結(jié)構(gòu)力學(xué)李廉錕 第13章-結(jié)構(gòu)彈性

第十三章結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定§13-1

概述§13-2

用靜力法確定臨界荷載§13-3

具有彈性支座壓桿的穩(wěn)定§13-4

用能量法確定臨界荷載§13-5

變截面壓桿的穩(wěn)定§13-6

剪力對臨界荷載的影響§13-7

組合壓桿的穩(wěn)定

1.平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性

結(jié)構(gòu)失穩(wěn)：結(jié)構(gòu)離開穩(wěn)定的平穩(wěn)狀態(tài)，轉(zhuǎn)入不穩(wěn)

定平衡狀態(tài)或隨遇平衡狀態(tài)，稱為結(jié)構(gòu)失穩(wěn)或結(jié)

構(gòu)屈曲。

2.結(jié)構(gòu)失穩(wěn)13-1概述穩(wěn)定的平衡狀態(tài)

不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)

結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的類型：平衡狀態(tài)：

第一類失穩(wěn)第二類失穩(wěn)

結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析的目的：防止不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)或隨遇平衡狀態(tài)發(fā)生。

3.第一類失穩(wěn)(分支點(diǎn)失穩(wěn))當(dāng)F<Fcr

時(shí)，在桿的橫向作用一微小的干擾力使桿彎曲，取消干擾力后，桿會(huì)恢復(fù)直線，此時(shí)，壓桿的直線平衡是穩(wěn)定的。

當(dāng)F=Fcr

時(shí)，同樣在桿的橫向作用一微小的干擾力使桿彎曲，但取消干擾力后，桿不會(huì)恢復(fù)直線而仍保持彎曲平衡，于是出現(xiàn)了平衡形式的分支，即此時(shí)壓桿即可以具有原來只受軸力的直線平衡，也可以具有新的同時(shí)受壓和受彎的彎曲平衡形式。FFcrδA

Fcr

O

F

δ

F~δ曲線

Fcr—臨界荷載，特征：平衡形式會(huì)發(fā)生質(zhì)變，即出現(xiàn)分支點(diǎn)。理想中心受壓直桿

此時(shí)的狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。

4.第二類失穩(wěn)(極值點(diǎn)失穩(wěn))壓桿始終處于受壓和彎曲的復(fù)合受力狀態(tài)，隨著荷載F的增加，桿件的撓度會(huì)逐漸增大。當(dāng)荷載F達(dá)到臨界值Fcr

時(shí)，即使不增加荷載甚至減小荷載，撓度仍會(huì)繼續(xù)增加。壓桿始終是處于彎曲平衡形式。

Fcr—臨界荷載特征：平衡形式不發(fā)生分支現(xiàn)象，即沒有新的平衡形式發(fā)生。F

e

δ

A

Fcr

O

F

δ

F~δ曲線第二類失穩(wěn)較第一類失穩(wěn)復(fù)雜，本章只討論彈性結(jié)構(gòu)的第一類失穩(wěn)。

5.結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的自由度結(jié)構(gòu)穩(wěn)定自由度：確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)所有可能的變形形式所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。1個(gè)自由度2個(gè)自由度Fy無限多個(gè)自由度FφEI=∞Fy1y2EI=∞EI=∞2個(gè)自由度Fy1y2EI=∞EI=∞與支承彈簧的數(shù)量無關(guān)圖示單自由度結(jié)構(gòu)，豎桿為無限剛性，下端為抗轉(zhuǎn)彈簧支承，其剛度為k

(發(fā)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩)，設(shè)壓桿處于隨遇平衡狀態(tài)時(shí)偏離豎直位，有傾角φ

，由平衡條件

靜力法：根據(jù)分支點(diǎn)狀態(tài)（臨界狀態(tài)）時(shí)結(jié)構(gòu)新出現(xiàn)的平衡形式來建立平衡方程，從而求解臨界荷載。13-2用靜力法確定臨界荷載A

Fcr

O

F

B

CφF

A

B

EI=∞

kl

F

A

B

kφφF~φ曲線分別用小變形理論和大變形理論求解此方程。有

1.剛性壓桿（有限自由度）的臨界荷載

(1)按小變形分析由于位移和變形都很小，近似地取，則平衡方程可寫為關(guān)于方程的解：

b.φ

≠0

時(shí)，有，上式也成立，此時(shí)對應(yīng)的是新的平衡形式。

因此，欲使φ

≠0

時(shí)，則必須有

Fl-k=0

a.

