高中數(shù)學(xué)人教A版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第3章函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例1．會(huì)利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn))2．能夠建立確定性函數(shù)模型解決問(wèn)題及建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理函數(shù)模型的應(yīng)用閱讀教材P101～P106，完成下列問(wèn)題．1．常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式(1)正比例函數(shù)模型f(x)＝kx(k為常數(shù)，k≠0)(2)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，k≠0)(3)一次函數(shù)模型f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)(4)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(5)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)(6)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1)(7)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠1)(8)分段函數(shù)模型f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1,f2x，x∈D2,……,fnx，x∈Dn))2.建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的框圖表示圖3-2-61．某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動(dòng)物，已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到()A．300只 B．400只C．600只 D．700只【解析】將x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7時(shí)，y＝100log2(7＋1)＝300.【答案】A2．據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次元，普通車存車費(fèi)是每輛一次元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是()A．y＝＋800(0≤x≤2000)B．y＝＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－＋800(0≤x≤2000)D．y＝－＋1600(0≤x≤2000)【解析】由題意知，變速車存車數(shù)為(2000－x)輛次，則總收入y＝＋(2000－x)×＝－＋1600(0≤x≤2000)．【答案】D[小組合作型]一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的應(yīng)用商場(chǎng)銷售某一品牌的羊毛衫，購(gòu)買人數(shù)是羊毛衫標(biāo)價(jià)的一次函數(shù)，標(biāo)價(jià)越高，購(gòu)買人數(shù)越少．把購(gòu)買人數(shù)為零時(shí)的最低標(biāo)價(jià)稱為無(wú)效價(jià)格，已知無(wú)效價(jià)格為每件300元．現(xiàn)在這種羊毛衫的成本價(jià)是100元/件，商場(chǎng)以高于成本價(jià)的價(jià)格(標(biāo)價(jià))出售．問(wèn)：(1)商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元？(2)通常情況下，獲取最大利潤(rùn)只是一種“理想結(jié)果”，如果商場(chǎng)要獲得最大利潤(rùn)的75%，那么羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件多少元？【精彩點(diǎn)撥】(1)先設(shè)購(gòu)買人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤(rùn)為y元，列出函數(shù)y的解析式，最后利用二次函數(shù)的最值即可求得商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元即可；(2)由題意得出關(guān)于x的方程式，解得x值，從而即可解決商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)的75%，每件標(biāo)價(jià)為多少元．【自主解答】(1)設(shè)購(gòu)買人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤(rùn)為y元，則x∈(100,300]，n＝kx＋b(k＜0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)，y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100,300])，∵k＜0，∴x＝200時(shí)，ymax＝－10000k，即商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件200元．(2)由題意得，k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，即x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150.所以，商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)的75%，每件標(biāo)價(jià)為250元或150元．在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的利潤(rùn)最大、用料最省等問(wèn)題.[再練一題]1．某水廠的蓄水池中有400噸水，每天零點(diǎn)開始由池中放水向居民供水，同時(shí)以每小時(shí)60噸的速度向池中注水，若t小時(shí)內(nèi)向居民供水總量為100eq\r(6t)(0≤t≤24)，求供水開始幾小時(shí)后，蓄水池中的存水量最少.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97030141】【解】設(shè)t小時(shí)后，蓄水池中的存水量為y噸，則y＝400＋60t－100eq\r(6t)(0≤t≤24)，設(shè)u＝eq\r(t)，則u∈[0，2eq\r(6)]，y＝60u2－100eq\r(6)u＋400＝60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u－\f(5\r(6),6)))2＋150，∴當(dāng)u＝eq\f(5\r(6),6)，即t＝eq\f(25,6)時(shí)，蓄水池中的存水量最少．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用聲強(qiáng)級(jí)Y(單位：分貝)由公式Y(jié)＝10lgeq\f(I,10－12)給出，其中I為聲強(qiáng)(單位：W/m2)．