))＝(2,6)，eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))＝(4,4)，所以|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))|＝2eq\r(10)，|eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))|＝4eq\r(2)，故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2eq\r(10)，4eq\r(2).(2)cos∠BAC＝eq\f(\o(AB,\s\up13(→))·\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))||\o(AC,\s\up13(→))|)＝eq\f(2,\r(34)×\r(2))＝eq\f(\r(17),17)，所以eq\o(AB,\s\up13(→))和eq\o(AC,\s\up13(→))夾角的余弦值為eq\f(\r(17),17).(3)存在.由題設(shè)知：eq\o(OA,\s\up13(→))＝(－1，－2)，eq\o(OC,\s\up13(→))＝(－2，－1)，eq\o(AB,\s\up13(→))－teq\o(OC,\s\up13(→))＝(3＋2t,5＋t).假設(shè)存在實(shí)數(shù)t滿足(eq\o(AB,\s\up13(→))－teq\o(OC,\s\up13(→)))·eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OC,\s\up13(→))，所以(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝4，從而5t＝－15，所以t＝－3.[能力提升]1.(2023·德州高一檢測(cè))點(diǎn)O是平面ABC內(nèi)的一定點(diǎn)，P是平面ABC內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若(eq\o(PB,\s\up13(→))－eq\o(PC,\s\up13(→)))·(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝(eq\o(PC,\s\up13(→))－eq\o(PA,\s\up13(→)))·(eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝0，則點(diǎn)O為△ABC的()A.內(nèi)心 B.外心C.重心 D.垂心【解析】因?yàn)?eq\o(PB,\s\up13(→))－eq\o(PC,\s\up13(→)))·(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝0，則(eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(OC,\s\up13(→)))·(eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→)))＝0，所以eq\o(OB,\s\up13(→))2－eq\o(OC,\s\up13(→))2＝0，所以|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|.同理可得|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|，即|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|，所以O(shè)為△ABC的外心.【答案】B2.如圖2-4-6，ABCD是正方形，M是BC的中點(diǎn)，將正方形折起使點(diǎn)A與M重合，設(shè)折痕為EF，若正方形面積為64，求△AEM的面積.圖2-4-6【解】如圖，建立直角坐標(biāo)系，顯然EF是AM的中垂線，設(shè)AM與EF交于點(diǎn)N，則N是AM的中點(diǎn)，又正方形邊長(zhǎng)為8，所以M(8,4)，N(4,2).設(shè)點(diǎn)E(e,0)，則eq\o(AM,\s\up13(→))＝(8,4)，eq\o(AN,\s\up13(→))＝(4,2)，eq\o(AE,\s\up13(→))＝(e,