φ

=0

時(shí)，上式成立，對應(yīng)的是結(jié)構(gòu)原有的平衡形式。A

Fcr

O

F

B

CφF

A

B

EI=∞

kl

F

A

B

kφφF~φ曲線欲使φ

≠0

時(shí)，則必須有

Fl-k=0上式稱為穩(wěn)定方程或特征方程，反應(yīng)了失穩(wěn)時(shí)平衡形式的二重性，即結(jié)構(gòu)在新形式下也能維持平衡的條件。由此方程可求出臨界荷載

失穩(wěn)后的位移值φ

無法確定，荷載—位移曲線如AB。F

A

B

EI=∞

klA

Fcr

O

F

B

Cφ

(2)按大變形分析由平衡方程可得即每一個(gè)φ

值對應(yīng)一個(gè)F值，荷載—位移曲線如AC。而臨界荷載為

當(dāng)φ

→0

時(shí)，與按小變形分析所得結(jié)果相同。因此若只要求臨界荷載而不需計(jì)算失穩(wěn)后的位移，可按小變形理論分析。

F

A

B

kφφA

Fcr

O

F

B

Cφ

例13-1圖式結(jié)構(gòu)中兩抗移彈簧的剛度均為k

，求結(jié)構(gòu)的臨界荷載。F

EI=∞

EI=∞

k

k

l

l

A

B

Cy1

y2

F

ky1

ky2

解：結(jié)構(gòu)有2個(gè)穩(wěn)定自由度，設(shè)失穩(wěn)時(shí)A、

B點(diǎn)的側(cè)向位移分別是y1、

y2。對AB段∑MB=0，有對整體∑MC=0，有即

y1、y2

不能全為零，其非零解的條件是：上述方程的系數(shù)行列式為零，即展開得解為F

EI=∞

EI=∞

k

k

l

l

A

B

Cy1

y2

F

ky1

ky2

因F2<F1，所以臨界荷載為

理論上，F(xiàn)1、F2都是臨界荷載，但兩者對應(yīng)的失穩(wěn)形式不同，

F1=2.618kl時(shí)，失穩(wěn)形式是

F2=0.382kl時(shí)，失穩(wěn)形式是

而真正的失穩(wěn)形式是

y1=1

F=2.618kl

y2=0.618

y1=1

y2=-1.618

F=0.382kl

F

EI=∞

EI=∞

k

k

l

l

A

B

C

2.彈性壓桿（無限自由度）的臨界荷載F

y

y

x

lFs

B

A

C

F

yFs

M

l-x

A

C

圖示一段固定另一端鉸支的等截面彈性壓桿。設(shè)失穩(wěn)時(shí)桿件的撓曲線為y=y(x)，C為任一截面，其彎矩為M，取AC段分析，得

由

2.彈性壓桿（無限自由度）的臨界荷載F

y

y

x

lFs

B

A

C

F

yFs

M

l-x

A

C

由材料力學(xué)知，撓曲線與截面彎矩的關(guān)系是

于是

或

令

則有

此方程為非齊次線性常系數(shù)微分方程，其解為相應(yīng)齊次微分方程的解加該微分方程的任意一個(gè)特解，即

式中A、B為積分常數(shù)，F(xiàn)s/F也是未知數(shù)，用撓曲線的邊界條件來確定這些未知數(shù)。邊界條件為當(dāng)x=0時(shí)，y=0，y′=0當(dāng)x=l時(shí)，y=0代入撓曲線方程，得到關(guān)于A、B、Fs/F的齊次線性方程組關(guān)于方程的解（1）A=B=Fs/F=0，顯然是方程的一組解，此時(shí)撓曲線y=0，故這組解對應(yīng)的是原有的直線平衡形式。（2）A、B、Fs/F不全為零（非零解），才可得到彎曲的撓曲線方程y=y(x)，因此非零解對應(yīng)的是失穩(wěn)后的彎曲平衡形式。由線性代數(shù)知，齊次線性方程組為非零解的條件是：系數(shù)行列式為零。故A、

