高中數(shù)學(xué)人教B版1第三章空間向量與立體幾何空間向量及其運(yùn)算第3章2

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．設(shè)a，b，c是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列命題：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝eq\r(a·a)；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正確的有()A．①② B．②③C．③④ D．②④【解析】由于數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故①不正確，由數(shù)量積的性質(zhì)知②正確，③中，|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④運(yùn)算正確．【答案】D2．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，則a與b的夾角〈a，b〉＝()A．30° B．45°C．60° D．以上都不對【解析】∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝eq\f(3,2)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,4).【答案】D3．已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積不為零的是()\o(PC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→)) B．eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))\o(PD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))【解析】用排除法，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，排除D；因?yàn)锳D⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，排除B，同理eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，排除C.【答案】A4.如圖3-1-29，已知空間四邊形每條邊和對角線都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是()圖3-1-29A．2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))C．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))D．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))【解析】2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a2，故A錯；2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝－a2，故B錯；2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a2，故D錯；2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2＝a2，故只有C正確．【答案】C5．在正方體ABCD-A1B1C1D1①(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為60°.其中正確命題的個數(shù)是()A．1個 B．2個C．3個 D．0個【解析】由題意知①②都正確，③不正確，eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為120°.【答案】B二、填空題6．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3b【導(dǎo)學(xué)號：15460066】【解析】|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos60°＝61，∴|2a－3b|＝eq\r(61).【答案】eq\r(61)7．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，則使向量a＋λb與λa－2b的夾角為鈍角的實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．【解析】由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋λb·λa－2b<0，,cos〈a＋λb，λa－2b〉≠－1.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋λb·λa－2b<0，,a＋λb·λa－2b≠－|a＋λb||λa－2b|))得λ2＋2λ－2<0.∴－1－eq\r(3)<λ<－1＋eq\r(3).【答案】(－1－eq\r(3)，－1＋eq\r(3))8.如圖3-1-30，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM圖3-1-30【解析】不妨設(shè)棱長為2，則eq\o(AB,\s\up6(→))1＝eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→))，cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BB1,\s\up6(→))－\o(BA,\s\up6(→))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BB1,\s\up6(→)))),2\r(2)×\r(5))＝eq\f(0－2＋2－0,2\r(2)×\r(5))＝0，故填90°.【答案】90°三、解答題9．如圖3-1-31，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)．求證：A1O⊥平面BDG圖3-1-31【證明】設(shè)eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c.則a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.而eq\o(A1O,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(1,2)c.∴eq\o(A1O,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·(b－a)＝c·(b－a)＋eq\f(1,2)(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋eq\f(1,2)(b2－a2)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.∴eq\o(A1O,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)).∴A1O⊥BD.同理可證eq\o(A1O,\s\up6(→))⊥eq\o(OG,\s\up6(→)).∴A1O⊥OG.又OG∩BD＝O且A1O?平面BDG，∴A1O⊥平面BDG.10．已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)，試計(jì)算：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC1,\s\up6(→)).【解】如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝b·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－a＋b))＝|b|2＝42＝16.(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC1,\s\up6(→))＝(eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→)))·(eq\o(FD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－a＋\f(1,2)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,4)|b|2＝2.[能力提升]1．已知邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心為O1，則eq\o(AO1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值為()A．－1 B．0C．1 D．2【解析】eq\o(AO1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1O1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，而eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(AO1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2)＝1，故選C.【答案】C2．已知a，b是兩異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，則直線a，b所成的角為()A．30° B．60°C．90° D．45°【解析】由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))2＝1.cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，得〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°.【答案】B3．已知正三棱柱ABC-DEF的側(cè)棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點(diǎn)，若直線CF上有一點(diǎn)N，使MN⊥AE，則eq\f(CN,CF)＝________.【導(dǎo)學(xué)號：15460067】【解析】設(shè)eq\f(CN,CF)＝m，由于eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋meq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝0，得eq\f(1,2)×1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋4m＝0，解得m＝eq\f(1,16).【答