高中數(shù)學(xué)北師大版2第四章定積分

章末分層突破[自我校對]①面積、路程②做功③牛頓-萊布尼茨④面積⑤體積定積分的計算1.利用定義求定積分.步驟：(1)分割區(qū)間；(2)求過剩估計值、不足估計值；(3)取極限.2.利用定積分的幾何意義求定積分.3.利用微積分基本定理求定積分.若F′(x)＝f(x)，eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,)f（x）dx)＝F(b)－F(a).求下列定積分.(1)eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx；(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))dx.【精彩點撥】(1)可用定積分的幾何意義求解；(2)先去絕對值號，然后結(jié)合定積分的性質(zhì)求解.【規(guī)范解答】(1)eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx表示的是圖中陰影所示半徑為2的半圓的面積.其面積為eq\f(1,2)×π×22＝2π，所以eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx＝2π.(2)∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(ln3x,x)，\f(1,e)≤x≤1，,\f(ln3x,x)，1≤x≤e，))∴eq\i\in(\f(1,e),e,)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))dx＝eq\i\in(\f(1,e),1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ln3x,x)))dx＋eq\i\in(1,e,)eq\f(ln3x,x)dx.∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln4x,4)))′＝eq\f(ln3x,x)，∴eq\i\in(\f(1,e),e,)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ln3x,x)))dx＝－eq\f(ln4x,4)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,e)))＋eq\f(ln4x,4)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(e,1)＝－eq\f(ln41,4)＋eq\f(ln4\f(1,e),4)＋eq\f(ln4e,4)－eq\f(ln41,4)＝eq\f(1,2).[再練一題]1.計算下列定積分.(1)eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x（x＋1）)dx；(2)eq\i\in(-\f(π,2),\f(π,2),)(cosx＋2x)dx.【解】(1)∵eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x（x＋1）)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,x＋1)))dx＝[lnx－ln(x＋1)]eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o\al(2,1)))＝lneq\f(4,3).(2)eq\i\in(-\f(π,2),\f(π,2),)(cosx＋2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(2x,ln2)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\s\up8(\f(π,2)),－\f(π,2)))＝2＋eq\f(1,ln2)(2eq\s\up8(\f(π,2))－2eq\s\up8(－\f(π,2))).定積分在幾何中的應(yīng)用1.由積分的概念可知，定積分在研究求解曲邊平面圖形的面積中有廣泛的應(yīng)用.求解時應(yīng)將相應(yīng)問題畫出草圖，適當(dāng)分割后轉(zhuǎn)化為定積分求解.2.利用定積分也可以求出一些簡單的幾何體體積.如圓錐體、圓柱體、圓臺、球體等.計算由曲線y＝f(x)，直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為V＝eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,)π[f（x）]2dx.)求由曲線y＝x2＋4與直線y＝5x，x＝0，x＝4所圍成的平面圖形的面積.【精彩點撥】eq\x(畫出草圖)→eq\x(求交點坐標(biāo))→eq\x(\a\al(確定被積函數(shù),及積分上、下限))→eq\x(求定積分)【規(guī)范解答】畫出草圖，如圖所示.所求平面圖形為圖中陰影部分.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4，,y＝5x，))得交點A(1，5)，B(4，20).故所求平面圖形的面積S＝eq\i\in(0,1,)(x2＋4－5x)dx＋eq\i\in(1,4,)(5x－x2－4)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋4x－\f(5,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)x2－\f(1,3)x3－4x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(4,1))＝eq\f(1,3)＋4－eq\f(5,2)＋eq\f(5,2)×42－eq\f(1,3)×43－4×4－eq\f(5,2)＋eq\f(1,3)＋4＝eq\f(19,3).[再練一題]2.求曲線y＝sinx，x∈[0，π]與x軸所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到旋轉(zhuǎn)體的體積.【導(dǎo)學(xué)號：94210078】【解】由體積公式V＝eq\i\in(0,π,)πy2dx＝eq\i\in(0,π,)π(sinx)2dx數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想貫穿本章的始終，主要體現(xiàn)在利用定積分的幾何意義求定積分及用定積分求曲邊圖形的面積.在做題前首先要畫出圖形，確定圖形是在x軸的上方還是下方，并且通過解方程組求出交點的橫坐標(biāo)定出積分上、下限.