畫法幾何(27)平面、直線與立體相交

2.7平面、直線與立體相交一、截交線概述二、平面與平面體相交四、平面與回轉(zhuǎn)體相交三、直線與平面體相交五、直線與回轉(zhuǎn)體相交P平面與立體表面的交線稱為截交線，該平面稱為截平面。截平面截交線一、截交線概述基本立體被平面切割后形成的立體叫截切體，截交線所圍成的截面圖形叫截?cái)嗝妫〝嗝妫?。截切體截?cái)嗝姊迤矫骟w截交線的性質(zhì)：二、平面與平面立體相交◆截交線在立體的表面上——表面性?！艚亟痪€是截平面和立體表面的共有線——共有性?！艚亟痪€是封閉的平面多邊形——封閉性。P截交線截平面平面體的表面都是平面，截平面與它們的交線都是直線，所以截交線是封閉的平面多邊形。多邊形的各頂點(diǎn)是截平面與被截棱線或底邊的交點(diǎn)。因此，求作截交線的問題可歸結(jié)為求線面交點(diǎn)或面面交線的問題。SFEDCBA㈡平面立體截交線的求法P1、線面交點(diǎn)法2、面面交線法將平面立體上參與相交的各條棱線與截平面求交點(diǎn)，并將位于立體同一棱面上的兩交點(diǎn)依次連接起來，即為所求平面立體的截交線。將平面立體上參與相交的各棱面與截平面求交線，這些交線即圍成所求的平面立體截交線。1234SABCD5.整理修飾丟棄被截掉的棱線，補(bǔ)全、接上原圖中未定的圖線，分清可見性，加深描黑。4.求截交線的頂點(diǎn)、邊線本質(zhì)問題是求交點(diǎn)和交線；3.分析截?cái)嗝娴耐队疤匦苑e聚性、真實(shí)性、相仿性；2.分析截交線的形狀判明截交線是幾邊形；1.幾何抽象畫出切割前的原始形狀的投影；㈢求截交線的作圖步驟：例題

作出所示形體的水平投影。分析：梯形棱柱上有兩條棱和兩條底面邊線被截平面P截?cái)?，有四個交點(diǎn)，截交線圍成一個四邊形。作圖：先畫出形體被切割前完整的水平投影，再求出各棱線、底邊被截?cái)嗟亩它c(diǎn)，連成截交線的水平投影。1、平面與棱柱相交221313123(4)44PV例求截交線例題

求截交線2a2abcbssa(c)b13c13123sPVPABCⅢⅠⅡS2、平面與棱錐相交ABCa2abcbssa(c)b1c13123sPVPSⅠⅡⅢ32例題

求截交線nmⅠⅡMNb(c)bsabcsasc12m(n)2121mna例補(bǔ)全帶切口立體的投影例：求三棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。6′2′(5′)1′3′4′1234561″2″3″4″(5″)6″直線與立體相交：是直線從立體一側(cè)表面貫入，又從另一側(cè)表面穿出，故其交點(diǎn)一般總是成雙存在的，稱為貫穿點(diǎn)。實(shí)質(zhì)：求貫穿點(diǎn)實(shí)質(zhì)上就是求直線與平面或直線與曲面的交點(diǎn)。交點(diǎn)的求法：（1）對于投影有積聚性的表面，可直接利用積聚性求出；（2）對于投影沒有積聚性的表面，經(jīng)以下三個步驟求得：

a.過已知直線作輔助平面P；

b.求出平面P與立體表面的交線MN；

c.求出交線MN與已知直線的交點(diǎn)E、F，即為貫穿點(diǎn)輔助平面的選擇：

應(yīng)盡可能使所作輔助面與立體表面的交線的投影簡而易畫的直線或圓。三、直線與平面立體相交（1）對于投影有積聚性的表面，可直接利用積聚性求出貫穿點(diǎn)d'e'f'b'a'1'(2')XOab21例：求直線AB與三棱柱的貫穿點(diǎn)。（2）對于投影沒有積聚性的表面d'e'f'b'a'abs'sefdh213g'h'1'2'3'PV例：求直線AB與三棱錐的貫穿點(diǎn)。g四、平面與回轉(zhuǎn)體相交（二）平面與圓錐相交（一）平面與圓柱相交（三）平面與圓球相交（四）平面與其他回轉(zhuǎn)體相交（三）平面與圓球相交（四）平面與其他回轉(zhuǎn)體相交（一）平面與圓柱相交截平面平行于軸線，交線為矩形截平面傾斜于軸線，交線為橢圓截平面垂直于軸線，交線為圓依據(jù)截平面與圓柱的相對幾何關(guān)系，平面與圓柱面的交線有3種情形：1、截平面平行于圓柱的軸

與柱面的交線是一對平行線2、截平面垂直于圓柱的軸

與柱面的交線是一緯圓

3、截平面傾斜于圓柱的軸

與柱面的交線是一橢圓3、截平面傾斜于圓柱的軸

與柱面的交線是一橢圓，與底面的交線為直線。直線1、當(dāng)＜45°截交線橢圓的長軸投影后，仍為投影橢圓的長軸；＜45°＞45°＝45°2、當(dāng)＞45°截交線橢圓的長軸投影后，成為投影橢圓的短軸；3、當(dāng)＝45°截交線橢圓的長軸投影后，與短軸相等，橢圓的投影成為圓。曲面體截交線的一般作圖步驟

