高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步 第一章章末檢測(cè)

第一章章末檢測(cè)一、選擇題(本大題10個(gè)小題，每小題5分，共50分)1．若a、b為異面直線，直線c∥a，c與b的位置關(guān)系是()A．相交B．異面C．平行D．異面或相交答案：D2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段C1D，BC的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A．相交B．異面C．平行D．垂直答案：A解析：因?yàn)锳1B∥D1C，D1C∩EF＝E，又E，F(xiàn)，A1，B四點(diǎn)都在平行四邊形A1BCD1上，所以E，F(xiàn)，A1，B四點(diǎn)共面，所以EF與A1B相交，故選A.3．如圖為一零件的三視圖，根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)(單位：cm)可知這個(gè)零件的體積為()A．(64－π)cm3B．(64－4π)cm3C．(48－π)cm3D．(48－4π)cm3答案：B解析：由三視圖，可知這個(gè)零件是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體，中間挖去了一個(gè)底面半徑為1、高為4的圓柱所形成的幾何體，其體積為43－π×12×4＝(64－4π)cm3.4．若圓柱、圓錐的底面直徑和高都等于球的直徑，則圓柱、圓錐、球的體積的比為()A．1：2：3B．2：3：4C．3：2：4D．3：1：2答案：D5．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則外接球的表面積和體積分別為()A．48π，32eq\r(3)πB．48π，4eq\r(3)πC．12π，4eq\r(3)πD．12π，32eq\r(3)π答案：C6．正方體ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)．那么正方體的過(guò)P、Q、R的截面圖形是()A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形答案：D7．已知α，β為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列結(jié)論正確的是()A．若m⊥α，m⊥n，則n∥αB．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若mβ，且α⊥β，則m⊥αD．若m⊥β，且α∥β，則m⊥α答案：D解析：A中可能nα；B中m，n還可能相交或異面；C中m，α還可能平行或斜交；一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè)，所以D正確．8．四面體S－ABC中，各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與SA所成角等于()A．90°B．60°C．45°D．30°答案：C9．設(shè)m、n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m⊥α，n∥α，則m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ③若m∥α，n∥α，則m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β其中正確命題的序號(hào)是()A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④答案：A10．直線m⊥平面α，垂足是O，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)C在平面α上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線m上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)O到直線AD的距離的取值范圍是()A．[eq\f(4\r(2)－5,2)，eq\f(4\r(2)＋5,2)]B．[2eq\r(2)－2,2eq\r(2)＋2]C．[eq\f(3－2\r(2),2)，eq\f(3＋2\r(2),2)]D．[3eq\r(2)－2,3eq\r(2)＋2]答案：B解析：由題意，直線BC與動(dòng)點(diǎn)O的空間關(guān)系：點(diǎn)O是以BC為直徑的球面上的點(diǎn)，所以O(shè)到AD的距離為四面體上以BC為直徑的球面上的點(diǎn)到AD的距離，最大距離為AD到球心的距離(即BC與AD的公垂線)＋半徑＝2eq\r(2)＋2.最小距離為AD到球心的距離(即BC與AD的公垂線)－半徑＝2eq\r(2)－2.∴點(diǎn)O到直線AD的距離的取值范圍是：[2eq\r(2)－2,2eq\r(2)＋2]．