突變理論在邊坡穩(wěn)定性綜合評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

突變理論在邊坡穩(wěn)定性綜合評(píng)價(jià)中的應(yīng)用目錄1234緒論邊坡安全評(píng)價(jià)體系運(yùn)用突變理論對(duì)邊坡進(jìn)行綜合分析突變基本理論5結(jié)論1緒論邊坡工程的穩(wěn)定性評(píng)判是一個(gè)十分復(fù)雜而又重要的系統(tǒng)問(wèn)題，包含的因素很多，涉及到很多不確定性問(wèn)題。目前研究較多的方法集中于使用模糊數(shù)學(xué)對(duì)邊坡進(jìn)行安全穩(wěn)定分析和模糊綜合評(píng)判。這些方法從不同的角度對(duì)邊坡穩(wěn)定進(jìn)行了研究，但合理的確定參數(shù)的隸屬函數(shù)以及綜合評(píng)判體系中各層指標(biāo)權(quán)重的選擇十分困難，且主觀(guān)性較強(qiáng)。考慮邊坡的現(xiàn)場(chǎng)情況，針對(duì)評(píng)價(jià)因素權(quán)重確定中的困難，把突變理論運(yùn)用到邊坡的綜合評(píng)價(jià)中，利用突變理論在多準(zhǔn)則評(píng)價(jià)決策中的優(yōu)點(diǎn)，避免人為確定權(quán)重的主觀(guān)性。1緒論突變理論為我們提供了研究巖體邊坡穩(wěn)定性的新方法：

根據(jù)表層巖體位移觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)建立勢(shì)能函數(shù)或者通過(guò)擬合曲線(xiàn)，獲得巖體系統(tǒng)是否失穩(wěn)的判據(jù)，確定巖體邊坡系統(tǒng)的臨界狀態(tài)，研究系統(tǒng)狀態(tài)在變化時(shí)是否通過(guò)分叉集曲線(xiàn)，從而預(yù)測(cè)邊坡系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。

利用突變理論進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性研究具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。2突變基本理論法國(guó)數(shù)學(xué)家Thom于1972年以奇點(diǎn)理論、穩(wěn)定性理論等為基礎(chǔ)，建立了突變理論，用來(lái)研究各種突變（不連續(xù)）現(xiàn)象的一個(gè)新興數(shù)學(xué)分支，其主要方法是將各種突變現(xiàn)象歸納到不同類(lèi)別的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，根據(jù)勢(shì)函數(shù)把臨界點(diǎn)分類(lèi)，討論各類(lèi)臨界點(diǎn)附近的非連續(xù)特性，并建立了7種初等突變模型，即：折疊型突變（FoldCatastrophe)、尖點(diǎn)型突變（CuspCatastrophe)、燕尾型突變（SwallowtailCatastrophe)、蝴蝶型突變（ButterflyCatastrophe)、橢圓臍點(diǎn)突變（EllipticUmbilic)、雙曲突變（HyperbolicUmbilic)及拋物突變（ParabolicUmbilic)。2.1突變理論概述2突變基本理論對(duì)于初等突變理論而言，由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是根據(jù)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)而對(duì)臨界點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)，因此突變理論研究的仍是狀態(tài)的分岔，即平衡點(diǎn)間的相互轉(zhuǎn)換問(wèn)題。任何一個(gè)系統(tǒng)，其狀態(tài)總要保持平衡，系統(tǒng)由一個(gè)平衡狀態(tài)躍變到另一個(gè)平衡狀態(tài)時(shí)，即發(fā)生了突變，該過(guò)程的全貌可通過(guò)一個(gè)光滑的平衡曲面（突變流形）來(lái)描述。突變理論所研究的就是描述這種突變過(guò)程的所有可能的平衡曲面。Thom通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，證明了漸變的控制空間所產(chǎn)生的突變行為（狀態(tài)空間），在控制空間不超過(guò)4維、狀態(tài)空間不超過(guò)2維時(shí)，各種初等突變可歸結(jié)為7種基本類(lèi)型。2.2初等突變類(lèi)型2突變基本理論2.2初等突變類(lèi)型

