山西省太原市城第二中學2022年高三數(shù)學理期末試卷含解析

山西省太原市城第二中學2022年高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.參考答案：B略2.若，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.為得到的圖象，只需要將的圖象（

）A．向右平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向左平移個單位參考答案：D因為，所以為得到的圖象，只需要將的圖象向左平移個單位；故選D．

4.復數(shù)A．i B．-i C． D．1+i參考答案：A5.“”是“”的（

）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要參考答案：A6.若，，則（

）．A. B. C. D.參考答案：B【分析】由三角函數(shù)的誘導公式，求得的值，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，最后利用二倍角的正弦函數(shù)公式可求的值．【詳解】由，可得，又因為，可得，所以．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導公式、基本關(guān)系式，以及正弦的倍角公式的化簡求值，著重考查了推理與計算能力．7.設(shè)命題.則為A.B.C.D.參考答案：D8.已知數(shù)列滿足則該數(shù)列的前18項和為（

）A.2101

B.1067

C.1012

D.2012參考答案：B略9.定義域為的函數(shù)圖像的兩個端點為、，是圖象上任意一點，其中．已知向量，若不等式恒成立，則稱函數(shù)在上“階線性近似”．若函數(shù)在上“階線性近似”，則實數(shù)的取值范圍為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D10.某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出k的值是A.8 B.7C.6 D.5參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.d .參考答案：。12.若雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2，線段F1F2被拋物線的焦點分成5：3兩段，則此雙曲線的離心率為___________.參考答案：略13.圓C：x2+y2=r2，點A（3，0），B（0，4），若點P為線段AB上的任意點，在圓C上均存在兩點M，N，使得=，則半徑r的取值范圍．參考答案：[，）【考點】直線和圓的方程的應用．【分析】設(shè)P（m，n），N（x，y），可得M的坐標，代入圓的方程，根據(jù)方程組有解得出m，n與r的關(guān)系，根據(jù)m的范圍得出r的范圍．【解答】解：直線AB的方程為4x+3y﹣12=0，設(shè)P（m，n），則0≤m≤3．設(shè)N（x，y），∵=，∴M為PN的中點，∴M（，），∵M，N在圓C上，∴．∵該方程組有解，∴r≤≤3r，即r2≤m2+n2≤9r2，∵P在線段AB上，∴4m+3n﹣12=0，即n=4﹣，∴r2≤≤9r2，即r2≤≤9r2對一切m∈[0，3]上恒成立，設(shè)f（m）=，則f（m）在[0，3]上的最大值為f（0）=16，最小值為f（）=，∴，解得≤r≤，又點P為線段AB上的任意點，在圓C上均存在兩點M，N，使得=，∴直線AB與圓C相離，∴r＜=．∴r的范圍是[，）．故答案為：[，）．14.

在平面直角坐標系中，定義為兩點,之間的“折線距離”.則坐標原點與直線上一點的“折線距離”的最小值是__▲__；圓上一點與直線上一點的“折線距離”的最小值是__▲

_.參考答案：，（1），畫圖可知時，取最小值.（2）設(shè)圓上點，直線上點，則，畫出此折線，可知在時，取最小值，15.已知集合，集合，則_______．參考答案：16.奇函數(shù)在上有定義，且在區(qū)間上是增函數(shù)，，又函數(shù)，則使函數(shù)同取正值的的范圍

_.參考答案：17.如圖4，橢圓的中心在坐標原點，為左焦點，、分別為長軸和短軸上的一個頂點，當時，此類橢圓稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推出“黃金雙曲線”的離心率為

．參考答案：由圖知，，整理得，即，解得，故．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）如圖，三棱柱側(cè)棱與底面垂直，且所有棱長都為4，D為CC1中點．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．參考答案：解法一：（向量法）（1）取中點，連結(jié)．取中點，

故：以為原點，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

……2分則：

……3分

……4分，．

……6分

平面．

……7分（2）設(shè)平面的法向量為．．

令得為平面的一個法向量．

……10分由（1）可知：為平面的法向量．

……11分．

……13分二面角是銳角

二面角的余弦值為為．……14分解法二：（傳統(tǒng)幾何法）（1）取BC中點O，連結(jié)AO和，

……2分

……3分在正方形中，分別為的中點，由正方形性質(zhì)知：，

……4分………5分又在正方形中，，

………6分平面．

……7分

（2）設(shè)AB1與A1B交于點，在平面1BD中，作于，連結(jié)，由（1）得．

為二面角的平面角．

………10分在中，由等面積法可求得， ………12分又，

………13分．

所以二面角的余弦值為．

……14分19.若向量mn=,在函數(shù)mn+的圖象中,對稱中心到對稱軸的最小距離為,且當時,的最大值為.(1)求函數(shù)的解析式;(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.參考答案：解:由題意得m﹒n+(1)∵對稱中心到對稱軸的最小距離為，的最小周期，當時，

.（2），解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為20.設(shè)函數(shù)，（1）求的反函數(shù)；（2）判斷的單調(diào)性，不必證明；（3）令，當，時，在上的值域是，求的取值范圍．參考答案：（1），（2）當時，減；當時，增（3）21.已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)對一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)nx＞－.參考答案：(1)由條件知2f(x)≥g(x)，即2xlnx≥－x2＋ax－3，則a≤2lnx＋x＋.

……2分設(shè)h(x)＝2lnx＋x＋(x＞0)，h′(x)＝.

………………4分當x∈(0,1)時，h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減；當x∈(1，＋∞)時，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增．所以[h(x)]min＝h(1)＝4.因為對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤[h(x)]min＝4.

故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，4]．…………6分(2)證明：問題等價于證明xlnx＞－，x∈(0，＋∞)．即f(x)＞－∵f′(x)＝lnx＋1.

…………7分當x∈時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．所以，[f(x)]min＝f()＝－.……10分設(shè)m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，則m′(x)＝，……12分易得[m(x)]max＝m(1)＝－.從而對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)nx＞－成立．…………14分

略22.（12分）如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA=AC=2，PB=PD=

（1）證明PA⊥平面ABCD；

（2）已知點E在PD上，且PE:ED=2:1，點F為棱PC的中點，證明BF//平面AEC。

（3）求四面體FACD的體積;

參考答案：解析：證明：（I）因為在正方形ABCD中，AC=2∴AB=AD=可得：在△PAB中，PA2+AB2=PB2=6。所以PA⊥AB同理可證PA⊥AD故PA⊥平面ABCD（4分）

（II）取PE中點M，連接FM，BM，連接BD交AC于O，連接OE∵F，M分別是PC，PF的中點，