信息論與編碼：循環(huán)碼

第八章循環(huán)碼2內(nèi)容提要循環(huán)碼是線性分組碼中一個重要的子類。本章將介紹循環(huán)碼的基本概念以及循環(huán)碼的多項式描述方法；循環(huán)碼的基本定理及其矩陣描述

；簡單的循環(huán)碼的編譯碼方法及其實現(xiàn)電路。3§8.1循環(huán)碼的概念一．定義

設一個（n，k）線性分組碼C，如果它的任一碼字的每一次循環(huán)移位都還是C的一個碼字，則稱C是循環(huán)碼。由于循環(huán)碼是線性分組碼，所有這些具有循環(huán)關(guān)系的碼字的全體構(gòu)成了n維矢量空間中具有循環(huán)特性的k維子空間。4【例】（7，3）線性分組碼由：得由兩組碼字循環(huán)構(gòu)成的循環(huán)碼。

5二．循環(huán)碼的數(shù)學描述1．循環(huán)碼的特點：（1）它是線性分組碼，其數(shù)學模型應具有線性特性；（2）具有循環(huán)特性。

故循環(huán)碼的數(shù)學模型必須能兼具線性和循環(huán)特性→多項式描述。2．線性分組碼的多項式描述字：

字多項式

碼字：

碼字多項式

對于線性分組碼C，可以表示成碼字多項式構(gòu)成的集合：

63．循環(huán)特性的表示以前面的（7，3）循環(huán)碼為例：（任取一碼字）移一位移兩位移三位?此時：7>n-1=6，超出了n=7的矢量空間。

要求：

則：，即7下面用去除，得余對于上面第三次移位結(jié)果，可重新表示如下：

結(jié)論：如果將一個循環(huán)碼的某一非零碼字用碼多項式表示出來，那么其他的非零碼字多項式就可以用這個碼字多項式（或碼字多項式的和）乘上x的一個冪，再求（xn+1）的余得到。說明：一個碼字的移位最多能得到n個碼字，因此“循環(huán)碼字的循環(huán)仍是碼字”并不意味著循環(huán)碼集可以從一個碼字循環(huán)而得，還應包含碼字的一些線性組合。8§8.2循環(huán)碼的基本定理及其矩陣描述

一．循環(huán)碼的生成多項式1．定義：若g(x)是一個(n-k)次多項式，且是(xn-1)的因式，則由g(x)可以生成一個（n，k）循環(huán)碼，g(x)稱為該循環(huán)碼的生成多項式。兩個結(jié)論：（1）GF(2)上的（n，k）循環(huán)碼中，存在著一個次數(shù)為(n-k)的首一碼多項式g(x)（首一：多項式最高冪次項系數(shù)

gn-k=1

）（gn-k=1）

使得所有碼多項式都是g(x)的倍式，即：

且所有小于n次的g(x)的倍式都是碼多項式。故循環(huán)碼完全由它的生成多項式確定。9（2）（n，k）循環(huán)碼的生成多項式g(x)一定是(xn+1)的因子，即

或?qū)懗上喾?，如果g(x)是xn-1的n-k次因子，則g(x)一定是（n，k）循環(huán)碼的生成多項式。生成多項式不唯一。2．（n，k）循環(huán)碼的構(gòu)造（1）對(xn-1)做因式分解，找出(n–k)次因式；（2）以該(n–k)次因式為生成多項式g(x)與不高于k–1次信息多項式u(x)相乘，即得到對應消息序列的碼多項式。10【例】一個長度n=7的循環(huán)碼的構(gòu)造方法。（1）對x7-1作因式分解

故x7-1有如下因式：

一次因式：

三次因式：

四次因式：

六次因式：

（一個）

（兩個）

（一個）

（兩個）

11n–k=1，k=6，生成一種（7，6）循環(huán)碼；n–k=3，k=4，生成兩種（7，4）循環(huán)碼；n–k=4，k=3，生成兩種（7，3）循環(huán)碼；n–k=6，k=1，生成一種（7，1）循環(huán)碼；例：要得到一（7，4）循環(huán)碼，可選n–k=3次多項式1+x2+x3或1+x+x3