表17種基本突變類(lèi)型2突變基本理論2.2.1尖點(diǎn)突變模型（最常見(jiàn)、應(yīng)用最廣泛）尖點(diǎn)突變模型勢(shì)函數(shù)的一般表達(dá)式為：式中，y為狀態(tài)變量，a、b為控制參數(shù)，V(x)表示一種勢(shì)，即狀態(tài)為x時(shí)，系統(tǒng)貯存的能量。當(dāng)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，有即平衡曲面方程為此三次方程的實(shí)根為一個(gè)或三個(gè)，其判別式為：當(dāng)Δ>0時(shí)，有一個(gè)實(shí)根；Δ<0時(shí)，有三個(gè)互異的實(shí)根；Δ=0時(shí)，三個(gè)實(shí)根中有兩個(gè)相同（a、b均不為零）或三個(gè)均相同（a=b=0）。

2突變基本理論2.2.1尖點(diǎn)突變模型（最常見(jiàn)、應(yīng)用最廣泛）尖點(diǎn)突變模型的一般特征：突然跳躍性滯后性多模態(tài)不可到達(dá)性發(fā)散性2突變基本理論2.2.2常用初等突變模型

Thom歸納的7種初等突變模型中較常用的模型有：尖點(diǎn)突變模型、燕尾突變模型和蝴蝶突變模型。設(shè)x為狀態(tài)變量，a、b、c、d為控制變量，其歸一公式如下所示：尖點(diǎn)突變模型歸一公式：xa=a1/2，xb=b1/3;燕尾突變模型歸一公式：xa=a1/2，xb=b1/3，xc=c1/4;蝴蝶突變模型歸一公式：xa=a1/2，xb=b1/3，xc=c1/4