(1)平時(shí)常人交談時(shí)的聲強(qiáng)約為10－6W/m2，求其聲強(qiáng)級(jí)；(2)一般常人能聽到的最低聲強(qiáng)級(jí)是0分貝，求能聽到的最低聲強(qiáng)為多少？(3)比較理想的睡眠環(huán)境要求聲強(qiáng)級(jí)Y≤50分貝，已知熄燈后兩個(gè)學(xué)生在宿舍說(shuō)話的聲強(qiáng)為5×10－7W/m2，問(wèn)這兩位同學(xué)是否會(huì)影響其他同學(xué)休息？【精彩點(diǎn)撥】由公式Y(jié)＝10lgeq\f(I,10－12)可以由I求Y，也可以由Y求I，計(jì)算I＝5×10－7W/m2時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)并與50作比較就可以判斷兩位同學(xué)是否會(huì)影響其他同學(xué)休息．【自主解答】(1)當(dāng)I＝10－6W/m2時(shí)，代入得Y＝10lgeq\f(10－6,10－12)＝10lg106＝60，即聲強(qiáng)級(jí)為60分貝．(2)當(dāng)Y＝0時(shí)，即為10lgeq\f(I,10－12)＝0，所以eq\f(I,10－12)＝1，I＝10－12W/m2，則能聽到的最低聲強(qiáng)為10－12W/m2.(3)當(dāng)聲強(qiáng)I＝5×10－7W/m2時(shí)，聲強(qiáng)級(jí)Y＝10lgeq\f(5×10－7,10－12)＝10lg(5×105)＝50＋10lg5＞50，所以這兩位同學(xué)會(huì)影響其他同學(xué)休息．1．有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般是先給出對(duì)數(shù)函數(shù)模型，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解．2．在實(shí)際問(wèn)題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等問(wèn)題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示，通常可以表示為y＝N(1＋p)x，(其中N為基數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)的形式．[再練一題]2．目前某縣有100萬(wàn)人，經(jīng)過(guò)x年后為y萬(wàn)人．如果年平均增長(zhǎng)率是%，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)計(jì)算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到萬(wàn)人)；(3)計(jì)算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn)(精確到1年)．【解】(1)當(dāng)x＝1時(shí)，y＝100＋100×%＝100(1＋%)；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝100(1＋%)＋100(1＋%)×%＝100(1＋%)2；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝100(1＋%)2＋100(1＋%)2×%＝100(1＋%)3；……故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝100(1＋%)x(x∈N*)．(2)當(dāng)x＝10時(shí)，y＝100×(1＋%)10＝100×≈.故10年后該縣約有萬(wàn)人．(3)設(shè)x年后該縣的人口總數(shù)為120萬(wàn)，即100×(1＋%)x＝120，解得x＝\f(120,100)≈16.故大約16年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn)．分段函數(shù)模型的應(yīng)用經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某城市的一種小商品在過(guò)去的近20天內(nèi)的銷售量(件)與價(jià)格(元)均為時(shí)間t(天)的函數(shù)，且銷售量近似滿足g(t)＝80－2t(件)，價(jià)格近似滿足于f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t，0≤t≤10,25－\f(1,2)t，10<t≤20))(元)．(1)試寫出該種商品的日銷售額y與時(shí)間t(0≤t≤20)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．【精彩點(diǎn)撥】(1)由已知，由價(jià)格乘以銷售量可得該種商品的日銷售額y與時(shí)間t(0≤t≤20)的函數(shù)表達(dá)式；(2)由(1)分段求出函數(shù)的最大值與最小值，從而可得該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．【自主解答】(1)由已知，由價(jià)格乘以銷售量可得：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t))80－2t，0≤t≤10,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,2)t))80－2t，10<t≤20，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋3040－t，0≤t≤10,50－t40－t，10<t≤20，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋10t＋1200，0≤t≤10,t2－90t＋2000，10<t≤20，))(2)由(1)知①當(dāng)0≤t≤10時(shí)，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為t＝5，該函數(shù)在t∈[0,5)遞增，在t∈(5,10]遞減，∴ymax＝1225(當(dāng)t＝5時(shí)取得)，ymin＝1200(當(dāng)t＝0或10時(shí)取得)．②當(dāng)10＜t≤20時(shí)，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，圖象開口向上，對(duì)稱軸為t＝45，該函數(shù)在t∈(10,20]遞減，t＝10時(shí)，y＝1200，ymin＝600(當(dāng)t＝20時(shí)取得)，由①②知ymax＝1225(當(dāng)t＝5時(shí)取得)，ymin＝600(當(dāng)t＝20時(shí)取得)．1．建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間．2．分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別求出來(lái)，再將其合到一起．[再練一題]3．國(guó)慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅行團(tuán)人數(shù)在30人或30人以下，每人需交費(fèi)用為900元；若旅行團(tuán)人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1人，人均費(fèi)用減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止．旅行社需支付各種費(fèi)用共計(jì)15000元.