分析立體的形狀及表面性質(zhì)定性判別截交線的形狀求特殊點(diǎn)

輪廓線上的點(diǎn)曲線的特征點(diǎn)極限位置點(diǎn)

求一般點(diǎn)判別可見性，連線整理輪廓線【例題】圓柱被正垂面切割，求圓柱截?cái)嗪蟮娜嫱队皥D及截?cái)嗝娴膶?shí)形。解：截交線是橢圓，求特殊點(diǎn)和一般點(diǎn)，連成橢圓。用旋轉(zhuǎn)法或輔助投影可得到實(shí)形。PVPV1’2’3”6”7’(8’)1”5’(6’)2”3’(4’)64”5”58”7”124387解題步驟1分析

截交線的水平投影為圓，側(cè)面投影為橢圓；2求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求出若干個一般點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。1’PV2’3”6”7’(8’)1”5’(6’)2”3’(4’)64”5”58”7”1243877’(8’)3’(4’)5’(6’)2’2658743【例題】完成圓柱體截切后的側(cè)面投影?！纠}】完成圓柱體截切后的側(cè)面投影。5432例補(bǔ)全帶切口圓柱體的水平及側(cè)面投影211312(3)44(5)545°6(7)7667【例題】求圓柱截交線解題步驟1．分析截交線為矩形、橢圓及圓和直線的組合；截交線的水平投影為已知，側(cè)面投影為矩形、橢圓和直線的組合2．求出截交線上的特殊點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．求一般點(diǎn)Ⅴ；4．順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5．整理輪廓線。3'31'1(2)2'4'455'3"2"5"1"4"45°【例題】求組合立體截切后的水平投影和側(cè)面投影。（二）平面與圓錐相交θ=90°θ＝ααθ＞＞90°θ=0°過錐頂兩相交直線圓橢圓拋物線雙曲線根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截平面與圓錐面的交線有五種形狀。ααθαθαθ（1）截平面通過錐頂并與錐面相交時(shí)，交線為相交的兩素線；（2）截平面垂直于軸線但不通過錐頂時(shí)，交線為圓；（3）截平面傾斜于軸線并與所有的素線都相交時(shí)，交線為橢圓；（4）截平面傾斜于軸線并與一條素線平行時(shí)，交線為拋物線；（5）截平面與兩條素線平行時(shí)，交線為雙曲線；21313123(4)44PV56m(n)mn5(6)562mn例求帶切口圓錐的投影。解題步驟1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2求出截交線上的特殊點(diǎn)；3求出一般點(diǎn)；4光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線?！纠}】完成圓錐截切后的水平投影和側(cè)面投影。1、空間與投影分析截交線形狀為拋物線。拋物線的正面投影落在截平面的積聚性投影上，求作拋物線的水平投影和側(cè)面投影。2、投影作圖運(yùn)用錐面取點(diǎn)方法作出拋物線頂點(diǎn)和底端點(diǎn)、轉(zhuǎn)向輪廓線上點(diǎn)和一般點(diǎn)，用曲線光滑連接各點(diǎn)。3、整理輪廓線PV例求帶切口圓錐的投影。2531353(4)4421(2)152531353(4)4421(2)15例求帶切口圓錐的投影?！纠}】

分析并想象出圓錐穿孔后的投影（三）平面與圓球相交平面與球面相交，交線總是圓，但圓的投影根據(jù)截平面對投影面的傾斜關(guān)系可能是直線、圓或者橢圓?！纠}】完成圓球截切后的水平投影和側(cè)面投影。2113123(4)4456m(n)mn5(6)562mn3【例題】求帶凹槽半球的水平投影和側(cè)面投影。33(4)21134421(2)（四）平面與其他回轉(zhuǎn)體相交1、平面與單一回轉(zhuǎn)體相交2、平面與組合回轉(zhuǎn)體相交1、平面與單一回轉(zhuǎn)體相交求作平面與單一回轉(zhuǎn)體的截交線：當(dāng)截平面為特殊位置時(shí)，與求作圓柱、圓錐、球的截交線一樣，可用在立體表面上作點(diǎn)和線的方法；當(dāng)截平面為特殊位置時(shí)，則可通過一次換面將一般位置的截平面變換成投影面垂直面后作圖?！纠}】如圖，求作正垂面P與具有內(nèi)環(huán)面的回轉(zhuǎn)體的截交線，作出截?cái)囿w的水平投影，并求斷面實(shí)形PVPV1’

(2’)34’

(5’)6’(7’)8’(9’)10’(11’)32145768910116171314151819110111111212、平面與組合回轉(zhuǎn)體相交組合回轉(zhuǎn)體通常由多個基本回轉(zhuǎn)體組合形成，求解這類形體截交線時(shí)，應(yīng)首先分析組合回轉(zhuǎn)體是由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成，以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。【例題】完成組合回轉(zhuǎn)體截切后的側(cè)面投影?？臻g與投影分析組合回轉(zhuǎn)體是由同軸半球、圓柱體和圓臺組合而成。截平面為側(cè)平面，組合回轉(zhuǎn)體截交線由半園、直線段和雙曲線組成，其正面投影落在截平面的正面積聚性投影上，【例題】完成組合回轉(zhuǎn)體截切后的正面投影。圓球體圓環(huán)體圓柱體五、直線與回轉(zhuǎn)體相交b'a'1'(2')XOab21【例題】求直線AB與圓柱的貫穿點(diǎn)?！纠}】求直線AB與球的貫穿點(diǎn)。b'