如圖4-1所示，在區(qū)間[0，1]上給定曲線y＝x2，試在此區(qū)間內(nèi)確定t的值，使圖中陰影部分的面積S1與S2之和最小.圖4-1【精彩點撥】確定被積函數(shù)，積分上、下限，求定積分，并用導(dǎo)數(shù)求最值.【規(guī)范解答】S1的面積等于邊長分別為t與t2的矩形面積去掉曲線y＝x2與x軸，直線x＝t圍成的面積.即S1＝t·t2－eq\i\in(0,t,)x2dx＝eq\f(2,3)t3；S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉一矩形面積，矩形邊長分別為t2，1－t，即S2＝eq\i\in(t,1,)x2dx－t2(1－t)＝eq\f(2,3)t3－t2＋eq\f(1,3).所以陰影部分面積S＝S1＋S2＝eq\f(4,3)t3－t2＋eq\f(1,3)(0≤t≤1).令S′(t)＝4t2－2t＝4teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))＝0，得t＝0或t＝eq\f(1,2)，易知當(dāng)t＝eq\f(1,2)時，S最小，所以最小值為Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4).[再練一題]3.(2023·濰坊高二檢測)如圖4-2，直線y＝kx分拋物線y＝x－x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值.圖4-2【解】拋物線y＝x－x2與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為x1＝0，x2＝1，所以拋物線與x軸所圍成圖形的面積為S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－\f(x3,3)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).拋物線y＝x－x2與直線y＝kx交點的橫坐標(biāo)分別為x1′＝0，x2′＝1－k，所以eq\f(S,2)＝eq\i\in(0,1－k,)(x－x2－kx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k,2)x2－\f(x3,3)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1－k,0))＝eq\f(1,6)(1－k)3，又知S＝eq\f(1,6)，所以(1－k)3＝eq\f(1,2)，于是k＝1－eq\r(3,\f(1,2))＝1－eq\f(\r(3,4),2).1.(2023·陜西高考)定積分eq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx的值為()＋2 ＋1 －1【解析】eq\i\in(0,1,)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|eq\o\al(1,0)＝e.故選C.【答案】C2.(2023·江西高考)若f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，則eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝()A.－1 B.－eq\f(1,3)\f(1,3) 【解析】∵f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，∴eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋2x∫eq\o\al(1,0)f（x）dx))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,0))＝eq\f(1,3)＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，∴eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－eq\f(1,3).【答案】B3.(2023·湖北高考)若函數(shù)f(x)，g(x)滿足eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,)f（x）·g（x）dx＝0，)則稱f(x)，g(x)為區(qū)間[－1，1]上的一組正交函數(shù).給出三組函數(shù)：①f(x)＝sineq\f(1,2)x，g(x)＝coseq\f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中為區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是() 【解析】①eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)sineq\f(1,2)xcoseq\f(1,2)xdx＝eq\f(1,2)eq\i\in(－1,1,)sinxdx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)cosx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,－1))＝0，故第①組是區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù)；②eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x＋1)(x－1)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x2－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o\al(1,－1)))＝－eq\f(4,3)≠0，故第②組不是區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù)；③eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(－1,1,)x·x2dx＝eq\i\in(－1,1,)x3dx＝eq\f(x4,4)eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,－1))＝0，故第③組是區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù).綜上，滿足條件的共有兩組.【答案】C4.(2023·湖南高考)eq\i\in(0,2,)(x－1)dx＝__________.