為生成多項式：

以g（x）=1+x2+x3為例，（信息位長度為4）

設信息多項式為：

則：循環(huán)碼編碼后的碼多項式為：

（2）若以n-k次因式作為生成多項式，可供選擇的有12例：

對于上述（7，4）循環(huán)碼，有4個信息位，對應有16個信息序列，利用16個信息序列多項式與生成多項式的乘法運算，可得全部（7，4）循環(huán)碼得16個碼字，如表：信息位碼字信息位碼字信息位碼字信息位碼字00010010010010000111111010110001011001011001011001011000011000111000101000101001101101100111110010101101000111010111010111010011010011010011010011110011100000000000011011111111循環(huán)組1循環(huán)組2循環(huán)組3循環(huán)組4任何碼字的循環(huán)移位仍是碼字，并非由一個碼字循環(huán)移位可以得到所有碼字，上述（7，4）碼的碼集由4組碼字循環(huán)構(gòu)成。結(jié)論：當一個循環(huán)碼給定其生成多項式g（x）后，根據(jù)生成多項式就可以進行編碼（但編出的碼不一定為系統(tǒng)碼）13二．循環(huán)碼的生成矩陣（n，k）循環(huán)碼是n維線性空間一個具有循環(huán)特性的k維的子空間，故（n，k）循環(huán)碼的生成矩陣可用碼空間中任一組k個線性無關(guān)的碼字構(gòu)成，即k個線性無關(guān)的碼字構(gòu)成（n，k）循環(huán)碼的基底，基底不唯一。如何得到k個線性無關(guān)的碼字？

方法：當循環(huán)碼的生成多項式g（x）給定后，可以取g（x）本身加上移位k–1次所得到的k–1碼字作為k個基底，即：

→構(gòu)成基底

若：

則：

14各多項式對應的矢量分別為：

這k個矢量是線性無關(guān)的，且由g（x）循環(huán)移位得到，故都是碼字，由它們構(gòu)成一個k×n的矩陣，它們就是循環(huán)碼的生成矩陣。

15【例】（7，4）循環(huán)碼：

當一個循環(huán)碼的生成矩陣確定后，其編碼規(guī)則為：

如：16（次數(shù)）

設：

則：三．循環(huán)碼的系統(tǒng)碼由上述方法作出的生成矩陣所編出的碼不是系統(tǒng)形式，如何得到系統(tǒng)形式的循環(huán)碼？1．系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼：設

用xn–k

和u（x）相乘，再除以g(x)17a(x)g(x)是g(x)的一個倍式，則它是一個碼多項式，對應的碼矢量為：碼矢量為系統(tǒng)形式的碼字，信息位在尾部。※系統(tǒng)碼的編碼步驟：(1)將k個消息位按升冪排列的次序?qū)懗上⒍囗検絬（x）

；

(2)用xn–k

乘以u（x）得到一個次數(shù)的多項式；

(3)用生成多項式g（x）除xn–k

u（x）得余b（x）（一致校驗元）；

(4)聯(lián)合b(x)和xn–k

u(x)得到系統(tǒng)碼多項式v(x)=b(x)+xn–k

u(x)；

(5)將碼多項式轉(zhuǎn)換為碼字。18【例】（7，4）循環(huán)碼：

求

的系統(tǒng)碼字。

，

【解】

，n＝7，k＝4

（1）

（2）（3）（4）192．系統(tǒng)碼的生成矩陣（1）由生成矩陣做初等行變換，將其變?yōu)樾问?，即為系統(tǒng)形式的生成矩陣（單位陣在后，信息位在尾部）。

，求系統(tǒng)形式的生成矩陣。

【例】（7，4）循環(huán)碼：

（2）分別求g（x）除的余式（記為），由余式對應的矢量作行矢量構(gòu)成的k×n-k的分塊矩陣P聯(lián)合k×k的單位陣I就構(gòu)成系統(tǒng)形式的生成矩陣：20，求系統(tǒng)形式的生成矩陣。

【例】（7，4）循環(huán)碼：

21四．循環(huán)碼的校驗矩陣一般情況下，多項式xn-1可因式分解為xn-1=g(x)·h(x)

g(x)—（n，k）循環(huán)碼的生成多項式，

h(x)—（n，k）循環(huán)碼的一致校驗多項式，在因式分解中，g(x)和h(x)處于同等地位，既可以用g(x)去生成一個循環(huán)碼，也可以用h(x)去生成一個循環(huán)碼。設由g(x)生成的碼為C，在由h(x)生成的碼就是C的對偶碼C⊥。

循環(huán)碼C的對偶碼C⊥的基底由

構(gòu)成。

22設

則：將上述矢量按逆序排列作為一個（n-k）×n矩陣的行矢量，則該矩陣就是碼C的校驗矩陣。23【例】（7，4）循環(huán)碼：

則：C⊥的基底（n-k-1=2）

24※系統(tǒng)形式的校驗矩陣

（1）對非系統(tǒng)形式的校驗矩陣作初等行變換，變成[In-k，PT]的形式；（2）分別求h（x）除的余式（記為），由余式對應的逆矢量可得到系統(tǒng)形式的校驗矩陣：（3）