B、Fs/F是非零解，則必有上式即為該結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定方程，展開整理得該方程為超越方程，可用試算法結(jié)合圖解法求解，其解為于是，臨界荷載為

一端彈性固定另一端自由的壓桿，彈簧抗轉(zhuǎn)剛度k1，試寫出其穩(wěn)定方程。13-3具有彈性支座壓桿的穩(wěn)定

1.彈性支座（彈性）壓桿的穩(wěn)定A

k1

1

F

y

y

1M

x

F

B

A

EI

k1

δy

x

l

y

1由整體，有

\

1.彈性支座（彈性）壓桿的穩(wěn)定A

k1

1

F

y

y

1M

x

F

B

A

EI

k1

δy

x

l

y

1取下段隔離體分析，由有因于是可得撓曲線微分方程或

令，上式可寫為微分方程的通解（撓曲線方程）式中，A，B為任意常數(shù)。撓曲線的邊界條件為當(dāng)x=0時(shí)，y=0，y′=1當(dāng)x=l時(shí)，將撓曲線方程代入邊界條件，得F

B

A

EI

k1

δy

x

l

y

1

右式為關(guān)于A，B，1的齊次線性方程組，當(dāng)A=B=1=0時(shí)，對應(yīng)原有的平衡形式；當(dāng)A，B，1不全為零時(shí)，對應(yīng)新的彎曲平衡形式，由線性代數(shù)知，此時(shí)上述方程的系數(shù)行列式為零，即得

穩(wěn)定方程為展開行列式，得因，故穩(wěn)定方程可寫為F

B

A

EI

k1

δy

x

l

y

1

例：等直壓桿，上下端各有一抗轉(zhuǎn)彈簧，剛度分別為k2

、

k1，上端還有一抗移彈簧，剛度為k3

，試寫出其穩(wěn)定方程。k2

φ2k3

F

B

A

EIk2

yφ

2k3

lx

k1

k1

φ1yφ

1

解：由整體平衡，得k2

2

k3δ

F

δ-y

l-x

FS

M

FN

=F2k2

φ2k3

F

B

A

EIk2

yφ

2k3

lx

k1

k1

φ1yφ

1k2

2

k3δ

F

δ-y

l-x

FS

M

FN

=F2

取上段隔離體分析，得

而，所以

令，則有

方程的通解（撓曲線方程）為

式中，A，B為任意常數(shù)。撓曲線的邊界條件為

當(dāng)

x=0時(shí)，y=0，當(dāng)

x=l時(shí)，y=，y′=-2k2

φ2k3

F

B

A

EIk2

yφ

2k3

lx

k1

k1

φ1yφ

1

由此可列出四個(gè)關(guān)于常數(shù)A、B、、2的齊次線性方程，因A、B、、2不全為零，故其系數(shù)行列式應(yīng)為零，于是得穩(wěn)定方程為

A

B

2y=y=0

實(shí)際上該結(jié)構(gòu)是彈性支座等直壓桿的一般情況，上式就是等直壓桿穩(wěn)定方程的一般形式。

如取

k2=k3=0，上式則為故穩(wěn)定方程為

展開得

故穩(wěn)定方程為

展開得

如取

k1=∞，k2=0，上式則為k1=∞，

k2=0

EI

F

k3

lF

EI

k1

l

k2=k3=0FφEI=∞k1

l

k3

k2=0

對于剛性壓桿，有EI=∞，若取

k2=0，則由上式可求出臨界荷載為

2.剛架的穩(wěn)定剛架的穩(wěn)定分析通常較復(fù)雜，但某些結(jié)構(gòu)和受力均較簡單剛架穩(wěn)定分析可簡化為彈性支座壓桿的計(jì)算。方法是將壓桿單獨(dú)取出，其余部分對它的約束作用以彈性支座代替。

2.剛架的穩(wěn)定Fll1

EIEI1

BAC

1DEA(

b

)

(

a)

