高中數(shù)學北師大版2第三章導數(shù)應用第3章2

第三章§2一、選擇題1．給出下列四個命題：①若函數(shù)f(x)在[a，b]上有最大值，則這個最大值一定是[a，b]上的極大值；②若函數(shù)f(x)在[a，b]上有最小值，則這個最小值一定是[a，b]上的極小值；③若函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值，則最值一定在x＝a或x＝b處取得；④若函數(shù)f(x)在(a，b)內連續(xù)，則f(x)在(a，b)內必有最大值與最小值．其中真命題共有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：因為函數(shù)的最值可以在區(qū)間[a，b]的兩端取得，也可以在內部取得，當最值在端點處取得時，其最值就一定不是極值，故命題①與②不真．由于最值可以在區(qū)間內部取得，故命題③也不真．對于命題④，我們只要考慮在(a，b)內的單調函數(shù)，它在(a，b)內必定無最值(也無極值)，因此命題④也不真．綜上所述，四個命題均不真，故選A.答案：A2．用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時，A．5cmC．10cm解析：設截去的小正方形的邊長為xcm，鐵盒的容積為Vcm3，由題意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，則在(0,24)內有x＝8，故當x＝8時，V有最大值．答案：B3．函數(shù)f(x)＝2sinx－x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值點及最大值是()\f(π,3)，eq\r(3)－eq\f(π,3) B．0,0\f(π,2)，2－eq\f(π,2) D．0,2解析：f′(x)＝2cosx－1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))時，f′(x)≥0x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))時f′(x)≤0，∴eq\f(π,3)為最大值點，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\r(3)－eq\f(π,3)為函數(shù)的最大值．答案：A4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上f(x)≤3恒成立，那么在[－2,2]上，f(x)min()A．≤－37 B．≤－5C．≥－37 D．≥－5解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)當x∈[－2,0]時f′(x)≥0當x∈[0,2]時f′(x)≤0∴f(x)max＝f(0)＝m，∴m≤3又∵f(－2)＝－40＋m，f(2)＝－8＋m∴f(x)min＝f(－2)＝－40＋m≤－37.答案：A二、填空題5．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進一批商品．若該商品零售價定為P元，銷售量為Q，則銷售量Q(單位：件)與零售價P(單位：元)有如下關系：Q＝8300－170P－P2.最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進貨支出)________________元．解析：設毛利潤為L(P)，由題意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以，L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．此時，L(30)＝23000.根據(jù)實際問題的意義知，L(30)是最大值，即零售價定為每件30元時，最大毛利潤為23000元．答案：230006．函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內有最小值，則a的取值范圍是__________________．解析：f′(x)＝3x2－3a，f(x)在(0,1)則f(x)在(0,1)內有極小值點．方程f′(x)＝3x2－3a∴a＞0，x＝±eq\r(a).顯然x＝eq\r(a)應是(0,1)間的極小值點，∴0＜eq\r(a)＜1,0＜a＜1.答案：(0,1)三、解答題7．設函數(shù)f(x)＝ln(2x－1)－x2.(1)討論f(x)的單調性；(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(5,4)))上的最大值和最小值．解析：f(x)的定義域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(1)f′(x)＝eq\f(2,2x－1)－2x＝eq\f(2－2x2x－1,2x－1)＝eq\f(－2x－12x＋1,2x－1).當eq\f(1,2)<x<1時，f′(x)>0；當x>1時，f′(x)<0.則f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調遞增，在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞減．(2)由(1)知f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(5,4)))上的最大值為f(1)＝ln(2×1－1)－12＝－1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(3,4)－1))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(5,4)－1))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2))＝1－ln3<0.所以f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(5,4)))上的最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(3,4)－1))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2))＝－ln2－eq\f(9,16).故f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(5,4)))上的最大值和最小值分別為－1和－ln2－eq\f(9,16).8．一艘輪船在航行中的燃料費和它速度的立方成正比．已知在速度為每小時10公里時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關的費用是每小時96元，問此輪船以多大速度航行時，能使行駛每公里的費用總和最少？解析：設船的速度為x(x＞0)時，燃料費用為Q元，則Q＝kx3，由6＝k×103可得k＝eq\f(3,500)，∴Q＝eq\f(3,500)x3，∴總費用y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x)，y′＝eq\f(6,500)x－eq\f(96,x2)，令y′＝0得x＝20，當x∈(0,20)時，y′＜0，此時函數(shù)單調遞減，當x∈(20，＋∞)時，y′＞0，此時函數(shù)單調遞增，∴當x＝20時，y取得最小值，∴此輪船以20公里/小時的速度行駛時每公里的費用總和最?。?．某集團為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調查，每投入廣告費t(百萬元)，可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤5)．(1)若該公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內，則應投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？(2)現(xiàn)該公司準備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術改造．經(jīng)預測，每投入技術改造費x(百萬元)，可增加的銷售額約為－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百萬元)．請設計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大？(注：收益＝銷售額－投入)解析：(1)設投入t(百萬元)的廣告費后增加的收益為f(t)(百萬元)，則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．∴當t＝2百萬元時，f(t)取得最大值4百萬元，即投入2百萬元的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大．(2)設用于技術改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3－x)(百萬元)(0≤x≤3)，又設由此而獲得的收益是g(x)，則有g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2＋3x))＋[－(3－x)