，xd=d1/5;2突變基本理論2.2.2常用初等突變模型

3種模型示意圖如圖2所示，其中，圖2（a）為尖點(diǎn)突變模型系統(tǒng)，圖2（b）為燕尾突變模型系統(tǒng)，圖2（c）為蝴蝶突變模型系統(tǒng)。寫(xiě)在前面的是主要控制變量，后面的是次要控制變量。在確定控制變量的個(gè)數(shù)后就可以采用相應(yīng)的突變模型，然后根據(jù)不同模型的歸一公式計(jì)算出上層狀態(tài)變量的突變函數(shù)值。xabxacbxcadb（b）（a）（c）圖23種突變模型示意圖3邊坡安全評(píng)價(jià)體系這種多項(xiàng)目、多測(cè)點(diǎn)的監(jiān)測(cè)可以較全面地反映邊坡在不同時(shí)期的安全穩(wěn)定性態(tài)，可以及時(shí)對(duì)邊坡的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行分析反饋。3.1邊坡監(jiān)測(cè)儀器布置圖3邊坡監(jiān)測(cè)儀器布置圖3邊坡安全評(píng)價(jià)體系由于邊坡的穩(wěn)定控制主要是控制變形，監(jiān)測(cè)也主要以變形監(jiān)測(cè)為主，所以對(duì)第1層評(píng)價(jià)指標(biāo)采用燕尾突變模型，變形是主要控制變量，應(yīng)力其次，地下水的觀(guān)測(cè)時(shí)間最短，所以影響程度最小。3.2邊坡安全綜合評(píng)價(jià)體系圖4邊坡安全綜合評(píng)價(jià)體系3邊坡安全評(píng)價(jià)體系邊坡的變形觀(guān)測(cè)又分內(nèi)觀(guān)和外觀(guān)，內(nèi)部觀(guān)測(cè)能反映巖體中的深層結(jié)構(gòu)面的演變情況，而巖石邊坡中的不利結(jié)構(gòu)面常常是引起邊坡破壞的主要內(nèi)在因素，因此是主要控制變量；外觀(guān)主要是通過(guò)全站儀在外觀(guān)位移標(biāo)墩上測(cè)量邊坡的外表的變化情況，是次要控制標(biāo)量，因此對(duì)此層采用尖點(diǎn)突變模型。內(nèi)觀(guān)又由3種監(jiān)測(cè)項(xiàng)目(測(cè)斜、單點(diǎn)位移計(jì)、多點(diǎn)位移計(jì))組成，所以對(duì)此層元素采用燕尾突變模型；綜合考慮到儀器位置及觀(guān)測(cè)的時(shí)間長(zhǎng)短、數(shù)據(jù)量的大小，將測(cè)斜作為主要控制變量，多點(diǎn)位移計(jì)其次。各評(píng)價(jià)層元素的相對(duì)重要性用歸一公式中的a，b，c表示，3.2邊坡安全綜合評(píng)價(jià)體系4運(yùn)用突變理論對(duì)邊坡進(jìn)行綜合分析設(shè)定邊坡最危險(xiǎn)時(shí)的狀態(tài)為0，最安全時(shí)為1。為了進(jìn)行綜合分析，要將底層指標(biāo)(控制變量)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到其安全數(shù)值。通常底層指標(biāo)既有定量指標(biāo)，也有定性指標(biāo)，兩者的規(guī)格化的處理方法不同。由于本評(píng)價(jià)體系是完全基于現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)的基礎(chǔ)建立的，因此都是定量指標(biāo)，只需按照一定的控制標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化都可以將其轉(zhuǎn)化到0～1范圍內(nèi)的越大越好型無(wú)量綱指標(biāo)值。4.1底層監(jiān)測(cè)信息標(biāo)準(zhǔn)化4運(yùn)用突變理論對(duì)邊坡進(jìn)行綜合分析根據(jù)長(zhǎng)期的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)以及工程經(jīng)驗(yàn)，可以將測(cè)點(diǎn)的變化速率劃分為幾個(gè)區(qū)間，變化速率標(biāo)準(zhǔn)化建議區(qū)間見(jiàn)下表。（參考：侯玉成.土石壩健康診斷理論與方法研究[碩士學(xué)位論文].河海大學(xué)，2005）4.1底層監(jiān)測(cè)信息標(biāo)準(zhǔn)化表2變化速率標(biāo)準(zhǔn)化建議區(qū)間4運(yùn)用突變理論對(duì)邊坡進(jìn)行綜合分析設(shè)測(cè)點(diǎn)的變化速率為vt，標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)值為ut

。當(dāng)vt的數(shù)值位于不同的區(qū)間時(shí)，分別有如下的標(biāo)準(zhǔn)化公式：4.1底層監(jiān)測(cè)信息標(biāo)準(zhǔn)化4運(yùn)用突變理論對(duì)邊坡進(jìn)行綜合分析當(dāng)對(duì)表1中的區(qū)間的界線(xiàn)值x1，x2，x3取不同的值時(shí)，可以得到不同儀器原始速率vt的標(biāo)準(zhǔn)化后的不同數(shù)值。針對(duì)測(cè)斜儀的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，取x1=0.5mm/d，x2=1mm/d，x3=2mm/d。例如測(cè)點(diǎn)1在2004年的位移速率vt=0.84mm/d，用上面的標(biāo)準(zhǔn)化公式，ut=0.75-(0.84-0.50)(0.75-0.50)/0.50=0.58。同法可算出其余儀器在0～1內(nèi)的指標(biāo)值。根據(jù)底層指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值，按歸一公式可以算出各控制變量的相應(yīng)中間值，即突變級(jí)數(shù)值。然后逐級(jí)向上計(jì)算，可得到邊坡安全的總突變級(jí)數(shù)值。4.1底層監(jiān)測(cè)信息標(biāo)準(zhǔn)化4運(yùn)用突變理論對(duì)邊坡進(jìn)行綜合分析利用突變理論進(jìn)行多目標(biāo)綜合分析評(píng)價(jià)決策時(shí)，要考慮兩種原則，即“非互補(bǔ)”評(píng)價(jià)決策和“互補(bǔ)”評(píng)價(jià)決策。（參考：三峽水工建筑物安全監(jiān)控與反饋設(shè)計(jì)，左書(shū)）