25【例】（7，4）循環(huán)碼：

（1）（2）k=4，n–k–1=2

（3）26§8.3循環(huán)碼的編碼

循環(huán)碼是線性分組碼的一個子類，因此循環(huán)碼可以按一般線性分組碼利用常用的組合邏輯電路來實現(xiàn)編碼。但對于線性分組碼，當其信息位分組長度較長，編碼位數(shù)較多時，其編碼電路非常復雜。由于循環(huán)碼具有循環(huán)特性，其編碼器通常用簡單的具有反饋連接的移位寄存器就可以實現(xiàn)，大大簡化了編碼器的復雜度。利用具有反饋連接的移位寄存器實現(xiàn)的循環(huán)碼編碼電路，實際上是多項式運算電路。首先研究多項式運算電路。27一．G(F2)上的多項式除法電路

設（被除式）（除式）q(x)→商，r(x)→余除法電路：28（1）除法電路的結(jié)構(gòu)由除式b（x）決定；（2）組成：由r個存儲單元組成r級移位寄存器（D0～Dr-1）

bi：常乘器，（bi=1，輸出＝輸入；bi=0，輸出＝0）當bi=1，對應支路連通（直通）；當bi=0，對應支路斷開，對應的模2加法器可去掉。

故：電路有r個移位寄存器，最多r+1個常乘器，最多r個模2加法器。說明：29（3）工作原理簡述：①電路清零，被除式系數(shù)按高次到低次依次進入電路（ak首先進入），r次移位后，移存器自右至左內(nèi)容為：（a

k，a

k-1，...，ak-r+1）②第r+1次移位后，輸出商的最高次位的系數(shù)（a

k

b

r

或ak

b

r-1），并反饋到前面作模2加運算后存入各級寄存器中，以后每次移位輸出商的對應次位的系數(shù)并反饋回去。③依次類推，經(jīng)過k+1次移位后，完成整個除法運算，最后輸出商常數(shù)項系數(shù)，此時移存器中的內(nèi)容就是余式r（x）各次項對應的系數(shù)（高位寄存器對應高次項系數(shù)）。30【例】工作過程:(r=3)節(jié)拍輸入D0D1D2輸出清零010000111000201100r次300110r＋1次411111（x）k＋1次5-0011（x0）31二．循環(huán)碼編碼器1．基于生成多項式g（x）的編碼器（n－k級編碼器）編碼器電路的結(jié)構(gòu)由生成多項式?jīng)Q定，生成多項式g（x）的最高次數(shù)為n-k，故編碼器有n-k級移存器，故稱n-k級編碼器。對于循環(huán)碼的系統(tǒng)編碼，首先要得到u(x)xn-k除以g(x)的余式p(x)，再組合成系統(tǒng)碼，即：對于除法電路：一方面我們可以得到商，還可以得到余式。對于系統(tǒng)碼編碼我們可以先輸出信息位，再輸出余式（校驗位）就可以得到系統(tǒng)碼，另外由于被除式為u(x)x

n-k，u(x)應從n-k級移存器的最前端輸入。32編碼過程：（1）門打開，k接“1”，消息數(shù)據(jù)uk-1,...

u0移入電路，并同時送入信道，一旦k個消息全部移入電路，移存器中的n-k個數(shù)據(jù)就構(gòu)成了余式的系數(shù)；（2）門關(guān)，斷開反饋連接，k接“2”；（3）移出移存器中的數(shù)據(jù)(校驗元)，并送入信道，與k個信息位組成碼字。33【例】（7，4）循環(huán)碼，

若：34編碼過程：（k＝4）節(jié)拍輸入D0D1D2輸出門開，k→1010001111012010113110004－1001門關(guān)，k→25－01006－00107－0001352．基于校驗多項式h（x）的編碼器（k級編碼器）編碼器電路的結(jié)構(gòu)由校驗多項式?jīng)Q定，生成多項式h(x)的最高次數(shù)為k，故編碼器有k級移存器，故稱

k級編碼器。編碼器電路編碼過程（1）門1打開，門2關(guān)閉，k位消息數(shù)據(jù)u0，u1，...，uk-1移入電路，并同時送入信道；（2）k位消息全部移入，門1關(guān)，門2開；（3）以后的每次移位產(chǎn)生一個校驗元并送入信道，直到n－k個校驗元全部產(chǎn)生并送入信道為止。然后門2關(guān)，門1開，準備下一組消息編碼；36【例】（7，4）循環(huán)碼，

k＝4級編碼器編碼過程

輸入節(jié)拍D0D1D2D3輸出門1開，門2關(guān)100000111000102010001310101－411011門1關(guān)，門2開－501100－600110－700010373．兩種編碼器的比較（1）基于g（x）的編碼器為n－k級編碼器，需要n－k級移存器；基于h（x）的編碼器為k級編碼器，需要k級移存器。（2）當n－k<k時，采用n－k級編碼器需要資源少；當n－k>k時，采用k級編碼器需要資源少。