FBAEIk1

lk3

1圖（a）所示剛架，AB為壓桿，將其單獨(dú)取出分析臨界荷載。該桿兩端的約束情況是

B端：不能側(cè)移但可轉(zhuǎn)動(dòng)，而轉(zhuǎn)動(dòng)不是完全自由的，要受BC

桿的彈性約束，其效果相當(dāng)于一個(gè)抗轉(zhuǎn)彈簧，設(shè)剛度為k1。

A端：為鉸結(jié)點(diǎn)，可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，但側(cè)移受鏈桿AD的彈性約束，其效果相當(dāng)于一個(gè)抗移彈簧，設(shè)剛度為k3。于是，剛架中AB桿的穩(wěn)定分析就簡化為圖（b）的彈性支座壓桿的穩(wěn)定。l1

EI1

BCZ1=1

_3iZ1=1

_l1

EI1

BC3i(

d

)

(

e)

(

c

)

l1

ADEAk3

1

彈簧剛度的計(jì)算抗移彈簧剛度k3

為鏈桿AD發(fā)生單位伸長（縮短）時(shí)，桿端作用的外力，見圖（c）,

由，有

于是

抗轉(zhuǎn)彈簧剛度k1

為BC桿的B端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)，在桿端作用的力偶，由圖（d）或圖（e），可得

例:求圖(a)所示剛架的臨界荷載Fcr。FFFFAFBCIlFII1=2Il/2l/2正對稱形式失穩(wěn)

反對稱形式失穩(wěn)

(

b

)

(

a)

(

c

)

解：該剛架是一對稱結(jié)構(gòu)，荷載為正對稱荷載，故失穩(wěn)形式既可能是正對稱的，也可能是反對稱的。AFBCII1

AFBCII1

正對稱形式的一半反對稱形式的一半(

h

)

(

d

)

正對稱形式失穩(wěn)

根據(jù)正對稱變形的特征，取半個(gè)結(jié)構(gòu)，在

C截面（對稱軸上的截面）用一滑動(dòng)支座支承，AFBCII1

FBAEIk2

BAFEIk1

BCl/2iEI1

1

正對稱形式失穩(wěn)

(d

)

(

e)

(

g)

(

f)

=

=

如圖。BC桿對B端的約束為抗轉(zhuǎn)彈簧和水平方向的支座鏈桿，抗轉(zhuǎn)彈簧剛度k2為根據(jù)等直壓桿穩(wěn)定方程的一般形式，取k1=0，k2=4EI/l，k3=∞，可得正對稱形式失穩(wěn)的穩(wěn)定方程

方程的最小正根為

nl=3.83，故臨界荷載為

BC桿對B端的轉(zhuǎn)動(dòng)約束（抗轉(zhuǎn)彈簧k2），可以移到A端，于是，在一般形式的等直壓桿穩(wěn)定方程中，則取k1=4EI/l，k2=0，k3=∞，可得到相同的穩(wěn)定方程及相同的臨界荷載。

反對稱形式失穩(wěn)根據(jù)反對稱變形的特征，取半個(gè)結(jié)構(gòu)，在

C截面用一豎直方向的座鏈桿支承，如圖。

BC桿對B端的彈性約束為抗轉(zhuǎn)彈簧，抗轉(zhuǎn)彈簧剛度k2為反對稱形式失穩(wěn)

=

=

根據(jù)等直壓桿穩(wěn)定方程的一般形式，取k1=0，k2=12EI/l，k3=0，可得反對稱形式失穩(wěn)的穩(wěn)定方程

方程的最小正根為

nl=1.45，故臨界荷載為

同樣，BC桿對B端的轉(zhuǎn)動(dòng)約束（抗轉(zhuǎn)彈簧k2），可以移到A端，于是，在一般形式的等直壓桿穩(wěn)定方程中，則取k1=12EI/l，k2=0，k3=0，可得到相同的穩(wěn)定方程及相同的臨界荷載。AFBCII1

FBAEIk2

BAFEIk1

l/2EI1

BC3i1(

h)

(

j)

(

i)

(

k)

FEI,l

k1=i

FEI,l

EI,2l

FFEI,l

FEI,l

k1=3i

>>=>正對稱形式失穩(wěn)反對稱形式失穩(wěn)