【解析】eq\i\in(0,2,)(x－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,0))＝eq\f(1,2)×22－2＝0.【答案】0章末綜合測評(四)定積分(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)\i\in(1,4,)xdx表示平面區(qū)域的面積，則該平面區(qū)域用陰影表示為()ABCD【解析】由定積分的幾何意義易知選項B正確.【答案】B\i\in(0,2π,)sinxdx＝() C.－2 【解析】eq\i\in(0,2π,)sinxdx＝－cosxeq\a\vs4\al(|eq\o\al(2π,0))＝0.【答案】D\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx＝()\f(1,2) C.－eq\f(1,2) D.－2【解析】eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx＝eq\i\in(1,2,)(3x2)dx－eq\i\in(1,2,)(2x3)dx＝3eq\i\in(1,2,)x2dx－2eq\i\in(1,2,)x3dx＝3×eq\f(7,3)－2×eq\f(15,4)＝7－eq\f(15,2)＝－eq\f(1,2).【答案】C4.若eq\i\in(0,a,)(2－3x)dx＝－2(a>0)，則a的值為() \f(2,3)或eq\f(2,3) 或－eq\f(2,3)【解析】∵a>0，∴eq\i\in(0,a,)(2－3x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2)x2))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(a,0))＝2a－eq\f(3,2)a2，由題知2a－eq\f(3,2)a2＝－2，解得a＝2.【答案】A5.曲線y2＝6ax，x＝2a(a>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為()πa2 πa2πa3 πa3【解析】V＝eq\i\in(0,2a,)πy2dx＝eq\i\in(0,2a,)π6axdx＝3πax2eq\a\vs4\al(|eq\o\al(2a,0))＝12πa3.【答案】C6.設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,\f(1,x)，x∈[1，e]，))則eq\i\in(0,e,)f(x)dx等于()【導(dǎo)學(xué)號：94210079】\f(4,3) \f(5,4)\f(6,5) \f(7,6)【解析】eq\i\in(0,e,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,e,)eq\f(1,x)dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＋lnxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o\al(e,1)))＝eq\f(4,3).【答案】A7.由y＝ex，x＝2，y＝e圍成的曲邊梯形的面積是()－2e －e 【解析】所求面積為S＝eq\i\in(1,2,)(ex－e)dx＝(ex－ex)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝e2－2e.【答案】A8.(2023·石家莊高二檢測)若eq\i\in(1,a,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))dx＝3－ln2，且a>1，則a的值為() 【解析】eq\i\in(1,a,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))dx＝(x2－lnx)|eq\o\al(a,1)＝a2－lna－1，故有a2－lna－1＝3－ln2，解得a＝2.【答案】D9.若S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx，S3＝eq\i\in(1,2,)exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為()<S2<S3 <S1<S3<S3<S1 <S2<S1【解析】S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝eq\f(1,3)×23－eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝lnxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝ln2，S3＝eq\i\in(1,2,)exdx＝exeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝e2－e＝e(e－1)，ln2<lne＝1，且eq\f(7,3)<<e(e－1)，所以ln2<eq\f(7,3)<e(e－1)，即S2<S1<S3.【答案】B10.設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0，,x＋\i\in(0,a,)3t2dt，x≤0，))若f[f(1)]＝1，則實數(shù)a的值是() 【解析】因為x＝1>0，所以f(1)＝lg1＝0.又x≤0時，f(x)＝x＋eq\i\in(0,a,)3t2dt＝x＋t3eq\a\vs4\al(|eq\o\al(a,0))＝x＋a3，所以f(0)＝a3.因為f[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.【答案】D11.定積分eq\i\in(0,1,)(eq\r(1－（x－1）2)－x)dx等于()\f(π－2,4) \f(π,2)－1\f(π－1,4) \f(π－1,2)【解析】eq\i\in(0,1,)(eq\r(1－（x－1）2)－x)dx＝eq\i\in(0,1,)eq\r(1－（x－1）2)dx－eq\i\in(0,1,)xdx.eq\i\in(0,1,)eq\r(1－（x－1）2)dx表示圓(x－1)2＋y2＝1的上半圓與x＝1，x＝0，y＝0圍成的圖形面積.畫出圖形(略)可知S1＝eq\i\in(0,1,)eq\r(1－（x－1）2)dx＝eq\f(π,4)，S2＝eq\i\in(0,1,)xdx＝eq\f(1,2)，∴S＝S1－S2＝eq\f(π－2,4).【答案】A12.一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止.