4.2互補(bǔ)原則和非互補(bǔ)原則在評(píng)價(jià)中的使用4運(yùn)用突變理論對(duì)邊坡進(jìn)行綜合分析若一個(gè)系統(tǒng)的諸控制變量(如a，b，c，d)之間不可互相替代，即不可相互彌補(bǔ)其不足，因而按歸一公式求得系統(tǒng)狀態(tài)變量x的值時(shí)，要從諸控制變量相對(duì)應(yīng)的突變級(jí)數(shù)值中選取一個(gè)最小的作為系統(tǒng)的x值，即“大中取小”的“非互補(bǔ)”原則。若一個(gè)系統(tǒng)的諸控制變量之間存在相互關(guān)聯(lián)作用，則應(yīng)取控制變量對(duì)應(yīng)的突變級(jí)數(shù)的平均值來(lái)作為系統(tǒng)的x值，即“互補(bǔ)”原則。4.2互補(bǔ)原則和非互補(bǔ)原則在評(píng)價(jià)中的使用4運(yùn)用突變理論對(duì)邊坡進(jìn)行綜合分析由于在整個(gè)綜合評(píng)判過(guò)程中，諸控制變量的底層指標(biāo)和突變級(jí)數(shù)值均轉(zhuǎn)化為[0，1]區(qū)間內(nèi)的越大越優(yōu)型，所以最終的總突變級(jí)數(shù)值也越大越優(yōu)。

通過(guò)分析不同時(shí)期的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，可以得出不同時(shí)期的總突變級(jí)數(shù)值，從而分析邊坡安全狀態(tài)的變化情況。若突變值隨時(shí)間的推移而增大或基本穩(wěn)定，說(shuō)明該邊坡的安全狀態(tài)向好的方向發(fā)展；若突變值隨時(shí)間的推移而明顯減小，則應(yīng)引起注意。4.2互補(bǔ)原則和非互補(bǔ)原則在評(píng)價(jià)中的使用4運(yùn)用突變理論對(duì)邊坡進(jìn)行綜合分析4.3實(shí)例計(jì)算表3變形指標(biāo)計(jì)算結(jié)果根據(jù)突變理論綜合分析的步驟，對(duì)巖石高邊坡進(jìn)行了安全評(píng)判。按歸一公式分別計(jì)算各指標(biāo)的突變級(jí)數(shù)值，變形指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3所示。4運(yùn)用突變理論對(duì)邊坡進(jìn)行綜合分析4.3實(shí)例計(jì)算表3中內(nèi)觀(guān)的3類(lèi)監(jiān)測(cè)項(xiàng)目(測(cè)斜、多點(diǎn)、單點(diǎn))，代號(hào)分別為A1，A2，A3，采用非互補(bǔ)型蝴蝶突變模型；外觀(guān)指標(biāo)下分3個(gè)子指標(biāo)(斷面560，610，560)，代號(hào)分別為B1，B2，B3，采用互補(bǔ)型蝴蝶突變模型。求出內(nèi)觀(guān)、外觀(guān)指標(biāo)值后，采用尖點(diǎn)突變模型計(jì)算變形評(píng)判指標(biāo)的總突變函數(shù)值。4運(yùn)用突變理論對(duì)邊坡進(jìn)行綜合分析4.3實(shí)例計(jì)算同理可求出應(yīng)力和地下水的突變函數(shù)值：X應(yīng)力=0.90，X地下水=0.94。采用非互補(bǔ)型蝴蝶突變模型可得到邊坡的總突變函數(shù)值為0.87。同理可以求出第二年邊坡的總突變值為0.89。4運(yùn)用突變理論對(duì)邊坡進(jìn)行綜合分析從連續(xù)2年的突變值可以看出邊坡的總突變值均較大，且基本穩(wěn)定，有小幅增大。說(shuō)明邊坡的安全狀態(tài)基本正常，且有向好的方向發(fā)展的趨勢(shì)。