直接比較正對稱失穩(wěn)和反對稱失穩(wěn)的臨界荷載如圖所示，臨界荷載按由大到小排列，故反對稱失穩(wěn)的臨界荷載小于正對稱失穩(wěn)的臨界荷載。等直壓桿的臨界荷載Fcr由此，可以比較該剛架正對稱失穩(wěn)和反對稱失穩(wěn)的臨界荷載大小。隨彈性支座的剛度k1，k2，k3增加而增大隨桿的截面抗彎剛度EI的增加而增大隨桿長l的增加而減小13-4用能量法確定臨界荷載

1.勢能駐值原理能量法確定臨界荷載的理論依據(jù)是勢能駐值原理。

勢能駐值原理：彈性結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)時(shí)，對于滿足約束及連續(xù)條件的所有可能的位移中，只有真實(shí)的位移（還須滿足平衡條件）使結(jié)構(gòu)的勢能為駐值（極值），即結(jié)構(gòu)勢能的一階變分為零。

13-4用能量法確定臨界荷載

1.勢能駐值原理結(jié)構(gòu)的勢能用Ep表示，結(jié)構(gòu)勢能的一階變分為零，即Ep=0。勢能駐值原理是變形體系虛功原理的另一種表達(dá)形式，實(shí)質(zhì)上就是用能量形式表示的平衡條件。

結(jié)構(gòu)的勢能（或總勢能）Ep，有

其中Vε—

結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能

V—外力勢能，等于外力所作虛功的負(fù)值，即

有n個(gè)穩(wěn)定自由度的結(jié)構(gòu)，其獨(dú)立參數(shù)為a1，a2

，…，an。結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)形式由這n個(gè)參數(shù)決定，故結(jié)構(gòu)的勢能則為這

n個(gè)參數(shù)的函數(shù)，即Ep=Ep(a1，a2，

…

，an)，于是，Ep的變分計(jì)算可轉(zhuǎn)換為微分計(jì)算。

2.有限自由度的臨界荷載

2.有限自由度的臨界荷載給所有參數(shù)ai

一個(gè)任意微小的增量ai

（位移的變分），

i=1，2，

…

，n，則勢能Ep

的變分Ep為由勢能駐值原理

Ep=0，且a1

，a2，…

，

an的任意性，則必有

2.有限自由度的臨界荷載方程為一組關(guān)于a1，a2

，…，an

的齊次線性方程。欲使a1，a2

，…，an

不全為零（對應(yīng)失穩(wěn)后新的平衡形），則方程的系數(shù)行列式應(yīng)等于零，即得穩(wěn)定方程，由此可計(jì)算出臨界荷載。對于單自由度結(jié)構(gòu)，上述方程為F

BAEI=∞

klFB

k

AΔ例：用能量法確定圖示壓桿的臨界荷載。

解：結(jié)構(gòu)為單自由度結(jié)構(gòu)，設(shè)失穩(wěn)時(shí)桿件的轉(zhuǎn)角為。彈簧的應(yīng)變能荷載作用處的豎向位移

外力勢能F

BAEI=∞

klFB

k

AΔ例：用能量法確定圖示壓桿的臨界荷載。因此，結(jié)構(gòu)勢能（總勢能）為由勢能駐值原理，得

，于是有

為非零解的條件為

故臨界荷載為

例：已知AB和BC桿均為剛性，兩個(gè)彈簧支座的剛度均為k，試用能量法確定結(jié)構(gòu)的臨界荷載。y1

y2

FΔ

ky1ky2EI=∞

EI=∞

k

k

l

l

A

B

C

F

解：結(jié)構(gòu)有2個(gè)穩(wěn)定自由度，設(shè)失穩(wěn)時(shí)兩彈簧的伸長分別是y1，y2

，如圖所示。

彈簧的應(yīng)變能

荷載作用處的豎向位移

外力勢能

例：已知AB和BC桿均為剛性，兩個(gè)彈簧支座的剛度均為k，試用能量法確定結(jié)構(gòu)的臨界荷載。y1

y2

FΔ

ky1ky2EI=∞

EI=∞

k

k

l

l

A

B

C

F

結(jié)構(gòu)的勢能（總勢能）為

由勢能駐值原理

得于是有

y1，y2應(yīng)為非零解，故上式的系數(shù)行列式為零，即

展開并整理得方程的解為所以，結(jié)構(gòu)的臨界荷載為

3.無限自由度（彈性壓桿）的臨界荷載dx

ds

dy

FEIyxdx

Δ

ds

yl

圖示彈性壓桿，截面抗彎剛度EI，失穩(wěn)時(shí)發(fā)生彎曲變形（不計(jì)軸向變形和剪切變形）。設(shè)失穩(wěn)后的撓曲線為桿件發(fā)生彎曲變形，其應(yīng)變能為而，故應(yīng)變能也可寫為