38§8.4循環(huán)碼譯碼

一．譯碼步驟：和線性分組碼一樣，循環(huán)碼譯碼步驟分三步：（1）計算接收多項式r(x)的伴隨多項式s(x)；（2）根據(jù)s

(x)找出相應錯誤圖樣多項式e(x)；（3）將e

(x)和r(x)模2加，得到譯碼輸出v

(x)

。二．伴隨式計算及錯誤檢測1．伴隨式及計算設接收多項式為r(x)，碼多項式為v(x)，錯誤圖樣多項式為e(x)，則用生成多項式g（x）除r（x），得

（求余運算）

39【定理】設g(x)是(n，k)系統(tǒng)循環(huán)碼的生成多項式，接收字多項式為r(x)，對應錯誤圖樣為e(x),則

且它們的系數(shù)就是該接收字的伴隨式。即

可見，循環(huán)碼的伴隨式計算電路就是一個接收多項式r(x)除以生成多項式g（x）的除法電路。電路初始狀態(tài)為0，當r(x)全部移入后，移存器中的內(nèi)容為伴隨式多項式s(x)。

402．伴隨式計算電路的性質(zhì)由于碼的循環(huán)結(jié)構(gòu)，伴隨式有個重要的性質(zhì)，用定理描述。

【定理】設s(x)是r(x)的伴隨式，則r(x)的循環(huán)移位x·r(x)的伴隨式s(1)(x)是s(x)在伴隨式計算電路中無輸入時右移一位的結(jié)果，即：【推論】用生成多項式g(x)除x

is(x)所得余式s(i)(x)是r(x)經(jīng)i次移位后r(i)(x)的伴隨式。說明：把含有s(x)的伴隨式移存器的輸入門斷開，移位一次就得到r(1)(x)的伴隨式s(1)(x)

，移位i次，就得到r(i)(x)的伴隨式s(i)(x)

。41【例】（7，4）循環(huán)碼，計算對應的伴隨式。伴隨式計算電路計算過程：（開始時，移存器清零）節(jié)拍輸入S0S1S2節(jié)拍輸入S0S1S210000601112110070101s311108—100s(1)400119—010s(2)5101142由

計算電路性質(zhì)的意義：對于在同一循環(huán)組中的接收字，只需計算一個接收字的伴隨式，即可以通過移位來計算其他接收字的伴隨式。43普通(n,k)線性分組碼的譯碼電路框圖44三．循環(huán)碼一般譯碼器1．組成：（三部分）（梅吉特：Meggit通用譯碼器）（1）一個n位的緩沖寄存器（2）組合邏輯電路（3）一個r位的伴隨式計算電路

2．錯誤糾正過程

（1）開始譯碼時，門開，移存器和伴隨式計算電路清零，接收字r（x）一方面送入n級緩存，一方面送入伴隨式計算電路，形成伴隨式。當n位數(shù)據(jù)接收完后，門關(guān)，禁止輸入。45（2）將伴隨式輸入錯誤圖樣檢測電路，找出對應的錯誤圖樣。

方法：當且僅當緩存器中最高位出錯時，組合邏輯電路輸出才為“1”，即，若檢測電路輸出為“1”，說明緩存中最高位的數(shù)據(jù)是錯誤的，需要糾正。這時輸出的“1”同時反饋到伴隨式計算電路，對伴隨式進行修正，消除該錯誤對伴隨式的影響（修正后為高位無錯對應的伴隨式）。（3）如高位無錯誤，組合電路輸出“0”，高位無需糾正，然后，伴隨式計算電路和緩存各移位一次，這是高位輸出。同時，接收字第二位移到緩存最高位，而伴隨式計算電路得到此高位伴隨式，用來檢測接收字的次高位，即緩存最右一位是否有錯。如有錯，組合電路輸出“1”與緩存輸出相加，完成第二個碼元的糾錯，如無錯，則重復上述過程，一直譯完一個碼字為止。46【例】（7，4）循環(huán)碼，dmin(C)=3，可以糾正一個錯誤。

所有單重錯誤的錯誤圖樣：

錯誤圖樣伴隨式對應H的列（0000001）e6(x)=x61+x21017（0000010）e5(x)=x51+x+x21116（0000100）e4(x)=x4x+x20115（0001000）e3(x)=x31+x1104（0010000）e2(x)=x2x20013（0100000）e1(x)=xx0102（1000000）e0(x)=11100147由上表可知：最高位x6出錯的伴隨式為1+x2，因此，識別最高位