在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是()＋25ln5 ＋25lneq\f(11,3)＋25ln5 ＋50ln2【解析】由v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)＝0，可得t＝eq\a\vs4\al(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＝－\f(8,3)舍去)))，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4s，此期間行駛的距離為eq\i\in(0,4,)v(t)dt＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,4,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f(25,1＋t))))dt＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7t－\f(3,2)t2＋25ln（t＋1）))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(4,0))＝4＋25ln5.【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上)13.若eq\i\in(0,1,)(2x＋k)dx＝2，則k＝________.【解析】∵eq\i\in(0,1,)(2x＋k)dx＝(x2＋kx)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝1＋k＝2，∴k＝1.【答案】114.曲線y2＝4ax，x＝a(a>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積是________.【導(dǎo)學(xué)號：94210080】【解析】由旋轉(zhuǎn)體體積公式可得：V＝πeq\i\in(0,a,)y2dx＝πeq\i\in(0,a,)4axdx＝4πaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(a,0))＝2πa3.【答案】2πa315.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，則x0的值為________.【解析】∵eq\i\in(0,1,)(ax2＋c)dx＝axeq\o\al(2,0)＋c，∴eq\f(a,3)＝axeq\o\al(2,0).∵a≠0，∴xeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,3)，又0≤x0≤1，∴x0＝eq\f(\r(3),3).【答案】eq\f(\r(3),3)16.曲線y＝x2和曲線y2＝x圍成的圖形的面積是________.【解析】作出兩曲線y＝x2與y＝xeq\f(1,2)圍成的圖形(如圖陰影所示)，則圖形的面積S＝eq\i\in(0,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\s\up12(\f(1,2))－x2))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up12(\f(3,2))－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(2,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)由直線y＝kx(k>0)，直線y＝0，x＝1所圍成的圖形的面積為S1，由曲線y＝3－3x2，直線x＝0，x＝1，y＝0所圍成的圖形的面積為S2，當(dāng)S1＝S2時，求k的值及直線的方程.【解】依題意得S1＝eq\i\in(0,1,)kxdx＝eq\f(1,2)kx2eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,0))＝eq\f(k,2)，S2＝eq\i\in(0,1,)(3－3x2)dx＝(3x－x3)eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,0))＝2.∵S1＝S2，∴eq\f(k,2)＝2，解得k＝4，則直線的方程為y＝4x.18.(本小題滿分12分)如圖1所示，求由曲線y＝eq\f(1,4)x2，x∈[0，3]，x＝0及y＝2eq\f(1,4)所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成幾何體的體積.圖1【解】根據(jù)題意和圖形，所求體積V＝eq\i\in(0,\f(9,4),)π·(2eq\r(y))2dy＝4πeq\i\in(0,\f(9,4),)ydy＝4π×eq\f(1,2)y2eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\s\up12(\f(9,4)),0))＝2π×eq\f(81,16)＝eq\f(81π,8).19.(本小題滿分12分)計算曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍成圖形的面積.【解】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝x2－2x＋3，))解得x1＝0，x2＝3.因此所求圖形的面積為S＝eq\i\in(0,3,)(x＋3)dx－eq\i\in(0,3,)(x2－2x＋3)dx＝eq\i\in(0,3,)[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝eq\i\in(0,3,)(－x2＋3x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋\f(3,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(3,0))＝eq\f(9,2).20.(本小題滿分12分)求由曲線y＝eq\r(x)，直線y＝x－2以及x軸所圍成的平面圖形的面積.【解】作出直線y＝x－2，曲線y＝eq\r(x)的草圖，所求平面圖形的面積為圖中陰影部分的面積.可求得直線y＝x－2與曲線y＝eq\r(x)的交點為(4，2).直線y＝x－2與x軸的交點為(2，0).陰影部分的面積(記為S)，由兩部分組成：一部分是直線x＝2左邊的圖形的面積(記為S1)；另一部分是直線x＝2右邊的圖形的面積(記為S2).則S＝S1＋S2＝eq\i\in(0,2,)eq\r(x)dx＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\i\in(2,4,)\r(x)dx－\i\in(2,4,)（x－2）dx))＝eq\f(2,3)xeq\s\up12(\f(3,2))eq\a\vs4\al(|eq\