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97030142】(1)寫出每人需交費(fèi)用y關(guān)于人數(shù)x的函數(shù)；(2)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？【解】(1)當(dāng)0＜x≤30時(shí)，y＝900；當(dāng)30＜x≤75，y＝900－10(x－30)＝1200－10x；即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0<x≤30,1200－10x，30<x≤75.))(2)設(shè)旅行社所獲利潤(rùn)為S元，則當(dāng)0＜x≤30時(shí)，S＝900x－15000；當(dāng)30＜x≤75，S＝x(1200－10x)－15000＝－10x2＋1200x－15000；即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0<x≤30,－10x2＋1200x－15000，30<x≤75.))因?yàn)楫?dāng)0＜x≤30時(shí)，S＝900x－15000為增函數(shù)，所以x＝30時(shí)，Smax＝12000；當(dāng)30＜x≤75時(shí)，S＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，即x＝60時(shí)，Smax＝21000＞12000.所以當(dāng)旅行團(tuán)人數(shù)為60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)．[探究共研型]擬合數(shù)據(jù)構(gòu)建函數(shù)模型探究1畫函數(shù)圖象的一般步驟有哪些？【提示】列表、描點(diǎn)、連線．探究2學(xué)校食堂要了解全校師生的午間就餐情況，以備飯菜，你能用數(shù)學(xué)知識(shí)給予指導(dǎo)性說(shuō)明嗎？【提示】第一步：收集樣本一周的數(shù)據(jù)，制成樣本點(diǎn)．如(1，x1)，(2，x2)，…，(7，x7)．第二步：描點(diǎn)，對(duì)上述數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖的形式，給予直觀展示．第三步：數(shù)據(jù)擬合，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型擬合上述樣本點(diǎn)．第四步：驗(yàn)證上述模型是否合理、有效，并做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整．某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，自2023年以來(lái)，每年在正常情況下，該產(chǎn)品產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng)．已知2023年為第1年，前4年年產(chǎn)量f(x)(萬(wàn)件)如下表所示：x1234f(x)(1)畫出2023～2023年該企業(yè)年產(chǎn)量的散點(diǎn)圖；(2)建立一個(gè)能基本反映(誤差小于這一時(shí)期該企業(yè)年產(chǎn)量變化的函數(shù)模型，并求出函數(shù)解析式；(3)2023年(即x＝5)因受到某國(guó)對(duì)我國(guó)該產(chǎn)品反傾銷的影響，年產(chǎn)量減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2023年的年產(chǎn)量為多少？【精彩點(diǎn)撥】eq\x(描點(diǎn))eq\o(→,\s\up14(依散點(diǎn)圖))eq\x(選模)eq\o(→,\s\up14(待定系數(shù)法))eq\x(求模)eq\o(→,\s\up14(誤差))eq\x(驗(yàn)?zāi)?→eq\x(用模)【自主解答】(1)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示．(2)由散點(diǎn)圖知，可選用一次函數(shù)模型．設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝,b＝，))∴f(x)＝＋.檢驗(yàn)：f(2)＝，且|－|＝<.f(4)＝，且|－|＝<.∴一次函數(shù)模型f(x)＝＋能基本反映年產(chǎn)量的變化．(3)根據(jù)所建的函數(shù)模型，預(yù)計(jì)2023年的年產(chǎn)量為f(5)＝×5＋＝10萬(wàn)件，又年產(chǎn)量減少30%，即10×70%＝7萬(wàn)件，即2023年的年產(chǎn)量為7萬(wàn)件．函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟是：1根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點(diǎn)圖.2通過(guò)考察散點(diǎn)圖，畫出擬合直線或擬合曲線.3求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式.4利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，為決策和管理提供依據(jù).[再練一題]4．某電視新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售100臺(tái)，第二個(gè)月銷售200臺(tái)，第三個(gè)月銷售400臺(tái)，第四個(gè)月銷售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x(1≤x≤4，x∈N*)之間關(guān)系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100x【解析】當(dāng)x＝4時(shí)，A中，y＝400，B中，y＝700，C中，y＝800，D中，y＝1004.故選C.【答案】C1．在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：xy－則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x【解析】根據(jù)x＝，y＝－，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x＝，y＝，代入計(jì)算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．【答案】D2．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬(wàn)元．又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，則總利潤(rùn)L(Q)的最大值是________萬(wàn)元．【解析】因?yàn)長(zhǎng)(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500，所以，當(dāng)Q＝300時(shí)，L(Q)的最大值為2500萬(wàn)元．【答案】25003．某商人將彩電先按原價(jià)提高40%，然后在廣告上寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠”結(jié)果是每臺(tái)彩電比原價(jià)多賺了270元，則每臺(tái)彩電的原價(jià)為________元．【解析】設(shè)彩電