二、填空題(本大題5個(gè)小題，每小題5分，共25分)11．已知圓錐的表面積為6π，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為_(kāi)_______．答案：eq\r(2)12．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC中點(diǎn)，則三棱錐B－B1EF的體積為_(kāi)_______．答案：eq\f(1,3)13．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為BB1和CD的中點(diǎn)，則直線AM和D1N所成的角為_(kāi)_______.答案：90°14．如圖，梯形A′B′C′D′是水平放置的四邊形ABCD的用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖．若A′D′∥y′軸，A′B′∥C′D′，A′B′＝eq\f(2,3)C′D′＝2，A′D′＝O′D′＝1，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_______．答案：5解析：如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D′＝1，OC＝O′C′＝2.過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線，并在平行線上截取DA＝2D′A′＝2.過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，并在平行線上截取AB＝A′B′＝2.連接BC，即得到了四邊形ABCD.可知四邊形ABCD是直角梯形，上、下底邊分別為AB＝2，CD＝3，高AD＝2，所以四邊形ABCD的面積S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.15．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，給出以下四個(gè)結(jié)論：①直線D1C∥平面A1ABB1；②直線A1D1與平面BCD1相交；③直線AD⊥平面D1DB；④平面BCD1⊥平面A1ABB1.其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______．答案：①④解析：因?yàn)槠矫鍭1ABB1∥平面D1DCC1，D1C平面D1DCC1，所以D1C∥平面A1ABB1，①正確；直線A1D1在平面BCD1內(nèi)，②不正確；顯然AD不垂直于BD，所以AD不垂直于平面D1DB，③不正確；因?yàn)锽C⊥平面A1ABB1，BC平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，④正確．三、解答證明題(本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．)16．(12分)圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，軸截面的面積等于392cm2，母線與軸的夾角是45°，求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長(zhǎng)和兩底面半徑．解：圓臺(tái)的軸截面如右圖所示，設(shè)圓臺(tái)上下底面半徑分別為xcm,3xcm.延長(zhǎng)AA1交OO1的延長(zhǎng)線于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，則∠SAO＝45°，∴SO＝AO＝3x，∴OO1＝2x，又S軸截面＝eq\f(1,2)(6x＋2x)·2x＝392，∴x＝7.故圓臺(tái)的高OO1＝14cm，母線長(zhǎng)l＝eq\r(2)O1O＝14eq\r(2)cm，兩底面半徑分別為7cm,21cm.17．(12分)如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，SO＝OB＝2，P為SB的中點(diǎn)．(1)求證：SA∥平面PCD；(2)求圓錐SO的表面積．解：(1)連接PO，∵P，O分別為SB，AB的中點(diǎn)，∴PO∥SA.又PO平面PCD，SA?平面PCD，∴SA∥平面PCD.(2)設(shè)母線長(zhǎng)為l，底面圓半徑為r，則r＝2，l＝SB＝2eq\r(2)，∴S底＝πr2＝4π，S側(cè)＝πrl＝4eq\r(2)π，∴S表＝S底＋S側(cè)＝4(eq\r(2)＋1)π.18．(12分)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分別交AC，PC于D，E兩點(diǎn)，PB＝BC，PA＝AB.(1)求證：PC⊥平面BDE；(2)試確定線段PA上點(diǎn)Q的位置，使得PC∥平面BDQ.解：(1)∵PB＝BC，E為PC的中點(diǎn)，∴PC⊥BE.