3.無限自由度（彈性壓桿）的臨界荷載dx

ds

dy

FEIyxdx

Δ

ds

yl

設(shè)荷載作用點(diǎn)的豎直方向位移為Δ。桿件微段長度dx，變形后的長度為ds，則變形前后的長度之差為

所以因而外力勢能為于是，結(jié)構(gòu)的勢能為顯然，EP是y

的函數(shù)，而撓曲線y=y(x)

是未知的，故EP是一個(gè)泛函。EP=0是對泛函求極值，即泛函的變分法。變分法（變分計(jì)算）既復(fù)雜且得到的是撓曲線函數(shù)y(x)的微分方程，而不是臨界荷載。故通常不用變分計(jì)算（精確方法），而是使用近似方法，即瑞利—李茲法。

瑞利——李茲法假設(shè)撓曲線函數(shù)y為式中，--滿足位移邊界條件的已知函數(shù)，--任意未知參數(shù)（廣義坐標(biāo)）。這樣臨界狀態(tài)的變形形式就由a1，a2，…

，an共n個(gè)參數(shù)確定，原無限自由度問題近似地簡化為n個(gè)自由度問題。若假設(shè)的撓曲線函數(shù)y只取一項(xiàng)，則簡化為單自由度。

瑞利——李茲法

討論

(1)此方法為近似法，所假設(shè)的撓曲線與真實(shí)撓曲線越接近，誤差越小。若假設(shè)的撓曲線恰好為真實(shí)撓曲線，則結(jié)果為精確值。

(2)近似的撓曲線相當(dāng)于增加了約束，從而增大了結(jié)構(gòu)的剛度，故此種方法求得的臨界荷載近似值，總是大于精確值。

(3)給定的函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件，最好還能滿足力的邊界條件。例：圖示為兩端鉸支的等截面壓桿，試用能量法（瑞利—李茲法）求其臨界荷載。

解：為簡單起見，撓曲線函數(shù)只取一項(xiàng)，取三種不同的撓曲線分別計(jì)算。F

EIyxlyq

撓曲線的位移邊界條件

當(dāng)x=0、l時(shí)，y=0

（1）設(shè)撓曲線為正弦曲線滿足位移邊界條件。

應(yīng)變能

外力勢能例：圖示為兩端鉸支的等截面壓桿，試用能量法（瑞利—李茲法）求其臨界荷載。F

EIyxlyq

因此，結(jié)構(gòu)的勢能

由勢能駐值原理，有因a≠0，故臨界荷載為

結(jié)果與靜力法求得的精確解相同，這是因?yàn)樗O(shè)的撓曲線正好是真實(shí)的撓曲線。

（2）設(shè)撓曲線為拋物線

應(yīng)變能

外力勢能

因此，結(jié)構(gòu)的勢能滿足位移邊界條件

根據(jù)勢能駐值原理，有，且a≠0，于是臨界荷載所得結(jié)果的誤差很大，為21.6%。

（3）設(shè)撓曲線為均布荷載作用下的變形曲線

顯然滿足位移邊界條件

應(yīng)變能外力勢能

因此，結(jié)構(gòu)的勢能

由勢能駐值原理，有，且a≠0，故臨界荷載誤差很小，僅為0.12%

13-5變截面壓桿的穩(wěn)定

1.階形桿工程中常見的兩種變截面壓桿：階形桿，截面連續(xù)變化。截面呈階梯形變化，上、下兩段各的平衡微分方程分別是

于是撓曲微分方程為

EI1

F

l

EI2

l1

l2

xF

x

y1

δ

yy2

令

方程解為

撓曲方程y1、y2中共有A1、B