∵DE垂直平分PC，∴PC⊥DE.又BE平面BDE，DE平面BDE，且BE∩DE＝E，∴PC⊥平面BDE.(2)不妨令PA＝AB＝1，則有PB＝BC＝eq\r(2)，計(jì)算得AD＝eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,3)AC.∴點(diǎn)Q在線段PA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)處，即AQ＝eq\f(1,3)AP時(shí)，PC∥QD，從而PC∥平面BDQ.19．(13分)如圖，在直三棱柱ADF－BCE中，AB＝AD＝DF＝a，AD⊥DF，M，G分別是AB，DF的中點(diǎn)．(1)求該直三棱柱的體積與表面積；(2)在棱AD上確定一點(diǎn)P，使得GP∥平面FMC，并給出證明．解：(1)由題意，可知該直三棱柱的體積為eq\f(1,2)×a×a×a＝eq\f(1,2)a3，表面積為eq\f(1,2)a2×2＋eq\r(2)a2＋a2＋a2＝(3＋eq\r(2))a2.(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，GP∥平面FMC.取FC的中點(diǎn)H，連接GH，GA，MH.∵G是DF的中點(diǎn)，∴GH綊eq\f(1,2)CD.又M是AB的中點(diǎn)，AB綊CD，∴AM綊eq\f(1,2)CD.∴GH∥AM且GH＝AM，∴四邊形GHMA是平行四邊形，∴GA∥MH.∵M(jìn)H平面FMC，GA?平面FMC，∴GA∥平面FMC，即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，GP∥平面FMC.20．(13分)如圖①，有一個(gè)等腰直角三角板ABC垂直于平面α，BCα，AB＝BC＝5，有一條長(zhǎng)為7的細(xì)線，其兩端分別位于B，C處，現(xiàn)用鉛筆拉緊細(xì)線，在平面α上移動(dòng)．(1)圖②中的PC(PC<PB)的長(zhǎng)為多少時(shí)，CP⊥平面ABP？并說(shuō)明理由．(2)在(1)的情形下，求三棱錐B－APC的高．解：(1)當(dāng)CP＝3時(shí)，CP⊥平面ABP.證明如下：若CP＝3，則BP＝4，而B(niǎo)C＝5，所以三角形BPC為直角三角形，且CP⊥PB.又平面ABC⊥平面α，AB⊥BC，所以AB⊥平面α，于是CP⊥AB.又PB平面ABP，AB平面ABP，PB∩AB＝B，所以CP⊥平面ABP.(2)解法一：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AP于點(diǎn)D，由(1)，知CP⊥平面ABP，則CP⊥BD.又AP平面APC，CP平面APC，AP∩CP＝P，所以BD⊥平面APC，即BD為三棱錐B－APC的高．由于PB＝4，AB＝5，AB⊥平面α，所以AP＝eq\r(AB2＋PB2)＝eq\r(25＋16)＝eq\r(41)，由AP·BD＝AB·PB，得BD＝eq\f(4×5,\r(41))＝eq\f(20\r(41),41).即三棱錐B－APC的高為eq\f(20\r(41),41).解法二：由(1)，知CP⊥平面ABP，所以CP⊥AP.又CP＝3，BP＝4，AB＝5，AB⊥BP，所以AP＝eq\r(AB2＋PB2)＝eq\r(25＋16)＝eq\r(41)，所以S△APC＝eq\f(1,2)·CP·AP＝eq\f(3\r(41),2).設(shè)三棱錐B－APC的高為h，則VB－APC＝eq\f(1,3)·S△APC·h＝eq\f(\r(41),2)h.又VA－PBC＝eq\f(1,3)·S△PBC·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×CP×BP×AB＝10，而VB－APC＝VA－PBC，得eq\f(\r(41),2)h＝10，所以h＝eq\f(20\r(41),41).即三棱錐B－APC的高為eq\f(20\r(41),41).21．(13分)已知正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，M為AC上一點(diǎn)，N為BF上一點(diǎn)，且AM＝FN＝x，設(shè)AB＝a(1)求證：MN∥平面CBE；(2)求證：MN⊥AB；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，MN取最小值？并求出這個(gè)最小值．證明：(1)在平面ABC中，作MG∥AB，在平面BFE中，作NH∥EF，連接GH，∵AM＝FN，∴MC＝NB，∵eq\f(MG,AB)＝eq\f(MC,NC)＝eq\f(NB,EF)∴MG∥NH，∴MNHG為平行四邊形，∴MN∥GH又∵GH?面BEC，MN面BEC，∴MN∥面BEC(2)∵AB⊥BC，AB⊥BE，∴AB⊥面BEC，∵GH?面GEC，∴AB⊥GH，∵M(jìn)N∥GH，∴MN⊥AB(3)∵面ABCD⊥面ABEF，∴BE⊥面ABCD，∴BE⊥BC∵BG＝eq\f(x,\r(2))，BH＝eq